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Matemáticas AI NM

Prueba 1 Mayo 2025 TZ2

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 11 h 30 min

11preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación — Nivel Medio — Prueba 1

15 de mayo de 2025

En esta prueba es necesario usar una calculadora de pantalla gráfica.
Conteste todas las preguntas y muestre el procedimiento.
Salvo indicación en contra, dé sus respuestas numéricas exactas o con tres cifras significativas.
Duración: 1 hora 30 minutos. Puntuación máxima: 80 puntos.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Acceso ilimitado

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos cifras decimales.

Pierre invierte 1.500 euros (EUR) al final de cada mes, durante 10 años, en un plan de ahorro que paga un tipo de interés nominal anual del 3,6% compuesto mensualmente.

(a) Calcule el valor de los ahorros de Pierre al final de esos 10 años.

Al final de esos 10 años, Pierre saca EUR 100.000 del plan de ahorro y los utiliza como entrada para una casa. Pierre invierte el resto en otra cuenta con un tipo de interés nominal anual del 4,5% compuesto trimestralmente y deja ahí el dinero durante 15 años.

(b) Calcule la cantidad que habrá en la cuenta de Pierre cuando finalice este período.

(a) Es una anualidad ordinaria (aportaciones al final de cada mes). Con i mensual \(=0.036/12=0.003\) y \(n=10\times 12=120\):

\[\text{FV}=\text{PMT}\,\frac{(1+i)^n-1}{i}=1500\,\frac{(1.003)^{120}-1}{0.003}\]

\((1.003)^{120}\approx 1.43278\Rightarrow \text{FV}\approx 1500\times 144.1857=216\,278.58\,\text{EUR}\).

Valor al final de 10 años: \(216\,278.58\ \text{EUR}\).

(b) Capital que se reinvierte tras retirar 100 000 EUR: \(PV=216\,278.58-100\,000=116\,278.58\,\text{EUR}\).

Interés nominal 4.5% compuesto trimestralmente: \(j=0.045/4=0.01125\), \(n=15\times 4=60\).

\[\text{FV}=PV\,(1+j)^n=116\,278.58\,(1.01125)^{60}\approx 116\,278.58\times 1.95682=227\,515.92\,\text{EUR}\]

Cantidad tras 15 años: \(227\,515.92\ \text{EUR}\).

Pregunta 2

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Se tiran dos dados sin sesgo; las caras de cada uno están numeradas del 1 al 6. Se anotan los números que salen en las caras superiores de los dados. Sea la variable aleatoria X la diferencia entre los números que han salido en los dados.

(a) (i) Halle P(X = 0). (ii) Halle P(X = 5).

(b) Complete la tabla para así mostrar la distribución de probabilidad de X. Se muestra la probabilidad de que X = 3.

x	0	1	2	3	4	5
P(X = x)				6/36

(d) Sabiendo que la diferencia entre los números que han salido en los dados es un número impar, halle la probabilidad de que X = 5.

Sea X = |dado1 − dado2|.

(a) (i) Para X = 0 ambas caras son iguales: 6 resultados de 36. \(P(X=0)=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}\approx 0.167\).

(ii) Para X = 5: (1,6),(6,1) ⇒ 2 de 36. \(P(X=5)=\tfrac{2}{36}=\tfrac{1}{18}\approx 0.056\).

(b) Recuento de diferencias absolutas (simetría):

x	0	1	2	3	4	5
P(X=x)	6/36	10/36	8/36	6/36	4/36	2/36

(c) \[E(X)=\sum x\,P(X=x)=\frac{1\cdot 10+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 4+5\cdot 2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\approx 1.94\]

Media: \(\tfrac{35}{18}\ (\approx 1.94)\).

(d) Dado que X es impar, los posibles valores son 1, 3 y 5 con cuentas 10, 6 y 2. \[P(X=5\mid X\text{ impar})=\frac{2}{10+6+2}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\approx 0.111\]

Probabilidad pedida: \(\tfrac{1}{9}\).

Pregunta 3

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Como parte de un experimento, se construye un hormiguero y se observa. Al comienzo de la semana 1, se vio que en el hormiguero había 200 hormigas. El número de hormigas que había en el hormiguero fue aumentando un 15% cada semana.

(a) Calcule el número de hormigas que hay en el hormiguero al comienzo de la semana 11.

El número de hormigas que hay en ese hormiguero superó por primera vez las 3000 en la semana k.

(b) Halle el valor de k.

Modelo geométrico: \(N_n=200\cdot 1.15^{n-1}\) al comienzo de la semana \(n\).

(a) Semana 11 ⇒ \(n=11\): \[N_{11}=200\cdot 1.15^{10}\approx 200\cdot 4.04556=809.11\]

Al comienzo de la semana 11: \(809\ \text{hormigas}\) (aprox.).

(b) Primera vez que supera 3000: \[200\cdot 1.15^{k-1}>3000\ \Rightarrow\ 1.15^{k-1}>15\ \Rightarrow\ k-1>\frac{\ln 15}{\ln 1.15}\approx 19.376\]

Por tanto \(k=20\).

