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Matemáticas AE NS

Prueba 1 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 1 sin calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 12 horas

12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 1

Duración: 2 horas
Sin calculadora
Sección A: responde todas las preguntas en el espacio provisto
Sección B: responde todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas
Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o correctas a tres cifras significativas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1Sección A

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Sea \(\log_{10}2=p\) y \(\log_{10}3=q\).

(a) Expresa \(\log_{10}24\) en términos de \(p\) y \(q\).

(b) Expresa \(\log_{3}8\) en términos de \(p\) y \(q\).

Enunciado trabajado.

Sea \(\log_{10}2=p\) y \(\log_{10}3=q\).

(a) Expresa \(\log_{10}24\) en términos de \(p\) y \(q\).

(b) Expresa \(\log_{3}8\) en términos de \(p\) y \(q\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Factoriza: \(24=3\cdot 2^{3}\).

Por propiedades de logaritmos, \(\log_{10}24=\log_{10}3+\log_{10}2^{3}=q+3p\).

Respuesta: \(3p+q\).

(b) Cambio de base: \(\log_{3}8=\dfrac{\log_{10}8}{\log_{10}3}=\dfrac{3\log_{10}2}{\log_{10}3}=\dfrac{3p}{q}\).

Respuesta: \(\dfrac{3p}{q}\).

Pregunta 2Sección A

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El siguiente diagrama muestra la gráfica de \(y=f(x)\), para \(-6\le x\le 5\).

(a) Escribe el valor de \(f(-3)\).

(b) Indica el dominio de \(f^{-1}\), la función inversa de \(f\).

Gráfica de y=f(x) para -6 menor o igual que x menor o igual que 5.

Enunciado trabajado.

El siguiente diagrama muestra la gráfica de \(y=f(x)\), para \(-6\le x\le 5\).

(a) Escribe el valor de \(f(-3)\).

(b) Indica el dominio de \(f^{-1}\), la función inversa de \(f\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Lee en la gráfica el valor de \(y\) cuando \(x=-3\): \(f(-3)=-1\).

Respuesta: \(-1\).

(b) El dominio de \(f^{-1}\) es el recorrido (rango) de \(f\). De la gráfica: \([-3,\,5]\).

Respuesta: \(3\).

Pregunta 3Sección A

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Resuelve la ecuación \(2\cos(2\theta)-5\cos\theta+2=0\) para \(\pi\le \theta\le 2\pi\).

Enunciado trabajado.

Resuelve la ecuación \(2\cos(2\theta)-5\cos\theta+2=0\) para \(\pi\le \theta\le 2\pi\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Usa \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\):

\[2(2\cos^2\theta-1)-5\cos\theta+2=0\Rightarrow 4\cos^2\theta-5\cos\theta=0.\]

Factoriza: \(\cos\theta(4\cos\theta-5)=0\). La ecuación \(4\cos\theta-5=0\) no tiene solución real. Así, \(\cos\theta=0\).

En \([\pi,2\pi]\): \(\theta=\dfrac{3\pi}{2}\).

Respuesta: \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Pregunta 4Sección A

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Considera la curva \(y=x^2-x-1\) y la recta \(y=mx-3\), con \(m\in\mathbb{R}\).

(a) Demuestra que se cortan cuando \(x^2-(m+1)x+2=0\).

(b) En consecuencia, halla los valores de \(m\) para los que la recta es tangente a la curva.

Enunciado trabajado.

Considera la curva \(y=x^2-x-1\) y la recta \(y=mx-3\), con \(m\in\mathbb{R}\).

(a) Demuestra que se cortan cuando \(x^2-(m+1)x+2=0\).

