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Matemáticas AE NS

Prueba 1 Noviembre 2024

Práctica de Prueba 1 sin calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 12 horas

12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 1

Duración: 2 horas
Sin calculadora
Sección A: responde todas las preguntas en el espacio provisto
Sección B: responde todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas
Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o correctas a tres cifras significativas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1Sección A

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A y B están sobre una circunferencia de centro O y radio r cm. El ángulo AÔB mide 1.5 radianes. El área del sector OAB es 48 cm^2.

a) Halla el valor de r.

b) Por tanto, halla el perímetro del sector OAB.

Sector circular OAB con ángulo central 1.5 radianes.

Enunciado trabajado.

A y B están sobre una circunferencia de centro O y radio r cm. El ángulo AÔB mide 1.5 radianes. El área del sector OAB es 48 cm^2.

a) Halla el valor de r.

b) Por tanto, halla el perímetro del sector OAB.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Para un sector, \(A=\tfrac12 r^2\theta\). Con \(A=48\) y \(\theta=1.5\):

\[48 = \tfrac12 r^2(1.5) \;\Rightarrow\; r^2 = \frac{96}{1.5}=64 \;\Rightarrow\; r=8\text{ cm}.\]

Respuesta: \(8 cm\).

(b) Perímetro del sector = dos radios + arco = \(2r + r\theta\):

\[P=2(8)+8(1.5)=16+12=28\text{ cm}.\]

Respuesta: \(28 cm\).

Pregunta 2Sección A

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Dos sucesos A y B cumplen P(A)=0.65, P(B)=0.45 y P(A \cup B)=0.85.

a) Halla P(A \cap B).

b) Halla P(A’\,|\,B’).

Enunciado trabajado.

Dos sucesos A y B cumplen P(A)=0.65, P(B)=0.45 y P(A \cup B)=0.85.

a) Halla P(A \cap B).

b) Halla P(A’\,|\,B’).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Usa la fórmula de la unión: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

\[0.85=0.65+0.45-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)=0.25.\]

Respuesta: \(0.25\).

(b) Por De Morgan, \(P(A’\cap B’)=1-P(A\cup B)=1-0.85=0.15\). Además, \(P(B’)=1-P(B)=0.55\).

\[P(A’\mid B’)=\frac{P(A’\cap B’)}{P(B’)}=\frac{0.15}{0.55}=\frac{3}{11}.\]

Respuesta: \(3/11\).

Pregunta 3Sección A

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Demuestra que \((3n+2)^2-(3n-2)^2\) es múltiplo de 12 para todo \(n\in\mathbb{Z}^+\).

Enunciado trabajado.

Demuestra que \((3n+2)^2-(3n-2)^2\) es múltiplo de 12 para todo \(n\in\mathbb{Z}^+\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Usa diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) con \(a=3n+2\), \(b=3n-2\).

\[(3n+2)^2-(3n-2)^2=(3n+2+3n-2)(3n+2-3n+2)= (6n)(4)=24n.\]

Como \(24n=12\cdot(2n)\), es múltiplo de 12.

Por tanto, el resultado final queda encuadrado como \((3n+2)^2-(3n-2)^2=(3n+2+3n-2)(3n+2-3n+2)= (6n)(4)=24n.\).

Pregunta 4Sección A

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En el triángulo ABC se tiene AB=4 cm, BC=6 cm, AC=5 cm y \(\widehat{ABC}=2\theta\). Halla el valor exacto de \(\cos\theta\) dando la respuesta en la forma \(\dfrac{p\,\sqrt{2}}{q}\), donde \(p,q\in\mathbb{Z}^+\).

Triángulo ABC con AB=4 cm, BC=6 cm, AC=5 cm y ángulo ABC=2θ.

Enunciado trabajado.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Por regla del coseno en el ángulo \(\widehat{ABC}=2\theta\):

\[\cos(2\theta)=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\,AB\cdot BC}=\frac{4^2+6^2-5^2}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}.\]

Usa \(\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1\):

\[2\cos^2\theta-1=\frac{9}{16}\;\Rightarrow\;\cos^2\theta=\frac{1}{2}\Bigl(1+\frac{9}{16}\Bigr)=\frac{25}{32}.\]

Como \(\theta\) es agudo, \(\cos\theta\mathrel{\unicode{x003E}}0\), así:

\[\cos\theta=\sqrt{\frac{25}{32}}=\frac{5}{4\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.\]

Respuesta: \(\dfrac{5\sqrt{2}}{8}\).

