Acceso ilimitado

Matemáticas AI NM

Prueba 1 Mayo 2024 TZ1

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 11 h 30 min

12preguntas

Estudio de caso

Escriba sus respuestas en las casillas provistas. Use calculadora de pantalla gráfica. Salvo indicación en contra, dé respuestas numéricas exactas o a tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Acceso ilimitado

Los precios (en dólares) de 10 sillas de jardín distintas son: 79, 139, 255, 99, 50, 209, 229, 193, 69, 49.

(a) Halle el rango de los precios de estas 10 sillas.

(b) Utilice la calculadora de pantalla gráfica para hallar: (i) la media; (ii) la desviación típica.

Al llegar las rebajas, el precio de cada una de esas 10 sillas de jardín se reduce en 20 $.

(a) Rango = máximo – mínimo = $255-49=206$. Respuesta: 206.

(b) Con una lista de datos en 1-Var Stats:

\[\bar{x}=\frac{1371}{10}=137{,}1.\]

La desviación típica poblacional es $\sigma\approx 74{,}5$. Respuestas: $137{,}1$ y $74{,}5$.

(c) Restar 20 a todos los datos reduce la media en 20 y no cambia la desviación típica. Nueva media: $137{,}1-20=117{,}1$. Nueva desviación típica: $74{,}5$. Respuestas: $117{,}1$ y $74{,}5$.

Pregunta 2

Acceso ilimitado

La figura muestra una grúa de juguete (no está dibujada a escala). Se sabe que $AB=25\,\text{cm}$, $AC=15\,\text{cm}$ y $\widehat{BAC}=22^\circ$.

(a) Calcule $BC$.

(b) Sabiendo que $\widehat{ABC}$ es agudo, calcule $\widehat{ABC}$.

Diagrama de la grúa de juguete con puntos A, B y C.

(a) Usamos la ley de cosenos con el ángulo comprendido en A:

\[BC^2=25^2+15^2-2(25)(15)\cos 22^\circ.\]

\[BC\approx 12{,}4\,\text{cm}.\]

Respuesta: $12{,}4\,\text{cm}$.

(b) Por la ley de senos,

\[\frac{\sin B}{15}=\frac{\sin 22^\circ}{BC}.\]

Entonces $\sin B\approx 0{,}452$. Como $B$ es agudo, $B\approx 26{,}9^\circ$.

Pregunta 3

Acceso ilimitado

Sunita clasifica 300 pimientos según su tamaño (pequeños, medianos o grandes) y su color (rojos, verdes o amarillos).

	Pequeños	Medianos	Grandes
Rojos	18	31	46
Verdes	26	32	21
Amarillos	34	66	26

Quiere realizar una prueba, al 5 %, para averiguar si el tamaño de los pimientos es independiente del color.

(a) Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

El valor crítico para esta prueba es 9,49.

(b)(i) Calcule $\chi^2$. (ii) Indique una conclusión y justifíquela.

(a) $H_0$: el tamaño es independiente del color. $H_1$: el tamaño y el color no son independientes.

(b)(i) Totales por fila: 95, 79 y 126. Totales por columna: 78, 129 y 93. Para cada celda, $E=\dfrac{(\text{total fila})(\text{total columna})}{300}$. Sumando $\dfrac{(O-E)^2}{E}$ en las nueve celdas se obtiene

\[\chi^2\approx 22{,}55.\]

(ii) Como $22{,}55>9{,}49$, se rechaza $H_0$. Hay evidencia de asociación entre tamaño y color. Respuesta: rechazar $H_0$.

Pregunta 4

Acceso ilimitado

En una obra, el número de metros cuadrados de ladrillos $(n)$ que se colocan en una jornada varía directamente con el número de albañiles $(B)$. Cinco albañiles colocan $60\,\text{m}^2$.

(a) Calcule la superficie que colocan 7 albañiles.

En otra obra, el tiempo $(t)$, en horas, varía inversamente con $B$. Cinco albañiles tardan 8 horas en colocar $60\,\text{m}^2$.

(b) Calcule cuánto tardan 12 albañiles.

