Práctica de Prueba 1 sin calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.
Matemáticas: Análisis y Enfoques NM · Prueba 1 · 15 de mayo de 2025 (TZ2)
Considere la función \(f(x)=x^3+5x^2-8\), donde \(x\in\mathbb{R}\).
(a) Halle \(f'(1)\). [2]
(b) Halle la ecuación de la tangente al gráfico de \(f\) en \(x=1\). [2]
(a) Derivamos: \(f'(x)=3x^2+10x\). Evaluamos en \(x=1\): \(f'(1)=3+10=13\). Respuesta: 13.
(b) Pendiente \(m=f'(1)=13\). El punto es \((1, f(1))\) con \(f(1)=1+5-8=-2\). Ecuación punto-pendiente: \(y-(-2)=13(x-1)\), es decir, \(y=13x-15\). Respuesta: y=13x-15.
La derivada de una función \(g\) viene dada por \(g'(x)=\cos x + e^{2x}\), donde \(x\in\mathbb{R}\). Sabiendo que \(g(0)=7\), halle \(g(x)\). [5]
Integramos: \(g(x)=\int(\cos x+e^{2x})\,dx=\sin x+\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\).
Usamos \(g(0)=7\): \(0+\tfrac{1}{2}+C=7\Rightarrow C=\tfrac{13}{2}\).
Por tanto, \(g(x)=\sin x+\tfrac{1}{2}e^{2x}+\tfrac{13}{2}\).
La función \(f\) viene dada por \(f(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1}\), para \(x\in\mathbb{R}\), \(x\ne -\tfrac{1}{2}\). La siguiente figura muestra una parte del gráfico de \(y=f(x)\).
(a) Escriba el valor de \(f(0)\). [1]
(b) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal. [1]
La función \(g\) viene dada por \(g(x)=-f(x)\) para \(x\ge 0\).
(c) Halle el recorrido de \(g\). [3]
(a) \(f(0)=\dfrac{-2}{1}=-2\). Respuesta: -2.
(b) Asíntota horizontal: cociente de coeficientes principales \(\tfrac{3}{2}\). Respuesta: \(y=\tfrac{3}{2}\).
(c) Para \(x\ge 0\), \(f'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^2}>0\), así que \(f\) es creciente. Por tanto, en \([0,\infty)\), el mínimo es \(f(0)=-2\) y el supremo es \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\tfrac{3}{2}\) (no alcanzado). Así, \(\mathrm{Im}(f|_{x\ge 0})=[-2,\tfrac{3}{2})\). Al reflejar en el eje x, el recorrido de \(g(x)=-f(x)\) es \((-\tfrac{3}{2},2]\). Respuesta: \((-\tfrac{3}{2},\,2]\).
En la siguiente figura se muestra el triángulo \(ABC\) (no rectángulo). Se da: \(AB=5\), \(BC=6\sqrt{2}\), \(\angle ACB=\theta\) y \(\angle BAC=2\theta\), con \(0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\).
(a) Utilizando el teorema del seno, muestre que \(\cos\theta=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\). [3]
(b) A partir de lo anterior, halle \(\sin\theta\). [2]
El punto \(D\) pertenece a \([AC]\), de modo que el área del triángulo \(BCD\) es igual a \(2\sqrt{14}\).
(c) Halle \(DC\). [2]
(a) En el triángulo \(ABC\), por ley de senos con lados opuestos a \(\angle C=\theta\) y \(\angle A=2\theta\): \[\frac{\sin\theta}{AB}=\frac{\sin(2\theta)}{BC}\;\Rightarrow\; \frac{\sin\theta}{5}=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{6\sqrt{2}}.\] Como \(\sin\theta>0\), se simplifica y queda \(1/5=\cos\theta/(3\sqrt{2})\), luego \(\cos\theta=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\).
(b) Como \(0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\), \(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{18}{25}}=\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}\). Respuesta: \(\dfrac{\sqrt{7}}{5}\).
(c) El área de \(\triangle BCD\) es \(\tfrac12\,BC\cdot DC\cdot \sin\angle BCD\). Como \(D\in AC\), el ángulo incluido en \(C\) es \(\angle BCA=\theta\). Así, \[\tfrac12\cdot 6\sqrt{2}\cdot DC\cdot \sin\theta=2\sqrt{14}.\] Sustituyendo \(\sin\theta=\tfrac{\sqrt{7}}{5}\): \(\tfrac12\cdot 6\sqrt{2}\cdot DC\cdot \tfrac{\sqrt{7}}{5}=2\sqrt{14}\). Simplificando \(\sqrt{2}\sqrt{7}=\sqrt{14}\) y cancelando, \(\dfrac{3}{5}DC=2\Rightarrow DC=\dfrac{10}{3}\). Respuesta: \(\dfrac{10}{3}\).
