Prueba 1 Mayo 2025 TZ1

(a) El área de un sector anular de ángulo \(\tfrac{2\pi}{5}\) es

\[A = \tfrac{1}{5}\big(\pi(4)^2 – \pi(2.8)^2\big) = \tfrac{1}{5}\pi(16 – 7.84) = 1.632\pi\ \text{m}^2.\]

Numéricamente, \(A \approx 5.13\ \text{m}^2\), por lo que \(5.13 \mathrel{\unicode{x003C}} 6\). Maureen tiene suficiente tinte.

(b) La longitud del arco del círculo mayor a través de 3 de los 5 sectores es \(\tfrac{3}{5}\times 2\pi(4)\). Además, recorre dos radios del círculo mayor (ida y vuelta): \(2\times 4\).

\[L = \tfrac{3}{5}\cdot 2\pi\cdot 4 + 2\cdot 4 = \tfrac{24\pi}{5} + 8 \approx 23.0796\ \text{m}.\]

Distancia total: 23.1 m (a 3 c.s.).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a) Si la parábola toma el mismo valor h en d = 3 y d = 8.5, el eje de simetría está en el punto medio:

\[d = \frac{3 + 8.5}{2} = 5.75.\] d = 5.75

(b) Para \(h(d) = -0.2d^2 + bd\), el eje es \(d = -\tfrac{b}{2(-0.2)} = \tfrac{b}{0.4}\). Igualamos a 5.75:

\[\tfrac{b}{0.4} = 5.75 \Rightarrow b = 0.4\times 5.75 = 2.3.\] b = 2.3

(c) Reentrada cuando \(h=0\):

\[-0.2d^2 + 2.3d = 0 \Rightarrow d\big(-0.2d + 2.3\big)=0 \Rightarrow d=0 \text{ o } d=\frac{2.3}{0.2}=11.5.\]

Como \(d\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y no es el punto de salida, 11.5 m.

(d) Un valor negativo de h indica que el delfín está por debajo de la superficie del agua (sumergido).

Datos comunes: seis años con pagos mensuales dan \(n=6\times12=72\) pagos. Para una anualidad vencida usamos \(\text{PMT}=PV\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}\), donde \(i\) es el tipo mensual.

(a)(i) Opción A. El principal es todo el precio: \(PV=42695\). El tipo mensual es \(i=0.0715/12\).

\[\text{PMT}=42695\frac{0.0715/12}{1-(1+0.0715/12)^{-72}}\approx730.99.\]

\(730.99\text{ USD al mes}\)

(a)(ii) Opción B. Raúl paga inicialmente el 20 %, es decir, \(0.20(42695)=8539\) USD, y financia el 80 %:

\[PV=0.80(42695)=34156,\qquad i=0.064/12.\]

\[\text{PMT}=34156\frac{0.064/12}{1-(1+0.064/12)^{-72}}\approx572.54.\]

\(572.54\text{ USD al mes}\)

(b)(i) Podría preferir A porque no exige los \(8539\) USD iniciales; así conserva liquidez para otros gastos, aunque asume una cuota mayor.

(b)(ii) Podría preferir B porque la cuota mensual y el tipo de interés son menores. Esta ventaja debe compararse con el pago inicial requerido.

(a) Para 15 gorras sin descuento adicional: C(15) = 15p.

(b) Para n > 15: 15 gorras a p, y (n−15) gorras a (p−5):

\[C(n) = 15p + (p-5)(n-15) = np – 5n + 75.\]

(c)(i) Precio medio 25.73 EUR para 100 gorras ⇒ coste total exacto: 2573 EUR.

(ii) Con n = 100: \(2573 = 15p + (p-5)(100-15) = 15p + 85(p-5) = 100p – 425\). Así, \(100p = 2998\) y \(p = 29.98\).

Valor de lista: 29.98 EUR.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a)(i) En B, la dirección hacia D es oeste (bearing 270°) y hacia C es 100°, por lo que el ángulo \(\angle DBC\) es \(170^\circ\). En el triángulo \(\triangle DBC\): \(DB=2\), \(BC=13\).

Por cosenos: \[DC^2 = 2^2 + 13^2 – 2\cdot 2\cdot 13\cos 170^\circ.\]

\(DC \approx 14.9736\Rightarrow\) 15.0 km (3 c.s.).

(a)(ii) Por senos, el ángulo en D, \(\angle BDC\), resulta \(\approx 8.67^\circ\). Desde D, la línea \(DB\) apunta al este; para ir a C hay que girar \(8.67^\circ\) hacia el sur desde el este, es decir, bearing \(90^\circ + 8.67^\circ\).

\(098.7^\circ\) (a 0.1°).

(b) El desplazamiento de 2 km al oeste afecta por igual a B→D y C→E, formando un paralelogramo \(BCDE\). Por tanto, \(DE = BC = \) 13 km.

(a) Para x > 250: (i) descuento 30% ⇒ \(f(x) = 0.7x\). (ii) resta 150 ⇒ \(g(x)=x-150\).

(b) \((f\circ g)(x) = f(g(x))\): primero se resta 150 CAD y después se aplica el 30% de descuento al nuevo precio.

(c) \((f\circ g)(x) = 0.7(x-150) = 0.7x – 105\). \((g\circ f)(x) = g(0.7x) = 0.7x – 150\).

Para x = 450: \(f\circ g = 210\), \(g\circ f = 165\). Conviene el menor precio final: \((g\circ f)(x)\). Es mejor restar 150 tras aplicar el descuento, ya que la resta fija no se reduce por el porcentaje.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a)(i) La aceleración es la derivada de la velocidad:

\[a(t)=v'(t)=-2\sin t+2\cos(2t).\]

(a)(ii) Resolviendo \(a(t)=0\) con la calculadora en \([0,6]\) se obtienen \(t\approx0.524,\ 2.62,\ 4.71\). Sustituimos cada instante en \(v(t)\):

• \(v(0.524)\approx2.40\), punto \((0.524,2.40)\).
• \(v(2.62)\approx-2.80\), punto \((2.62,-2.80)\).
• \(v(4.71)\approx-0.20\), punto \((4.71,-0.20)\).

El esbozo debe ser suave, comenzar en \(v(0)=1.8\) y pasar por esos tres puntos de aceleración nula.

(b)(i) La distancia total es el área bajo \(|v(t)|\):

\[\displaystyle\int_0^6|2\cos t+\sin(2t)-0.2|\,dt.\]

Los cambios de signo de \(v\) son \(t\approx1.52074\) y \(t\approx5.31535\). Por ello también puede calcularse como

\[\int_0^{1.52074}v(t)\,dt-\int_{1.52074}^{5.31535}v(t)\,dt+\int_{5.31535}^{6}v(t)\,dt.\]

(b)(ii) Evaluando estos tres tramos con la calculadora:

\(7.76\text{ m}\) a tres cifras significativas.

(a) Por el teorema del factor, probamos \(x=3\): \(f(3)=27-81+69-15=0\). Luego a = 3.

(b) Área entre 1 y 3 (f(x) ≥ 0 en ese intervalo):

\[A = \int_{1}^{3} (x^3-9x^2+23x-15)\,dx = \Big[\tfrac{1}{4}x^4 – 3x^3 + \tfrac{23}{2}x^2 – 15x\Big]_1^3 = 4.\]

Área: 4.00 (unidades cuadradas).

(c) Buscamos \(b\) tal que \(\int_1^b f(x)\,dx = \int_1^b g(x)\,dx\), es decir \(\int_1^b (f-g)\,dx = 0\). Con GDC se obtiene \(b \approx 2.57\).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.