(b) En consecuencia, halla los valores de \(m\) para los que la recta es tangente a la curva.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Igualamos \(x^2-x-1=mx-3\) y llevamos todo a un lado:

\[x^2-x-1-(mx-3)=0\;\Rightarrow\;x^2-(m+1)x+2=0.\]

(b) Tangencia ⇔ discriminante cero: \((m+1)^2-4\cdot1\cdot2=0\Rightarrow (m+1)^2=8\).

\[m=-1\pm2\sqrt{2}.\]

Respuesta: \(m=-1\pm2\sqrt{2}\).

Pregunta 5Sección A

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Las v.a. normales \(X\sim\mathcal{N}(7,\sigma^2)\) y \(Y\sim\mathcal{N}(19,\sigma^2)\), con \(\sigma\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

(a) Halla \(b\) tal que \(\mathbb{P}(X\mathrel{\unicode{x003E}}b)=\mathbb{P}(Y\mathrel{\unicode{x003E}}22)\).

(b) Escribe el valor aproximado de \(\mathbb{P}(7-\sigma\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}7+\sigma)\) a 2 c.s.

Enunciado trabajado.

Las v.a. normales \(X\sim\mathcal{N}(7,\sigma^2)\) y \(Y\sim\mathcal{N}(19,\sigma^2)\), con \(\sigma\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

(a) Halla \(b\) tal que \(\mathbb{P}(X\mathrel{\unicode{x003E}}b)=\mathbb{P}(Y\mathrel{\unicode{x003E}}22)\).

(b) Escribe el valor aproximado de \(\mathbb{P}(7-\sigma\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}7+\sigma)\) a 2 c.s.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Estandariza y usa que ambas tienen la misma desviación:

\[\mathbb{P}\!\left(Z\mathrel{\unicode{x003E}}\tfrac{b-7}{\sigma}\right)=\mathbb{P}\!\left(Z\mathrel{\unicode{x003E}}\tfrac{22-19}{\sigma}\right)\;\Rightarrow\;b-7=3\;\Rightarrow\; b=10.\]

Respuesta: \(10\).

(b) En una normal, \(\pm1\sigma\) abarca ≈ 68%:

\[\mathbb{P}(7-\sigma\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}7+\sigma)\approx\;0.68.\]

Respuesta: \(0.84\).

Pregunta 6Sección A

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Sea \(f\) una función cuyo gráfico tiene un máximo local en \(A(-1,\dots)\), un mínimo local en \(B(0,\dots)\), una asíntota vertical en \(x=-\tfrac{1}{2}\) y una asíntota oblicua \(y=5x+5\). El diagrama muestra parte del gráfico de \(f\).

(a) En la rejilla dada, esboza \(y=|f(x)|\), indicando claramente las asíntotas.

(b) En la rejilla dada, esboza \(y=\dfrac{15}{f(x)}\), indicando claramente las asíntotas e intersecciones con los ejes.

Gráfica dada de y=f(x), con puntos A y B, ejes y asíntotas.

Rejilla para esbozar la gráfica de y igual a valor absoluto de f de x.

Rejilla para esbozar la gráfica de y igual a 15 dividido por f de x.

Enunciado trabajado.

(a) En la rejilla dada, esboza \(y=|f(x)|\), indicando claramente las asíntotas.

(b) En la rejilla dada, esboza \(y=\dfrac{15}{f(x)}\), indicando claramente las asíntotas e intersecciones con los ejes.

Se resuelve por apartados, aplicando las reglas de transformación a cada rama del gráfico.

(a) Regla del valor absoluto:

Donde \(f(x)\ge 0\), \(|f(x)|=f(x)\), por lo que la rama se mantiene.
Donde \(f(x)\mathrel{\unicode{x003C}}0\), \(|f(x)|=-f(x)\), por lo que la rama se refleja respecto del eje \(x\).

La asíntota vertical sigue siendo \(x=-\tfrac{1}{2}\). Para \(x\to+\infty\), la asíntota oblicua es \(y=5x+5\); para \(x\to-\infty\), el valor absoluto refleja la rama negativa y la asíntota pasa a ser \(y=-5x-5\).

