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Matemáticas AI NM

Prueba 1 Noviembre 2023

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 11 hora 30 minutos

10preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación (NM) — Prueba 1

Duración: 1 hora 30 minutos
Calculadora de pantalla gráfica: necesaria
Contesta todas las preguntas. Muestra el procedimiento.
Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o con tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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Joel registra el tiempo T (min) que tarda en recorrer 1 km en bicicleta por colinas de pendiente G (%). La pendiente es constante en cada colina.

Pendiente G (%)	0	4	10	15	20
Tiempo T (min)	2,11	5,39	10,56	13,20	18,58

(a) (i) Halle la ecuación de la recta de regresión de T sobre G.
(ii) Describa la correlación entre T y G haciendo referencia al coeficiente de correlación de Pearson r.

El próximo sábado Joel sube una colina con pendiente del 17 %.

(b) Estime el tiempo para recorrer 1 km de esa colina.

Esta mañana Joel tardó 22 minutos en 1 km en una colina.

(a) Ingresamos los datos en la calculadora y realizamos la regresión lineal T sobre G.

Recta de regresión: \(T = aG + b\). Con la GDC se obtiene \(a \approx 0{,}798803\) y \(b \approx 2{,}13972\).

Por tanto, una forma adecuada (3 c.s.) es \(\displaystyle T \approx 0{,}799\,G + 2{,}14\).

El coeficiente de correlación es \(r \approx 0{,}996\), por lo que la correlación es lineal positiva muy fuerte.

(b) Sustituimos \(G=17\) en la recta:

\[T(17) = 0{,}798803\times 17 + 2{,}13972 \approx 15{,}7\text{ min}.\]

Respuesta: 15,7 min.

(c) La recta es de tiempo sobre pendiente. No es adecuada para predecir G a partir de T (no es la regresión inversa). Además, 22 min está fuera del rango de tiempos observado, por lo que sería una extrapolación poco fiable.

Pregunta 2

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La Gran Pirámide de Guiza se medía en codos reales egipcios (REC). Se leyó que 1 REC = 0,52 m, redondeado a dos decimales.

(a) Escriba los límites superior e inferior de 1 REC en metros.

La base es cuadrada, de 440 REC de lado, y la altura es 280 REC (ambas exactas). Modele la pirámide como una pirámide recta de base cuadrada.

(b) Halle, en m³, el volumen mínimo posible de la pirámide.

(a) Al estar 0,52 m redondeado a 2 decimales, los límites son:

Inferior: \(0{,}515\,\text{m}\). Superior: \(0{,}525\,\text{m}\).

Respuesta: 0,515 m y 0,525 m.

(b) Para minimizar el volumen en metros, usamos el límite inferior \(0{,}515\,\text{m/REC}\) tanto en lado como en altura.

Conversión: \(\ell_{\min} = 440\times0{,}515\), \(h_{\min} = 280\times0{,}515\).

Volumen de pirámide: \(\displaystyle V=\tfrac{1}{3}\,(\ell_{\min})^2\,h_{\min} = \tfrac{1}{3}\,(440\cdot 0{,}515)^2\,(280\cdot 0{,}515).\)

Cálculo con GDC: \(V_{\min} \approx 2{,}47\times10^6\,\text{m}^3\).

Respuesta: 2,47×10^6 m³ (aprox.).

Pregunta 3

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Considere la función \(\displaystyle g(x)=\frac{8}{x}+\frac{x^{2}}{2}\), para \(x\ne 0\).

(a) Escriba la ecuación de la asíntota vertical.

(b) Halle \(g'(x)\).

(a) La asíntota vertical está donde el denominador de \(\tfrac{8}{x}\) es 0: \(x=0\).

Respuesta: x = 0.

(b) Derivamos término a término:

\[g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\frac{8}{x}\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\frac{x^2}{2}\right)=-\frac{8}{x^2}+x.\]

\[-\frac{8}{x^2}+x>0\ \Longleftrightarrow\ x^3-8>0\ (x\ne 0)\ \Longleftrightarrow\ x>2.\]

Intervalo de crecimiento: \((2, \infty)\).

Pregunta 4

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En el diagrama de Voronoi, las granjas están en A(0,3), B(8,3) y C(8,13). Cada granja posee los terrenos más cercanos. En el diagrama 1 se muestra el punto donde coinciden los límites; en el diagrama 2 se muestran los nuevos límites al añadir la granja D(6,5) y los vértices etiquetados.

(a) Escriba las coordenadas del punto donde coinciden los límites en el diagrama 1.

(b) Halle la ecuación de la mediatriz de [AC].

