Prueba 1 Mayo 2025 TZ3

(a) Regla del coseno sobre el lado opuesto al ángulo en P:

\[ NV^2 = 20^2 + 25^2 – 2\cdot 20\cdot 25\cos(55.5^\circ). \]

\(NV \approx 21.4149\,\text{m}\Rightarrow\) 21.4 m.

(b) Regla del seno usando el ángulo en P y el lado opuesto \(NV\):

\[ \frac{\sin\angle PN\!V}{25} = \frac{\sin(55.5^\circ)}{NV}. \]

Con \(NV\approx 21.4149\): \(\sin\angle PN\!V \approx \tfrac{25\sin55.5^\circ}{21.4149}\). Entonces \(\angle PN\!V \approx\) 74.2°.

(c) La distancia mínima desde P a la recta \([NV]\) es la altura desde P. Usando el área:

\[ \text{Área}=\tfrac12\cdot 20\cdot 25\sin(55.5^\circ)=\tfrac12\cdot NV\cdot h \Rightarrow h=\frac{20\cdot 25\sin(55.5^\circ)}{NV}. \]

Con \(NV\approx 21.4149\): \(h\approx\) 19.2 m.

(a) Sustituimos \(I=10^{-5}\) e \(I_0=10^{-12}\) en la fórmula:

\[L=10\log_{10}\left(\frac{10^{-5}}{10^{-12}}\right)=10\log_{10}(10^7).\]

Como \(\log_{10}(10^7)=7\),

\[L=10(7)=70\text{ dB}.\]

\(70\text{ dB}\)

(b) Despejamos la intensidad a partir de \(L=185\):

\[185=10\log_{10}\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\Rightarrow18.5=\log_{10}\left(\frac{I}{10^{-12}}\right).\]

Elevando 10 a ambos lados:

\[\frac{I}{10^{-12}}=10^{18.5}\Rightarrow I=10^{-12}10^{18.5}=10^{6.5}.\]

Para escribirlo en notación científica, \(10^{6.5}=10^{0.5}10^6=\sqrt{10}\,10^6\approx3.16\times10^6\).

\(I=3.16\times10^6\text{ W m}^{-2}\)

(a) \(H_1\): el nivel de satisfacción y el tipo de interacción no son independientes (hay asociación).

(b) \(\text{gl}=(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=\) 4.

(c) Totales: filas 88, 93, 69; columnas 85, 97, 68; total 250. Esperados \(E=\tfrac{(\text{fila})(\text{col})}{250}\). Suma \(\sum \tfrac{(O-E)^2}{E}\) da \(\chi^2\approx\) 3.32.

(d) (i) Como \(\chi^2_{\text{calc}}=3.32\mathrel{\unicode{x003C}}9.488\), no se rechaza \(H_0\). La afirmación de Prakash es incorrecta.

(ii) Conclusión: no hay evidencia suficiente para afirmar que la satisfacción y el tipo de interacción no sean independientes; en esta muestra se comportan como independientes.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a) El percentil 75 (Q3) es 24.70 s; el 25% superior: \(0.25\times 16=\) 4 nadadoras.

(b) Del gráfico: \(Q_1=24.28\) s y \(Q_3=24.70\) s. Entonces \(\text{IQR}=24.70-24.28=\) 0.42 s.

(c) (i) Umbrales: superior \(=Q_3+1.5\,\text{IQR}=24.70+0.63=25.33\) s; inferior \(=Q_1-0.63=23.65\) s.

Entre 23.96, 24.12, 25.12 y 25.40, solo \(25.40\mathrel{\unicode{x003E}}25.33\) ⇒ el único atípico es 25.40 s.

(ii) Completar: bigote superior hasta 25.12 s (excluyendo el atípico), marcar 25.40 s como punto fuera; bigote inferior hasta 23.96 s.

Datos: \(PV=50\,000\), \(i_m=0.042/12=0.0035\), \(n=25\cdot 12=300\).

(a) Renta ordinaria: \[ \text{PMT}=\frac{PV\,i_m}{1-(1+i_m)^{-n}}=\frac{50\,000\cdot 0.0035}{1-(1.0035)^{-300}}\approx \text{\,} 269.47 \text{€}. \]269.47 €

(b) (i) Saldo tras 96 meses: \[ B_{96}=PV(1+i_m)^{96}-\text{PMT}\,\frac{(1+i_m)^{96}-1}{i_m}\approx \text{\,} 39\,243.42 \text{€}. \]\(39\,243.42 \text{€}\)

(ii) Sin cancelación: pago total \(=300\cdot 269.47=80\,841.00\,\text{€}\). Con cancelación: \(96\cdot 269.47+39\,243.42=65\,112.54\,\text{€}\). Ahorro: \(80\,841.00-65\,112.54=\) \(15\,728.46 \text{€}\).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a) Suma de 10 términos: \(S_{10}=\tfrac{10}{2}\,[2\cdot 6+(10-1)\cdot 3]=5\cdot 39=195^\circ\).

Probabilidad \(p=195/360=\) 13/24 \((\approx 0.542)\).

(b) Sea \(X\sim \text{Bin}(n=4,p=13/24)\). Se pide \(P(X\ge 3)=\binom{4}{3}p^3(1-p)+p^4\).

Con \(p=13/24\): \(P(X\ge 3)\approx\) 0.377.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

(a) La población se divide primero en tres grupos según la riqueza y después se eligen países de cada grupo. Por definición, es

muestreo estratificado.

(b)(i) Introducimos las dos listas de datos en la calculadora y usamos el cálculo de correlación lineal. Se obtiene

\[r\approx0.853899.\]

\(r\approx0.854\)

(b)(ii) El criterio del enunciado acepta el modelo cuando \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0.8\). Como \(0.854\mathrel{\unicode{x003E}}0.8\), la correlación lineal positiva es suficientemente fuerte según ese criterio.

El modelo se considera válido.

(c) Con la regresión lineal de \(y\) sobre \(x\), manteniendo los coeficientes completos en la calculadora, obtenemos

\[y=0.265851\ldots x+2.395735\ldots\]

A tres cifras significativas:

\(y=0.266x+2.40\)

(d) Para predecir la felicidad cuando \(x=17.2\), evaluamos la regresión usando los coeficientes no redondeados:

\[y=0.265851\ldots(17.2)+2.395735\ldots=6.96837\ldots\]

\(y\approx6.97\)