El esbozo de \(|f(x)|\) queda completamente sobre o en el eje \(x\), con asíntotas \(x=-\tfrac12\), \(y=5x+5\) a la derecha y \(y=-5x-5\) a la izquierda.

(b) Para \(y=\dfrac{15}{f(x)}\), los ceros de \(f\) producen asíntotas verticales porque el denominador tiende a cero. Cuando \(|f(x)|\to\infty\), el cociente tiende a cero, de modo que \(y=0\) es asíntota horizontal.

En \(x=-\tfrac12\), la función original tiende a infinito; por tanto, \(15/f(x)\to0\). Como \(f\) no está definida allí, se representa una discontinuidad sobre el eje \(x\), no una nueva asíntota vertical.

No hay intersecciones con el eje \(x\), porque el numerador 15 nunca es cero. La intersección con el eje \(y\) es \(\left(0,\dfrac{15}{f(0)}\right)\), usando la ordenada de \(B\) en el gráfico.

El esbozo de \(15/f(x)\) tiene asíntota horizontal \(y=0\), asíntotas verticales en los ceros de \(f\), ninguna intersección con el eje \(x\) y corte \(\left(0,15/f(0)\right)\) con el eje \(y\).

Pregunta 7Sección A

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La curva \(x^2+y^4=r^4\) (con \(0\le x\le r^2\)) se muestra en el diagrama. La región encerrada por la curva y el eje \(y\) gira \(2\pi\) radianes alrededor del eje \(y\). Halla el volumen en la forma \(V=a\pi r^{b}\), donde \(a, b\in\mathbb{Z}^{+}\).

Diagrama de la curva x al cuadrado más y a la cuarta igual a r a la cuarta, con el sector sombreado.

Enunciado trabajado.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Por discos respecto de \(y\): \(V=\pi\int x^2\,dy\). De la curva, \(x^2=r^4-y^4\).

Integramos de \(-r\) a \(r\):

\[V=\pi\int_{-r}^{r}(r^4-y^4)\,dy=\pi\Big[r^4y-\tfrac{y^5}{5}\Big]_{-r}^{r}=\pi\Big(2r^5-\tfrac{2r^5}{5}\Big)=\tfrac{8\pi}{5}r^5.\]

Respuesta: \(\dfrac{8\pi}{5}\,r^{5}\) (a=8/5, b=5).

Pregunta 8Sección A

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(a) Considera \(z=\sqrt{3}-3i\). Exprésalo como \(re^{i\theta}\), con \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(-\pi\mathrel{\unicode{x003C}}\theta\le\pi\).

(b) Sea \(z_2=2\sqrt{3}\,e^{\,i\,5\pi/6}\). Sean \(u,v,w\) las raíces cúbicas de \(\dfrac{z_2}{z}\) (donde \(z\) es el de (a)). Encuéntralas.

Enunciado trabajado.

(a) Considera \(z=\sqrt{3}-3i\). Exprésalo como \(re^{i\theta}\), con \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(-\pi\mathrel{\unicode{x003C}}\theta\le\pi\).

(b) Sea \(z_2=2\sqrt{3}\,e^{\,i\,5\pi/6}\). Sean \(u,v,w\) las raíces cúbicas de \(\dfrac{z_2}{z}\) (donde \(z\) es el de (a)). Encuéntralas.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Módulo: \(r=|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Argumento: \(\theta=\arctan\big(\tfrac{-3}{\sqrt{3}}\big)=-\tfrac{\pi}{3}\).

Por tanto, \(z=2\sqrt{3}\,e^{-i\pi/3}\). Respuesta: \(2\sqrt{3}\,e^{-i\pi/3}\).