Semana en la que se supera por primera vez: 20.

Pregunta 4

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Jane probó con gatos y con perros tres sabores distintos de comida para mascotas, para determinar si el sabor preferido era (o no) independiente del tipo de animal. Los resultados:

Sabor preferido	Ternera	Pollo	Pescado
Gato	8	22	20
Perro	16	25	9

(a) Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

(b) Escriba el número de grados de libertad.

(d) Indique la conclusión de esta prueba, dando una razón: (i) al 1%. (ii) al 5%.

La conclusión de Jane fue que el sabor preferido no era independiente del tipo de animal.

(e) Indique cuál de los dos niveles de significación utilizó Jane en su prueba.

(a) H0: el tipo de animal y el sabor preferido son independientes. H1: no son independientes.

(b) Tabla 2×3 ⇒ \(\text{gl}=(2-1)(3-1)=2\).

(c) Esperados (totales: gatos 50, perros 50; columnas 24, 47, 29): para gatos (12, 23.5, 14.5) y para perros (12, 23.5, 14.5). Estadístico:

\[\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}\approx \frac{(8-12)^2}{12}+\frac{(22-23.5)^2}{23.5}+\frac{(20-14.5)^2}{14.5}\\+\frac{(16-12)^2}{12}+\frac{(25-23.5)^2}{23.5}+\frac{(9-14.5)^2}{14.5}\approx 7.03\]

Con gl=2, GDC: \(p\approx 0.0297\).

Valor-p: 0.0297.

(d) (i) Al 1%: \(p=0.0297>0.01\) ⇒ no se rechaza H0; evidencia insuficiente de dependencia.

(ii) Al 5%: \(p=0.0297<0.05\) ⇒ se rechaza H0; evidencia de que no son independientes.

(e) Jane concluyó que “no eran independientes”, por lo que utilizó el nivel 5%.

Pregunta 5

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Un barco navega 900 km con una demora de 135° (sur-este) desde Lomé (M) hasta São Tomé (S). Luego 300 km hacia el este hasta Libreville (V). Desde V regresa directamente a M. La figura no está a escala.

(a) Halle el tamaño de VŜM.

(b) Calcule MV.

Diagrama del barco y las distancias/ángulos usados en el problema.

(a) En S, el ángulo entre SM (rumbo 315° desde S a M) y SV (este) es \(135^\circ\). Por tanto, \(135^\circ\).

(b) En el triángulo MSV, por cosenos con lado opuesto a \(\angle VSM=135^\circ\):

\[MV^2=900^2+300^2-2(900)(300)\cos 135^\circ=810000+90000+270000\sqrt{2}\]

\[MV\approx \sqrt{1\,281\,837.66}=1\,131.9\ \text{km}\]

Distancia aproximada: \(1\,130\ \text{km}\) (3 c.s.).

\[\frac{\sin \angle V}{900}=\frac{\sin 135^\circ}{MV}\Rightarrow \angle V\approx 34.2^\circ\]

Desde V hacia M el rumbo es hacia el noroeste: \(\text{demora}=360^\circ- (90^\circ-\angle V)=270^\circ+\angle V\approx 304.2^\circ\).

Demora desde V a M: \(304^\circ\).

Pregunta 6

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Una cámara controla si un coche supera el límite de 8.3 m s⁻¹. La distancia señalada es 10 m. El coche tarda 1.2 s, redondeado al múltiplo de 0.1 s más próximo. Determine si hay certeza de que superó el límite. Justifique.

El tiempo real \(t\) satisface el redondeo a 1.2 s: \(1.15\le t<1.25\) s.

Velocidad mínima (con \(t\) máximo): \(v_{\min}=\tfrac{10}{1.25}=8\,\text{m s}^{-1}<8.3\).

Además, el tiempo en el límite es \(t_{\text{lim}}=\tfrac{10}{8.3}\approx 1.2048\) s, que cae dentro de \([1.15,1.25)\). Si \(t>1.2048\), no supera el límite; si \(t<1.2048\), sí lo supera.

Conclusión: con el redondeo dado, no hay certeza de que superara el límite.

Pregunta 7

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Considere el diagrama de Voronoi con sitios A(3,3), B(10,5), C(7,2), D(5,9), E(1,5) y F(6,5). En el diagrama se muestran las celdas y sus contornos.

(a) Halle la ecuación del contorno entre D y E.

El vértice X está equidistante de B, C y F.

(b) (i) Escriba las coordenadas de X. (ii) El valor exacto de BX es n. Escriba n.

El vértice Y(a, b) está equidistante de B, D y F.

Diagrama de Voronoi con puntos y regiones relevantes.

(a) El contorno entre D(5,9) y E(1,5) es la mediatriz de DE. Punto medio (3,7); pendiente DE = 1 ⇒ perpendicular con pendiente −1:

\[y-7=-1(x-3)\ \Rightarrow\ y=10-x\]

Ecuación: y=10-x.