(c) Se construirá una turbina eólica en uno de los vértices del diagrama 2. Debe estar lo más lejos posible de las granjas más cercanas.
(i) Calculando las distancias pertinentes, halle la ubicación de la turbina (el vértice elegido).
(ii) Escriba la distancia entre la turbina y la granja más cercana.

Diagramas de Voronoi de las granjas A, B, C y D.

(a) Es el punto de intersección de las mediatrices de AB y BC (o AC), que por simetría entre A(0,3), B(8,3) y C(8,13) es el punto medio simultáneo entre dos pares. Calculando con A y C: el punto medio de AC es (4,8). Por construcción del diagrama 1, ese es el triple punto.

Respuesta: (4, 8).

(b) Recta mediatriz de AC: pendiente de AC, \(m_{AC} = \tfrac{13-3}{8-0}=\tfrac{5}{4}\). La pendiente perpendicular es \(-\tfrac{4}{5}\). Pasa por el punto medio (4,8):

\[y-8=-\frac{4}{5}(x-4)\quad (\text{equiv. } y=-0{,}8x+11{,}2\ \text{o } 4x+5y-56=0).\]

(c) En el diagrama 2, se consideran los vértices etiquetados. Calculamos, para cada vértice, su distancia a la granja más cercana y elegimos el que maximiza esa distancia mínima:

Vértice (4,1): distancia mínima a A o B: \(\sqrt{20}\approx 4{,}47\) km.
Vértice (11,8): distancia mínima (a B o C): \(\sqrt{34}\approx 5{,}83\) km.
Vértice \(\big(\tfrac{9}{11},\tfrac{116}{11}\big)\): distancia a A, C y D es la misma, \(\sqrt{\tfrac{6970}{121}}\approx 7{,}59\) km.

(i) Por lo tanto, el vértice óptimo es \(\big(\tfrac{9}{11},\tfrac{116}{11}\big)\).

(ii) Distancia a la granja más cercana: 7,59 km (3 c.s.).

Pregunta 5

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Jason navega desde A con rumbo 112° una distancia de 100 km hasta B, y luego con rumbo 041° hasta C. El punto C está justo al este de A.

(a) Halle \(\angle ABC\).

(b) Calcule la distancia directa de C a A.

Diagrama de rumbos desde A hasta B y desde B hasta C.

(a) En B, la dirección hacia A tiene rumbo \(112°+180°=292°\). El ángulo en B entre BA (292°) y BC (41°) es la diferencia explementaria: \(360°-(292°-41°)=360°-251°=109°\).

Respuesta: 109°.

(b) Como C está al este de A, el ángulo en C es \(90°-41°=49°\). Por el teorema del seno en \(\triangle ABC\):

\[\frac{AC}{\sin 109°}=\frac{AB}{\sin 49°} \Rightarrow AC=100\,\frac{\sin 109°}{\sin 49°}\approx 125\,\text{km}.\]

Respuesta: 125 km (aprox.).

Pregunta 6

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Considere la función \(h(x)\) definida para \(x>1\).

(a) Halle \(h^{-1}(1)\).

(b) Halle el dominio de \(h^{-1}(x)\).

Gráfico de la función h para leer valores de la inversa.

(a) Por definición de inversa, \(h^{-1}(1)=x\) tal que \(h(x)=1\) con \(x>1\). Resolviendo \(h(x)=1\) (con la función dada en el enunciado) se obtiene el único valor admisible:

Respuesta: 17.

(b) El dominio de \(h^{-1}\) es la imagen (rango) de \(h\) para \(x>1\). A partir de la forma de \(h\) se deduce que su rango es \((1/2,\,\infty)\).

Respuesta: \(x > \tfrac{1}{2}\).

Pregunta 7

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La altura de una bola tras el golpeo se modeliza por \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde \(x\) es la distancia horizontal (m). La bola pasa por (3; 2,36), (10; 5) y (17; 7,16).

(a) Use (3; 2,36) para escribir una ecuación en función de a, b, c.

(b) Use su respuesta en (a) y dos ecuaciones similares para hallar la ecuación cuadrática que modela la altura.

Hay una valla de 4 m de altura a 80 m del jugador.

(d) Halle la distancia horizontal total recorrida por la bola hasta tocar el suelo, según el modelo.

Trayectoria parabolica de la bola con puntos dados.

(a) Sustituimos \((x,y)=(3,2{,}36)\) en \(f(x)=ax^2+bx+c\):

\[2{,}36=9a+3b+c.\]

(b) Análogamente, con (10;5) y (17;7,16): \(5=100a+10b+c\) y \(7{,}16=289a+17b+c\). Resolviendo el sistema (con GDC):

\[\boxed{\ f(x)=-0{,}00490\,x^2+0{,}441\,x+1{,}08\ }\quad (\text{coeficientes a 3 c.s.}).\]

(c) Evaluamos en \(x=80\): \(f(80)\approx -0{,}00490(6400)+0{,}441(80)+1{,}08\approx 5{,}00\,\text{m}.\) Como \(5{,}00>4\), pasa por encima de la valla.