(b) Cociente en forma polar: \[\frac{z_2}{z}=\frac{2\sqrt{3}\,e^{i5\pi/6}}{2\sqrt{3}\,e^{-i\pi/3}}=e^{i(5\pi/6+\pi/3)}=e^{i7\pi/6}.\]

Las raíces cúbicas son \(e^{i(7\pi/18+2k\pi/3)}\), \(k=0,1,2\):

\[u=e^{\,i\,7\pi/18},\quad v=e^{\,i\,(7\pi/18+2\pi/3)}=e^{-\,i\,17\pi/18},\quad w=e^{\,i\,(7\pi/18+4\pi/3)}=e^{-\,i\,5\pi/18}.\]

Respuesta: \(u=e^{i7\pi/18},\;v=e^{-i17\pi/18},\;w=e^{-i5\pi/18}\).

Pregunta 9Sección A

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Calcula \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{x\sin x}{1-\cos x}\).

Enunciado trabajado.

Calcula \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{x\sin x}{1-\cos x}\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Multiplica por \(\tfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\):

\[\frac{x\sin x}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}=\frac{x\sin x(1+\cos x)}{1-\cos^2 x}=\frac{x(1+\cos x)}{\sin x}.\]

Usa \(\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}=1\): entonces \(\lim_{x\to 0}\tfrac{x}{\sin x}=1\) y \(\lim_{x\to 0}(1+\cos x)=2\).

Por tanto, el límite vale \(2\).

Pregunta 10Sección B

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Sea la sucesión \(\{u_n\}\) con \(u_1=k-5\), \(u_2=3-2k\), \(u_3=5k+3\), donde \(k\in\mathbb{R}\).

a) Caso aritmético:

Halla \(k\).
Por tanto, halla \(u_3\).

b) Para \(k=12\):

Muestra que \(u_1,u_2,u_3\) son geométricos.
Dado que es geométrica, explica por qué la suma infinita no existe.

c) La sucesión es geométrica para un segundo valor de \(k\).

Demuestra que \(k^2-10k-24=0\).
Halla \(u_1,u_2,u_3\) para ese valor.
Escribe \(S_{2m}\), la suma de los primeros \(2m\) términos, para ese valor.

Enunciado trabajado.

Sea la sucesión \(\{u_n\}\) con \(u_1=k-5\), \(u_2=3-2k\), \(u_3=5k+3\), donde \(k\in\mathbb{R}\).

a) Caso aritmético:

Halla \(k\).
Por tanto, halla \(u_3\).

b) Para \(k=12\):

Muestra que \(u_1,u_2,u_3\) son geométricos.
Dado que es geométrica, explica por qué la suma infinita no existe.

c) La sucesión es geométrica para un segundo valor de \(k\).

Demuestra que \(k^2-10k-24=0\).
Halla \(u_1,u_2,u_3\) para ese valor.
Escribe \(S_{2m}\), la suma de los primeros \(2m\) términos, para ese valor.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) Aritmética: \(u_2-u_1=u_3-u_2\).

\[(3-2k)-(k-5)=(5k+3)-(3-2k)\;\Rightarrow\;8-3k=7k\Rightarrow k=\tfrac{4}{5}.\]

(ii) \(u_3=5k+3=5\cdot\tfrac{4}{5}+3=7\). Respuesta: \(7\).

(b)(i) Con \(k=12\): \(u_1=7\), \(u_2=-21\), \(u_3=63\). Razón constante \(r=\tfrac{-21}{7}=-3=\tfrac{63}{-21}\).

(ii) No existe suma infinita porque \(|r|\ge 1\) (no converge).

(c)(i) Geométrica: \(\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}\) con \(u_1\ne0, u_2\ne0\).

\[\frac{3-2k}{k-5}=\frac{5k+3}{3-2k}\;\Rightarrow\;(3-2k)^2=(k-5)(5k+3)\;\Rightarrow\;k^2-10k-24=0.\]

(ii) Además de \(k=12\), la otra raíz es \(k=-2\). Entonces \(u_1=-7\), \(u_2=7\), \(u_3=-7\) (razón \(r=-1\)).