La ecuación cuadrática \(x^2+kx+15-k=0\) tiene dos raíces reales distintas.
(a) Halle los posibles valores de \(k\). [5]
(b) Halle los posibles valores de \(k\) en el caso en el que las dos raíces reales distintas sean ambas positivas o ambas negativas. [2]
(a) Para dos raíces reales distintas, el discriminante debe ser positivo: \(\Delta=k^2-4(15-k)=k^2+4k-60>0\). Factorizando: \((k-6)(k+10)>0\Rightarrow k<-10\) o \(k>6\). Respuesta: \(k<-10\) o \(k>6\).
(b) Producto de raíces \(=15-k>0\Rightarrow k<15\). Suma de raíces \(=-k\):
Considere la curva \(y=\sqrt{x^2\ln x+4-x^2}\), donde \(x\in\mathbb{R}\), \(x>0\).
(a) Muestre que la distancia \(l\) entre el origen y cualquier punto del gráfico de \(f\) viene dada por \(\displaystyle l=\sqrt{x^2\ln x+4}\). [1]
(b) A partir de lo anterior, halle la coordenada \(x\) del punto del gráfico de \(f\) más cercano al origen. [6]
(a) Para un punto \((x,y)\) en la curva, \(l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(x^2\ln x+4-x^2)}=\sqrt{x^2\ln x+4}\).
(b) Como la raíz cuadrada es creciente, basta minimizar \(S(x)=x^2\ln x+4\) con \(x>0\). Derivada: \(S'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\). Condición crítica: \(2\ln x+1=0\Rightarrow \ln x=-\tfrac12\Rightarrow x=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\). Comprobación: \(S»(x)=2\ln x+3\), y en \(x=e^{-1/2}\), \(S»=2>0\) (mínimo). Respuesta: \(x=e^{-1/2}=1/\sqrt{e}\).
Una variable aleatoria discreta \(X\) tiene la siguiente distribución de probabilidad, donde \(a>0\) y \(k\) es una constante.
| x | 0 | a | 2a | 3a |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | k | 3k^2 | 2k^2 | k^2 |
(a) Muestre que \(k=\tfrac{1}{3}\). [5]
(b) Halle \(P(X<3a)\). [2]
(c) Halle \(P(X\ge a\mid X<3a)\). [3]
(d) Sabiendo que \(\mathbb{E}(X)=20\), halle el valor de \(a\). [3]
(a) Suma de probabilidades: \(k+3k^2+2k^2+k^2=1\Rightarrow 6k^2+k-1=0\Rightarrow (3k-1)(2k+1)=0\). Con \(k>0\), \(k=\tfrac{1}{3}\).
(b) \(P(X<3a)=P(0)+P(a)+P(2a)=k+5k^2=\tfrac{1}{3}+\tfrac{5}{9}=\tfrac{8}{9}\). Respuesta: \(\tfrac{8}{9}\).
(c) \(P(X\ge a\mid X<3a)=\dfrac{P(X=a)+P(X=2a)}{P(X<3a)}=\dfrac{3k^2+2k^2}{k+5k^2}=\dfrac{5k^2}{k+5k^2}\). Con \(k=\tfrac{1}{3}\): \(\dfrac{5/9}{8/9}=\tfrac{5}{8}\). Respuesta: \(\tfrac{5}{8}\).
(d) \(\mathbb{E}(X)=0\cdot k+a\cdot 3k^2+2a\cdot 2k^2+3a\cdot k^2=a(3k^2+4k^2+3k^2)=10ak^2\). Con \(k=\tfrac{1}{3}\): \(10a\cdot \tfrac{1}{9}=20\Rightarrow a=18\). Respuesta: 18.
Una noria de 72 metros de diámetro gira a velocidad constante. El punto más bajo de la noria está a 8 m del suelo. Un asiento inicia el viaje en el punto más bajo. La noria tarda 12 minutos en dar una vuelta completa. Cuando han transcurrido \(t\) minutos, la altura \((h\ \text{m})\) del asiento respecto al suelo viene dada por \(h(t)=a\cos(bt)+44\), donde \(a,b\in\mathbb{R}\).
(a) Halle el valor de (i) \(a\); (ii) \(b\). [4]
(b) Dibuje aproximadamente el gráfico de \(h\), para \(0\le t\le 12\). Rotule claramente las coordenadas del máximo y de los extremos. [2]
Considere una vuelta de la noria.