(d) La bola toca el suelo cuando \(f(x)=0\). Resolvemos \(-0{,}00489795\,x^2+0{,}440816\,x+1{,}08163=0\) (con GDC) y tomamos la raíz positiva:

\[x\approx \;\;\,\,\,\,\,\,\,92{,}4\,\text{m}.\]

Respuesta: 92,4 m (aprox.).

Pregunta 8

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La carretera alrededor de un lago se modeliza por \(r(x)=(x+1)^3+2x^2-4x\). La estación de bomberos está en A(−1,6). Se proyecta un puente normal a la carretera en A que conecte A con B.

(a) Con la calculadora, halle \(r'(−1)\).

(b) Halle la ecuación de la recta normal a \(r(x)\) en A, que modeliza el puente.

Mapa de la carretera alrededor del lago con el punto A y la normal hacia B.

(a) \(r'(x)=3(x+1)^2+4x-4\). Entonces \(r'(−1)=3(0)^2+4(−1)−4=−8\).

Respuesta: −8.

(b) Pendiente de la tangente en A: −8. Por tanto, pendiente de la normal: \(m_n=\tfrac{1}{8}\). Ecuación por A(−1,6):

\[y-6=\frac{1}{8}(x+1)\quad\Longleftrightarrow\quad y=\frac{1}{8}x+\frac{49}{8}.\]

(c) El punto B es la intersección (distinta de A) entre la recta normal y la curva \(y=r(x)\). Resolviendo el sistema con la GDC se obtiene \(B\approx(-5{,}021,\,5{,}497)\) (cualquier aproximación equivalente es válida). La longitud del puente es

\[AB=\sqrt{(-5{,}021+1)^2+(5{,}497-6)^2}\approx 4{,}05\,\text{km}.\]

Respuesta: 4,05 km (aprox.).

Pregunta 9

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El Sr. Kelly compara calificaciones de dos clases con diagramas de caja y bigotes.

(a) Identifique cuáles dos afirmaciones deben ser verdaderas según los diagramas. Marque dos.

Enunciado
Un mayor porcentaje de alumnos de la Clase B obtuvo una calificación inferior a 70 que en la Clase A.
Los datos de la Clase B siguen una distribución normal.
Más alumnos de la Clase A obtuvieron una calificación superior a 90 que en la Clase B.
El rango intercuartílico (RIC) de la Clase A es menor que el de la Clase B.

Luego, para medir satisfacción (1–10), toma muestras aleatorias:

Clase A: 6, 9, 8, 10, 1, 9, 10, 9, 8, 4
Clase B: 7, 5, 3, 4, 3, 8, 6, 7

Supone población normal y realiza una prueba t a nivel 5%.

(b) Escriba la hipótesis nula y la alternativa.

(d) Concluya y justifique.

Diagramas de caja y bigotes de las clases A y B.

(a) A partir de los boxplots, se ve que:

Por debajo de 70 hay mayor proporción en B (medianas y cuartiles más bajos). ✔
El RIC de A es menor que el de B (la caja de A es más corta). ✔

Las otras dos afirmaciones no se deducen necesariamente del diagrama.

(b) Prueba t bilateral de dos muestras independientes:

\(H_0: \mu_A = \mu_B\) (no hay diferencia de medias poblacionales).
\(H_1: \mu_A \ne \mu_B\).

(d) Como \(p=0{,}111 > 0{,}05\), no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) al 5%. Conclusión: no se detecta diferencia significativa en las medias.

Pregunta 10

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Juego: se lanza una moneda justa. Si sale cara, gana. Si sale cruz, tira un dado justo y gana si saca 5 o 6.

(a) Complete el diagrama de árbol con las tres probabilidades que faltan.

(b) Halle la probabilidad de que no gane el premio.

Diagrama de arbol del juego con moneda y dado.

(a) Moneda justa: \(P(\text{cara})=\tfrac{1}{2}\), \(P(\text{cruz})=\tfrac{1}{2}\). En la rama de cruz: dado justo, \(P(\text{gana}|\text{cruz})=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}\), \(P(\text{no gana}|\text{cruz})=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}\).

(b) No gana solo si sale cruz y luego 1–4 en el dado:

\[P(\text{no gana})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.\]

Respuesta: 1/3.

\[P(\text{cara}\mid\text{gana})=\frac{P(\text{cara}\cap\text{gana})}{P(\text{gana})}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{4}.\]

Respuesta: 3/4.