(iii) Para \(r=-1\), la suma de \(2m\) términos se anula por parejas:

\[S_{2m}=0.\]

Pregunta 11Sección B

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Los puntos \(A(1,-4,0)\), \(B(-3,-6,2)\), \(C(-1,-2,4)\) y \(D\) forman el paralelogramo \(ABCD\), donde \(D\) es opuesto a \(B\).

(a) Halla las coordenadas de \(D\).

Las diagonales \([AC]\) y \([BD]\) se cortan en \(E\).

(b) Halla \(E\).

Dados \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m\,( -1,1,-1)\) con \(m\in\mathbb{Z}^+\), halla \(m\).
De ahí, el área de \(ABCD\).

El plano \(\Pi_1\) contiene al paralelogramo.

(d) Halla la ecuación cartesiana de \(\Pi_1\).

Sea \(\Pi_2: 5x+y-7z=1\). El ángulo agudo entre \(\Pi_1\) y \(\Pi_2\) es \(\theta\).

(e) Demuestra que \(\cos\theta=\dfrac{1}{5}\).

La recta \(L\) pasa por \(E\) y es perpendicular a \(\Pi_1\). Corta a \(\Pi_2\) en \(F\).

(f) Halla \(F\).

Enunciado trabajado.

Los puntos \(A(1,-4,0)\), \(B(-3,-6,2)\), \(C(-1,-2,4)\) y \(D\) forman el paralelogramo \(ABCD\), donde \(D\) es opuesto a \(B\).

(a) Halla las coordenadas de \(D\).

Las diagonales \([AC]\) y \([BD]\) se cortan en \(E\).

(b) Halla \(E\).

Dados \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m\,( -1,1,-1)\) con \(m\in\mathbb{Z}^+\), halla \(m\).
De ahí, el área de \(ABCD\).

El plano \(\Pi_1\) contiene al paralelogramo.

(d) Halla la ecuación cartesiana de \(\Pi_1\).

Sea \(\Pi_2: 5x+y-7z=1\). El ángulo agudo entre \(\Pi_1\) y \(\Pi_2\) es \(\theta\).

(e) Demuestra que \(\cos\theta=\dfrac{1}{5}\).

La recta \(L\) pasa por \(E\) y es perpendicular a \(\Pi_1\). Corta a \(\Pi_2\) en \(F\).

(f) Halla \(F\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) En un paralelogramo, \(\vec{AD}=\vec{CB}\). Por coordenadas: \(D=A+C-B=(3,0,2)\). Respuesta: \((3,0,2)\).

(b) \(E\) es el punto medio de \([AC]\): \(E=\big(\tfrac{1+(-1)}{2},\tfrac{-4+(-2)}{2},\tfrac{0+4}{2}\big)=(0,-3,2)\). Respuesta: \((0,-3,2)\).

(c)(i) \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-4,-2,2)\), \(\overrightarrow{AD}=D-A=(2,4,2)\).

Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-12,12,-12)=12(-1,1,-1)\Rightarrow m=12\). Respuesta: \(12\).

(ii) Área del paralelogramo: \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(-12)^2+12^2+(-12)^2}=12\sqrt{3}\). Respuesta: \(12\sqrt{3}\).

(d) Un normal de \(\Pi_1\) es \(\mathbf{n}_1=(-1,1,-1)\). Usando \(A\): \(-x+y-z=-5\). Respuesta: \(-x+y-z=-5\).

(e) Normales: \(\mathbf{n}_1=(-1,1,-1)\), \(\mathbf{n}_2=(5,1,-7)\).

\[\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}=\frac{|(-1)5+1\cdot1+(-1)(-7)|}{\sqrt{3}\,\sqrt{75}}=\frac{3}{\sqrt{225}}=\frac{1}{5}.\]

(f) \(L\): punto \(E=(0,-3,2)\), dirección \(\mathbf{n}_1=(-1,1,-1)\): \(\mathbf{r}=(0,-3,2)+\lambda(-1,1,-1)\).