(b) (i) X está en la mediatriz de BF: \(x=8\). También en la mediatriz de CF: de C(7,2) a F(6,5) su mediatriz es \(y-3.5=\tfrac{1}{3}(x-6.5)\). Con \(x=8\) ⇒ \(y=4\). Luego X=(8,4).

(ii) \[BX=\sqrt{(10-8)^2+(5-4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\]

Valor exacto: \(\sqrt{5}\).

(ii) Igualando distancias a D y a F con \(x=8\):

\[(8-6)^2+(b-5)^2=(8-5)^2+(b-9)^2\ \Rightarrow\ 4+(b-5)^2=9+(b-9)^2\]

\[8b=61\ \Rightarrow\ b=\frac{61}{8}=7\tfrac{5}{8}\]

Valor exacto: \(\tfrac{61}{8}\).

Pregunta 8

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La curva de frecuencia acumulada muestra las velocidades (km/h) de 80 coches.

(a) Calcule el porcentaje que supera 80 km/h.

Con la curva se construye la tabla de frecuencias agrupadas con 4 clases de igual frecuencia (20 cada una):

Velocidad (x) (km/h)	0 < x ≤ p	p < x ≤ m	m < x ≤ q	q < x ≤ 100
Número de coches	20	20	20	20

(b) Halle (i) p, (ii) m, (iii) q.

Curva de frecuencia acumulada para estimar percentiles y medidas.

(a) De la curva, a 80 km/h la frecuencia acumulada es 72; por encima de 80 hay \(80-72=8\) coches de 80: \(\tfrac{8}{80}=10\%\). Porcentaje: \(10\%\).

(b) Cuantiles por cuartiles de 20 en 20 a partir de la curva:

(i) \(p\) donde FA=20 ⇒ 44 km/h.

(ii) \(m\) donde FA=40 ⇒ 60 km/h.

(iii) \(q\) donde FA=60 ⇒ 70 km/h.

\[\bar{x}=\frac{20(22+52+65+85)}{80}=\frac{20\cdot 224}{80}=56\]

Estimación de la media: \(56\ \text{km/h}\).

Pregunta 9

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Considere la función f(x) definida en los enteros 0 a 4:

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	1	0	4	2

(a) Resuelva f(x) = 4.

(b) Resuelva f(x) = x.

x	0	1	2	3	4
f⁻¹(x)

(a) Mirando la tabla, \(f(3)=4\) ⇒ x=3.

(b) Fijos de f: se verifica \(f(1)=1\). Los demás no coinciden. x=1.

x	0	1	2	3	4
f⁻¹(x)	2	1	4	0	3

Pregunta 10

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Dos jueces —Brett y Clarence— clasifican a 8 perros pastores (A–H):

Posición	1	2	3	4	5	6	7	8
Brett	A	C	D	B	E	F	G	H
Clarence	A	B	D	C	E	G	F	H

(a) Escriba el rango que Brett ha concedido al perro B.

(b) Calcule el coeficiente de correlación por rangos de Spearman.

(a) En la fila de Brett, B está en la posición 4 ⇒ 4.

(b) Asignamos rangos por perro (A..H) y diferencias \(d\):

Brett: (1,4,2,3,5,6,7,8); Clarence: (1,2,4,3,5,7,6,8). Entonces \(d^2\) por perro: A:0, B:4, C:4, D:0, E:0, F:1, G:1, H:0 ⇒ \(\sum d^2=10\).

\[r_s=1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot 10}{8(64-1)}=1-\frac{60}{504}=0.880952\approx 0.881\]

Coeficiente de Spearman: 0.881.

(c) Es una correlación positiva fuerte entre los rangos de ambos jueces; no es perfecta (no siempre coinciden en el orden).

Pregunta 11

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A = (1,2,1), B = (3,5,2).

(a) Halle AB.

El triángulo ABC es rectángulo con ángulo recto en B. C = (2,8,k).

(b) Halle el valor de k.

(a) Distancia en 3D:

\[AB=\sqrt{(3-1)^2+(5-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3.74\]

\(\sqrt{14}\).

(b) Rectángulo en B ⇒ \(AB^2+BC^2=AC^2\).

\(AB^2=14\). \(BC^2=(2-3)^2+(8-5)^2+(k-2)^2=1+9+(k-2)^2\). \(AC^2=(2-1)^2+(8-2)^2+(k-1)^2=1+36+(k-1)^2\).

Igualando: \(14+[1+9+(k-2)^2]=[1+36+(k-1)^2]\Rightarrow 24+(k-2)^2=37+(k-1)^2\Rightarrow k=-5\).

Resultado: k=-5.

\[\cos(\angle BÂC)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\,|AC|} = \frac{(2,3,1)\cdot(1,6,-6)}{\sqrt{14}\,\sqrt{73}}=\frac{14}{\sqrt{14}\,\sqrt{73}}\]

\[\angle BÂC\approx \cos^{-1}\!\left(\tfrac{14}{\sqrt{1022}}\right)=64.0^\circ\]

Ángulo: \(64.0^\circ\).