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Matemáticas AE NM

Prueba 1 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 1 sin calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 11 hora 30 minutos
9preguntas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
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Las puntuaciones de 80 golfistas en un campeonato se resumen en el siguiente diagrama de caja y bigotes (puntuaciones entre 62 y 78).

(a) Halle el rango intercuartil.

(b) Halle el número de golfistas que han obtenido una puntuación de entre 70 y 74.

Diagrama de caja y bigotes de las puntuaciones de 80 golfistas

Del diagrama: \(Q_1=68\) y \(Q_3=74\).

(a) Rango intercuartil: \(\text{RIQ}=Q_3-Q_1=74-68=\)6.

(b) En un diagrama de caja, el tramo entre la mediana (\(Q_2=70\)) y \(Q_3\) representa el 25% de los datos. Con 80 golfistas: \(0.25\times 80=\)20.

Pregunta 2
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Sea \(\log_{10}2=p\) y \(\log_{10}3=q\).

(a) Exprese \(\log_{10}24\) en función de \(p\) y \(q\).

(b) Exprese \(\log_{3}8\) en función de \(p\) y \(q\).

(a) Factorice 24: \(24=2^3\cdot 3\).

Entonces \(\log_{10}24=\log_{10}(2^3)+\log_{10}3=3\log_{10}2+\log_{10}3=\)3p+q.

(b) Use cambio de base: \(\log_{3}8=\dfrac{\log_{10}8}{\log_{10}3}=\dfrac{\log_{10}(2^3)}{q}=\dfrac{3\log_{10}2}{q}=\)\(\dfrac{3p}{q}\).

Pregunta 3
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La figura muestra el gráfico de \(y=f(x)\), para \(-6\le x\le 5\).

(a) Escriba el valor de \(f(-3)\).

(b) Indique el dominio de \(f^{-1}\).

(c) Halle \(x\) tal que \(f^{-1}(2x-7)=-3\).

Gráfico de y=f(x) para -6 menor o igual que x menor o igual que 5

(a) Se lee en el gráfico \(y\) cuando \(x=-3\). Del dibujo, \(f(-3)=\)-1.

(b) El dominio de \(f^{-1}\) es el rango de \(f\). Del gráfico, los valores de \(y\) van de \(-3\) a \(5\). Por tanto, dominio de \(f^{-1}\): [−3, 5].

(c) \(f^{-1}(2x-7)=-3\iff 2x-7=f(-3)\). Con el resultado de (a): \(2x-7=-1\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=\)3.

Pregunta 4
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(a) Muestre que \(\cos^4x-\sin^4x=\cos 2x\).

(b) A partir de lo anterior, halle \(\displaystyle\int(\cos^4x-\sin^4x)\,dx\).

(a) Use diferencia de cuadrados: \(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x)^2-(\sin^2x)^2=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x)\).

Como \(\cos^2x+\sin^2x=1\), queda \(\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\). Por tanto, \(\cos^4x-\sin^4x=\cos 2x\).

(b) Entonces \(\int(\cos^4x-\sin^4x)\,dx=\int\cos 2x\,dx\).

Por inspección o sustitución \(u=2x\): \[\int\cos 2x\,dx=\tfrac12\int\cos u\,du=\tfrac12\sin 2x+C.\]

Resultado: \(\tfrac12\sin 2x+C\).

Pregunta 5
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Considere la curva \(y=x^2-x-1\) y la recta \(y=mx-3\), con \(m\in\mathbb{R}\).

(a) Muestre que se encuentran cuando \(x^2-(m+1)x+2=0\).

(b) Halle los valores de \(m\) para los que la recta es tangente a la curva.

(a) Intersección: \(x^2-x-1=mx-3\Rightarrow x^2-x-1-mx+3=0\Rightarrow x^2-(m+1)x+2=0\).

(b) Tangencia ⇔ la ecuación cuadrática tiene una única raíz real: discriminante \(=0\).

\[\Delta=(m+1)^2-4\cdot 1\cdot 2=0\;\Rightarrow\;(m+1)^2=8\;\Rightarrow\;m=-1\pm 2\sqrt{2}.\]

Valores de la pendiente: \(m=-1\pm 2\sqrt{2}\).