(a) Variación directa: $n=kB$. Como $60=5k$, $k=12$. Para $B=7$, $n=12(7)=84$. Respuesta: $84\,\text{m}^2$.

(b) Variación inversa: $t=\dfrac{k}{B}$. Como $8=\dfrac{k}{5}$, $k=40$. Para $B=12$, $t=\dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}$ horas. Respuesta: $\dfrac{10}{3}$ h, es decir, 3 h 20 min.

Pregunta 5

Acceso ilimitado

Imani invierte 3000 $ a un tipo nominal anual del 1,25 %, compuesto mensualmente.

(a) Calcule el saldo tras 6 años completos, redondeado a dos decimales.

(b) Calcule el número de meses necesarios para que tenga al menos 3550 $.

Usa esos 3550 $ como entrada para un coche de 22 000 $ y pide un préstamo por el resto.

(d) El préstamo es a 8 años con tipo nominal anual del 12,6 %, compuesto mensualmente. Calcule la cuota mensual al dólar más cercano.

Tipo mensual para el ahorro: $i=0{,}0125/12$.

(a) \[A=3000(1+i)^{72}\approx 3233{,}53.\] Respuesta: 3233,53 $.

(b) Resolver $3000(1+i)^n\ge 3550$:

\[n\ge \frac{\ln(3550/3000)}{\ln(1+i)}\approx 161{,}69.\]

Se redondea hacia arriba: 162 meses.

(d) Para el préstamo, $i=0{,}126/12=0{,}0105$ y $N=96$. La cuota es

\[\text{PMT}=\frac{i\,PV}{1-(1+i)^{-N}}=\frac{0{,}0105(18450)}{1-(1{,}0105)^{-96}}\approx 306.\]

Respuesta: 306 $.

Pregunta 6

Acceso ilimitado

En promedio, 1 de cada 25 bombones que hace Jerry sale defectuoso. Los resultados son independientes. En un lote aleatorio de 20 bombones:

(a) Halle la probabilidad de que (i) haya exactamente dos defectuosos; (ii) haya más de dos defectuosos.

Jerry vende los bombones perfectos por 50 pesos y los defectuosos por 15 pesos.

(b) Calcule el ingreso esperado por un lote de 20.

Sea $X\sim\operatorname{Bin}(20,0{,}04)$.

(a)(i) \[P(X=2)=\binom{20}{2}(0{,}04)^2(0{,}96)^{18}\approx 0{,}146.\] Respuesta: 0,146.

(ii) \[P(X>2)=1-P(X\le 2)\approx 0{,}0439.\] Respuesta: 0,0439.

(b) $E[X]=20(0{,}04)=0{,}8$. El ingreso esperado es $50(20-X)+15X=1000-35X$, así que

\[E=1000-35(0{,}8)=972.\]

Respuesta: 972 pesos.

Pregunta 7

Acceso ilimitado

La escala de pH viene dada por $\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+]$, donde $[\mathrm{H}^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro.

(a) Calcule el pH si $[\mathrm{H}^+]=0{,}0003$.

(b) La leche tiene pH 6,6. Calcule $[\mathrm{H}^+]$.

(a) \[\mathrm{pH}=-\log_{10}(0{,}0003)\approx 3{,}52.\] Respuesta: 3,52.

(b) $[\mathrm{H}^+]=10^{-6{,}6}\approx 2{,}51\times 10^{-7}$. Respuesta: $2{,}51\times 10^{-7}\,\text{mol/L}$.

Respuesta: 316 veces.

Pregunta 8

Acceso ilimitado

Gustav lanza una moneda equilibrada y luego un dado equilibrado de seis caras. Si sale cruz, la puntuación definitiva es la del dado; si sale cara, se suma uno a la puntuación del dado.

(a) Halle la probabilidad de obtener 7 puntos.

(b) Complete la tabla de probabilidades para las puntuaciones 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

(a) Para obtener 7, debe salir cara y luego 6 en el dado:

\[P(7)=\frac12\cdot\frac16=\frac{1}{12}.\]

Respuesta: $\frac{1}{12}$.

(b) Las probabilidades para 1 a 7 son:

\[\frac{1}{12},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{12}.\]

Respuesta: 4.