(c) El asiento está a una altura del suelo de al menos 26 m durante \(T\) minutos. Halle \(T\). [5]
(d) (i) Halle \(h'(t)\). (ii) A partir de lo anterior, o de cualquier otro modo, halle el instante en el que la altura del asiento respecto al suelo está disminuyendo a mayor velocidad. [4]
(a) (i) Centro a 44 m y radio 36 m. Como comienza en el punto más bajo, \(h(0)=8=a\cos 0+44\Rightarrow a=-36\). Respuesta: \(a=-36\).
(ii) Periodo \(T=12\Rightarrow b=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad/min}\). Respuesta: \(b=\tfrac{\pi}{6}\).
(b) Gráfico sinusoidal: extremos en \((0,8)\) y \((12,8)\); máximo en \((6,80)\).
(c) \(h(t)\ge 26\iff -36\cos\!\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)+44\ge 26\iff \cos\!\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)\le \tfrac{1}{2}\). En \([0,12]\), esto ocurre para \(\tfrac{\pi}{6}t\in[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}]\Rightarrow t\in[2,10]\). Duración: \(T=8\ \text{min}\).
(d) (i) \(h'(t)=-a\,b\sin(bt)=6\pi\sin\!\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)\). Respuesta: \(h'(t)=6\pi\sin\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)\).
(ii) La mayor disminución corresponde al mínimo de \(h’\), cuando \(\sin(\tfrac{\pi}{6}t)=-1\Rightarrow \tfrac{\pi}{6}t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow t=9\). Respuesta: \(t=9\ \text{min}\).
La función \(f\) se define así: \(f(x)=4^x\), donde \(x\in\mathbb{R}\).
(a) Halle \(f^{-1}(8)\). Exprese la respuesta de la forma \(\tfrac{p}{q}\) donde \(p,q\in\mathbb{Z}\). [3]
La función \(g\) se define así: \(g(x)=1+\log_2 x\), donde \(x\in\mathbb{R}^+\).
(b) (i) Halle una expresión para \(g^{-1}(x)\). [2]
(ii) Describa una secuencia de transformaciones que transforme el gráfico de \(y=g^{-1}(x)\) en el gráfico de \(y=f(x)\). [2]
(c) Muestre que \((f\circ g)(x)=4x^2\). [3]
La función \(h\) se define así: \(h(x)=\dfrac{4x^2}{2x+1}\), con \(x\ne -\tfrac12\). La figura muestra parte del gráfico de \(h\). Sea \(R\) la región delimitada por el gráfico de \(h\) y el eje \(x\), entre \(x=1\) y \(x=3\).
(d) (i) Muestre que \(\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}=2x-1+\frac{1}{2x+1}\). [2]
(ii) A partir de lo anterior, o de cualquier otro modo, halle el área de \(R\); dé la respuesta de la forma \(p+q\ln r\), donde \(p,q,r\in\mathbb{Q}^+\). [5]
(a) \(f^{-1}(8)=\log_4 8=\dfrac{\log 8}{\log 4}=\dfrac{3}{2}\). Respuesta: \(\tfrac{3}{2}\).
(b)(i) Sea \(y=g(x)=1+\log_2 x\). Entonces \(y-1=\log_2 x\Rightarrow x=2^{y-1}\). Por tanto, \(g^{-1}(x)=2^{x-1}\).
(b)(ii) De \(y=2^{x-1}\) a \(y=4^x=2^{2x}\):
(c) \((f\circ g)(x)=4^{\,1+\log_2 x}=4\cdot 4^{\log_2 x}=4\cdot (2^{\log_2 x})^2=4x^2\).
(d)(i) \[2x-1+\frac{1}{2x+1}=\frac{(2x-1)(2x+1)+1}{2x+1}=\frac{4x^2-1+1}{2x+1}=\frac{4x^2}{2x+1}.\]
(d)(ii) \(A=\displaystyle\int_{1}^{3} h(x)\,dx=\int_{1}^{3}\Big(2x-1+\frac{1}{2x+1}\Big)dx\).
Integrando: \(\int(2x-1)dx=x^2-x\), y \(\int \dfrac{1}{2x+1}dx=\tfrac12\ln(2x+1)\). Por tanto, \[A=\Big[x^2-x+\tfrac12\ln(2x+1)\Big]_{1}^{3}=\Big(9-3+\tfrac12\ln 7\Big)-\Big(1-1+\tfrac12\ln 3\Big)=6+\tfrac12\ln\!\Big(\tfrac{7}{3}\Big).\]
Respuesta: \(6+\tfrac{1}{2}\,\ln\!\big(\tfrac{7}{3}\big)\).