Pregunta 6
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Sean \(X\sim\mathcal{N}(7,a^2)\) e \(Y\sim\mathcal{N}(19,a^2)\), con \(a>0\).

(a) Halle \(b\) tal que \(\mathbb{P}(X>b)=\mathbb{P}(Y>22)\).

(b) Escriba \(\mathbb{P}(7-a<X<7+a)\) aproximadamente, con dos cifras significativas.

(c) Si \(a=3\), calcule aproximadamente \(\mathbb{P}(Y<22)\), con dos cifras significativas.

(a) Estandarice: \(\mathbb{P}(X>b)=\mathbb{P}\!\left(Z>\dfrac{b-7}{a}\right)\), \(\mathbb{P}(Y>22)=\mathbb{P}\!\left(Z>\dfrac{22-19}{a}\right)\).

Igualdad ⇔ \(\dfrac{b-7}{a}=\dfrac{3}{a}\Rightarrow b-7=3\Rightarrow b=\)10.

(b) Un desvío estándar a cada lado de la media en \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) encierra ≈ 0.68. Así, 0.68.

(c) Con \(a=3\): \(\mathbb{P}(Y<22)=\mathbb{P}\!\left(Z<\dfrac{22-19}{3}\right)=\mathbb{P}(Z<1)\approx\)0.84.

Pregunta 7
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Una jardinera cercará un área total de 60 m^2 y la dividirá en 8 rectángulos idénticos, de dimensiones \(x\) por \(y\) (\(x,y>0\)), como en la figura (no a escala).

(a) Exprese \(y\) en función de \(x\).

(b) Muestre que la longitud total de cuerda \(T\) (m) satisface \(T=12x+\dfrac{75}{x}\).

(c) Halle \(\dfrac{dT}{dx}\).

Para \(x=k\) se cumple \(\dfrac{dT}{dx}=0\).

(d) (i) Halle \(k\). (ii) Calcule \(T\) cuando \(x=k\). (iii) Halle \(y\) cuando \(x=k\).

(e) (i) Halle \(\dfrac{d^2T}{dx^2}\). (ii) Justifique si \(T\) tiene un mínimo o un máximo local en \(x=k\).

Diagrama de jardín dividido en ocho rectángulos idénticos con medidas x e y

(a) La malla es de 4 por 2 rectángulos: el rectángulo exterior mide \(4x\) por \(2y\). Área total \(=4x\cdot 2y=60\Rightarrow xy=\dfrac{60}{8}=7.5\). Por tanto, \[y=\frac{7.5}{x}=\frac{15}{2x}.\]

(b) Longitud total de cuerda = perímetro exterior + divisiones internas.

  • Perímetro exterior: \(2(4x+2y)=8x+4y\).
  • 3 líneas internas verticales de longitud \(2y\): \(3\cdot 2y=6y\).
  • 1 línea interna horizontal de longitud \(4x\): \(4x\).

Así, \(T= (8x+4y)+6y+4x=12x+10y\). Sustituyendo \(y=\dfrac{15}{2x}\): \[T=12x+10\cdot\frac{15}{2x}=12x+\frac{75}{x}.\]

(c) Derive: \[\frac{dT}{dx}=12-\frac{75}{x^2}.\]

(d) Si \(\dfrac{dT}{dx}=0\): \(12-\dfrac{75}{k^2}=0\Rightarrow k^2=\dfrac{75}{12}=\dfrac{25}{4}\Rightarrow k=\)\(\tfrac{5}{2}\) (se toma \(k>0\)).

(ii) \(T(k)=12\cdot\tfrac{5}{2}+\dfrac{75}{\tfrac{5}{2}}=30+30=\)60 m.

(iii) \(y=\dfrac{15}{2k}=\dfrac{15}{2\cdot\tfrac{5}{2}}=\)3 m.

(e) (i) Segunda derivada: \[\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{150}{x^3}.\]

(ii) En \(x=k=\tfrac{5}{2}\), \(\dfrac{d^2T}{dx^2}=\dfrac{150}{(5/2)^3}>0\). Luego la curva es cóncava hacia arriba y \(T\) tiene un mínimo local en \(x=k\).