Pregunta 9

Acceso ilimitado

Una maratón tiene una distancia de 42,195 km. Eefje corre 5 km el primer día y aumenta 2 km cada día posterior. Shumay corre 5 km el primer día y aumenta un 13 % cada día posterior.

Determine cuál de las dos corredoras será la primera en correr la distancia de una maratón en un día de entrenamiento e indique en qué día ocurre.

Eefje sigue una progresión aritmética:

\[a_n=5+2(n-1)=2n+3.\]

\[2n+3\ge 42{,}195\Rightarrow n\ge 19{,}5975,\]

por lo que Eefje llega en el día 20.

Shumay sigue una progresión geométrica:

\[b_n=5(1{,}13)^{n-1}.\]

\[5(1{,}13)^{n-1}\ge 42{,}195\Rightarrow n-1\ge \frac{\ln(42{,}195/5)}{\ln(1{,}13)}\approx 17{,}44.\]

Por tanto, Shumay llega en el día 19. Respuesta: Shumay, día 19.

Pregunta 10

Acceso ilimitado

La pendiente de la normal a la curva $y=ax^2+bx-10$ en el punto $T(2,4)$ es $-\tfrac{1}{3}$. Calcule $a$ y $b$.

La derivada es $y’=2ax+b$. En $x=2$, la pendiente de la tangente es $4a+b$.

Como la pendiente de la normal es $-\tfrac13$, la pendiente de la tangente es 3. Entonces

\[4a+b=3.\]

Además, $T(2,4)$ está en la curva:

\[4=4a+2b-10\Rightarrow 4a+2b=14.\]

Resolviendo el sistema, $a=-2$ y $b=11$. Respuesta: $a=-2,\;b=11$.

Pregunta 11

Acceso ilimitado

Una oveja está en un terreno triangular $ABC$ con $AC=21\,\text{m}$, $AB=15\,\text{m}$ y $\widehat{CAB}=78^\circ$. Una cabra está en un terreno adyacente con forma de sector circular de centro A y radio 8 m. Determine qué terreno es mayor y cuántos metros cuadrados adicionales tiene.

Terrenos adyacentes: triángulo ABC y sector circular de centro A.

Área del terreno de la oveja:

\[A_{\triangle}=\frac12(15)(21)\sin 78^\circ\approx 154{,}1\,\text{m}^2.\]

Área del sector de la cabra:

\[A_{\text{sector}}=\frac{78}{360}\pi(8)^2\approx 43{,}6\,\text{m}^2.\]

Diferencia: $154{,}1-43{,}6\approx 110{,}5$. Respuesta: la oveja, por $110{,}5\,\text{m}^2$.

Pregunta 12

Acceso ilimitado

Una alfombra tiene forma de rectángulo con un semicírculo en cada extremo. El rectángulo mide $y$ metros de ancho y cada semicírculo mide $x$ metros de diámetro, con $x>0$ e $y\ge 0$. El perímetro es 20 m y se quiere maximizar el área.

(a) Halle una expresión del perímetro en función de $x$ y $y$.

(b) Muestre que $A(x)=10x-\dfrac{\pi x^2}{4}$.

(d) Halle el valor exacto de $x$ que maximiza el área.

Alfombra rectangular con un semicírculo en cada extremo.

(a) El perímetro tiene dos lados rectos de longitud $y$ y dos semicírculos que forman un círculo completo de diámetro $x$:

\[P=2y+\pi x.\]

Como $P=20$, $2y+\pi x=20$.

(b) El área es el rectángulo más el círculo de radio $x/2$:

\[A=xy+\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2=xy+\frac{\pi x^2}{4}.\]

De $2y+\pi x=20$, $y=10-\frac{\pi x}{2}$. Sustituyendo:

\[A=x\left(10-\frac{\pi x}{2}\right)+\frac{\pi x^2}{4}=10x-\frac{\pi x^2}{4}.\]

(d) Para maximizar, resolvemos $10-\frac{\pi}{2}x=0$:

\[x=\frac{20}{\pi}.\]

Como $A»(x)=-\frac{\pi}{2}<0$, es un máximo. Respuesta: $x=\dfrac{20}{\pi}\,\text{m}$.