Intersección con \(\Pi_2\): sustituir en \(5x+y-7z=1\):

\[-5\lambda+(-3+\lambda)-7(2-\lambda)=1\Rightarrow 3\lambda-17=1\Rightarrow \lambda=6.\]

\(F=(0,-3,2)+6(-1,1,-1)=(-6,3,-4)\). Respuesta: \((-6,3,-4)\).

Pregunta 12Sección B

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Sea \(z=x+yi\), con \(x,y\in\mathbb{R}\), tal que \(|z-(2+i)|=3\).

(a) Demuestra que \(x^2+y^2-4x-2y-4=0\).

Se sabe que \(\arg\!\Big(\dfrac{z+p}{z-1}\Big)=\dfrac{\pi}{4}\), con \(p\in\mathbb{R}\).

(b) Demuestra que \(x^2+y^2+(p-1)x+(p+1)y-p=0\).

Dos raíces de \(z^4+az^3+bz^2+cz+d=0\) son \(z_1\) y \(z_2\), con \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\), que satisfacen \(|z-(2+i)|=3\) y \(\Re z = -\Im z\).

(d) Halla el valor de \(a\).

Enunciado trabajado.

Sea \(z=x+yi\), con \(x,y\in\mathbb{R}\), tal que \(|z-(2+i)|=3\).

(a) Demuestra que \(x^2+y^2-4x-2y-4=0\).

Se sabe que \(\arg\!\Big(\dfrac{z+p}{z-1}\Big)=\dfrac{\pi}{4}\), con \(p\in\mathbb{R}\).

(b) Demuestra que \(x^2+y^2+(p-1)x+(p+1)y-p=0\).

Dos raíces de \(z^4+az^3+bz^2+cz+d=0\) son \(z_1\) y \(z_2\), con \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\), que satisfacen \(|z-(2+i)|=3\) y \(\Re z = -\Im z\).

(d) Halla el valor de \(a\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Es \(|(x-2)+i(y-1)|=3\). Al cuadrar: \((x-2)^2+(y-1)^2=9\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y-4=0\).

(b) Sea \(\dfrac{z+p}{z-1}=\dfrac{(x+p)+iy}{(x-1)+iy}\). El argumento vale \(\pi/4\), así que la tangente del argumento es 1. Usando diferencia de argumentos:

\[\arg(x+p+iy)-\arg(x-1+iy)=\frac{\pi}{4}.\]

Con \(\tan(\arg(a+ib))=\tfrac{b}{a}\) y la identidad de la tangente de una diferencia, se obtiene

\[\frac{\tfrac{y}{x+p}-\tfrac{y}{x-1}}{1+\tfrac{y}{x+p}\cdot\tfrac{y}{x-1}}=1\;\;\Rightarrow\;\;x^2+y^2+(p-1)x+(p+1)y-p=0.\]

(c) Aquí \(p=4\) (pues el argumento es \(\pi/4\)). Entonces de (b): \(x^2+y^2+3x+5y-4=0\). Con la condición \(\Re z=-\Im z\) se tiene \(x=-y\).

Sustituye \(y=-x\) en (a): \(x^2+x^2-4x+2x-4=0\Rightarrow 2x^2-2x-4=0\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x\in\{-1,2\}.\)

Así, \(z_1=-1+i\) y \(z_2=2-2i\). Respuesta: \(z_1=-1+i\), \(z_2=2-2i\).

(d) Sea \(z_3=\overline{z_1}=-1-i\) y \(z_4=\overline{z_2}=2+2i\). Por Viète para \(z^4+az^3+\cdots=0\): \(a=-(z_1+z_2+z_3+z_4)=-( (-1+i)+(2-2i)+(-1-i)+(2+2i))=-2\).

Respuesta: \(a=-2\).