Pregunta 8
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Considere la progresión \(\{u_n\}\) con \(u_1=k-5\), \(u_2=3-2k\), \(u_3=5k+3\), \(k\in\mathbb{R}\).

(a) Si \(\{u_n\}\) es aritmética: (i) halle \(k\); (ii) halle \(u_3\).

(b) Para \(k=12\): (i) muestre que \(u_1,u_2,u_3\) forman una progresión geométrica y halle la razón; (ii) explique por qué la suma infinita no existe.

(c) La progresión es geométrica para un segundo valor de \(k\). (i) Muestre que \(k^2-10k-24=0\). (ii) Halle \(u_1,u_2,u_3\) para ese segundo valor. (iii) Escriba \(S_{2m}\), la suma de los \(2m\) primeros términos, para ese valor.

(a) Aritmética: diferencias consecutivas iguales.

\[(3-2k)-(k-5)=(5k+3)-(3-2k)\;\Rightarrow\;8-3k=7k\Rightarrow 5k=4\Rightarrow k=\]\(\tfrac{4}{5}\).

(ii) \(u_3=5k+3=5\cdot\tfrac{4}{5}+3=\)7.

(b) Con \(k=12\): \(u_1=12-5=7\), \(u_2=3-24=-21\), \(u_3=60+3=63\).

Razón: \(r=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{-21}{7}=\)−3; también \(\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{63}{-21}=−3\). Son geométricos.

(ii) La suma infinita de una PG solo existe si \(|r|<1\). Aquí \(|-3|\ge 1\), así que no converge.

(c) (i) Geométrica: \(\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}\Rightarrow (3-2k)^2=(k-5)(5k+3)\).

Expanda y simplifique: \(9-12k+4k^2=5k^2-22k-15\Rightarrow k^2-10k-24=0\).

(ii) Soluciones: \(k=12\) o \(k=-2\). El segundo valor es \(k=\)−2.

Con \(k=-2\): \(u_1=-2-5=-7\), \(u_2=3-2(-2)=7\), \(u_3=5(-2)+3=-7\).

(iii) La PG alterna con \(r=-1\). Los pares consecutivos suman cero: \(u_1+u_2=0\), etc. Por tanto, \[\boxed{S_{2m}=0}.\]

Pregunta 9
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(a) (i) Resuelva \(5-4x-x^2=0\). (ii) Determine los valores de \(x\) para los que \(5-4x-x^2>0\).

Considere \(f(x)=\log_k(5-4x-x^2)\), con \(a<x<b\) y \(k>1\). El gráfico de \(f\) tiene asíntotas verticales \(x=a\) y \(x=b\).

(b) Escriba los valores de: (i) \(a\); (ii) \(b\).

(c) Halle los valores exactos de \(x\) tales que \(f(x)=0\).

(d) El gráfico de \(f\) alcanza un valor máximo de 2. Halle \(k\).

Gráfico de f con asíntotas verticales x=a y x=b

(a)(i) \(5-4x-x^2=0\iff x^2+4x-5=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\)\(-5,\;1\).

(ii) Como la parábola es cóncava hacia abajo, \(5-4x-x^2>0\) entre las raíces: \(-5<x<1\).

(b) Las asíntotas verticales corresponden a ceros del argumento del logaritmo: \(a=-5\), \(b=1\).

(c) \(f(x)=0\iff \log_k(5-4x-x^2)=0\iff 5-4x-x^2=1\).

\(x^2+4x-4=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}\). Respuesta: \(x=-2\pm 2\sqrt{2}\).

(d) El máximo de \(f\) ocurre cuando \(5-4x-x^2\) es máximo. Vértice de \(-x^2-4x+5\) en \(x=-\tfrac{b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2(-1)}=-2\); valor máximo: \(5-4(-2)-(-2)^2=9\).

Si el máximo de \(f\) es 2: \(\log_k 9=2\Rightarrow k^2=9\Rightarrow k=\)3 (ya que \(k>1\)).