Pregunta 5Sección A

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En una sucesión aritmética, \(u_{10}=16\) y \(S_{25}=100\). Halla el valor de \(k\) tal que \(u_k=0\).

Enunciado trabajado.

En una sucesión aritmética, \(u_{10}=16\) y \(S_{25}=100\). Halla el valor de \(k\) tal que \(u_k=0\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Sea \(u_1\) el primer término y \(d\) la diferencia común.

De \(u_{10}=u_1+9d=16\).

Además, \(S_{25}=\tfrac{25}{2}(2u_1+24d)=100\Rightarrow 2u_1+24d=8\Rightarrow u_1+12d=4.\)

Resta: \((u_1+12d)-(u_1+9d)=4-16\Rightarrow 3d=-12\Rightarrow d=-4\). Entonces \(u_1=16-9(-4)=52\).

Ahora \(u_k=u_1+(k-1)d=0\):

\[52+(k-1)(-4)=0\;\Rightarrow\;56-4k=0\;\Rightarrow\;k=14.\]

Respuesta: \(14\).

Pregunta 6Sección A

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a) Resuelve \(2x^2-15x+18\mathrel{\unicode{x003C}}0\).

b) Sea \(f(x)=2x^2-15x+18\), con dominio \(x\in\mathbb{R},\ x\le k\). Halla el mayor valor de \(k\) para el cual existe \(f^{-1}\), justificando tu respuesta.

Enunciado trabajado.

a) Resuelve \(2x^2-15x+18\mathrel{\unicode{x003C}}0\).

b) Sea \(f(x)=2x^2-15x+18\), con dominio \(x\in\mathbb{R},\ x\le k\). Halla el mayor valor de \(k\) para el cual existe \(f^{-1}\), justificando tu respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Factoriza: \(2x^2-15x+18=(2x-3)(x-6)\). Como la parábola abre hacia arriba, \(2x^2-15x+18\mathrel{\unicode{x003C}}0\) entre las raíces:

\[\tfrac{3}{2}\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}6.\]

(b) Para que \(f^{-1}\) exista en el dominio restringido \(x\le k\), la función debe ser inyectiva en ese intervalo. Tomando el extremo en la primera raíz garantiza una rama estrictamente monótona sin duplicación de valores.

Así, el mayor \(k\) admisible es \(\dfrac{3}{2}\).

Pregunta 7Sección A

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Considera \(f(x)=\sec(x-\tfrac{\pi}{4})\) para \(0\le x\le \tfrac{\pi}{2}\).

a) Determina el recorrido de \(f\).

La región limitada por la gráfica \(y=f(x)\), el eje x y las rectas \(x=0\) y \(x=\tfrac{\pi}{2}\) se rota \(2\pi\) radianes alrededor del eje x.

b) Halla el volumen de revolución generado.

Enunciado trabajado.

Considera \(f(x)=\sec(x-\tfrac{\pi}{4})\) para \(0\le x\le \tfrac{\pi}{2}\).

a) Determina el recorrido de \(f\).

La región limitada por la gráfica \(y=f(x)\), el eje x y las rectas \(x=0\) y \(x=\tfrac{\pi}{2}\) se rota \(2\pi\) radianes alrededor del eje x.

b) Halla el volumen de revolución generado.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) En \(0\le x\le \tfrac{\pi}{2}\), el ángulo \(x-\tfrac{\pi}{4}\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}]\). Entonces \(\cos(x-\tfrac{\pi}{4})\in[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1]\) y por tanto

\[f(x)=\sec(x-\tfrac{\pi}{4})\in[1,\sqrt{2}].\]

Recorrido: \([1,\,\sqrt{2}]\).

(b) Volumen por discos: \(V=\pi\int_0^{\pi/2} [f(x)]^2\,dx=\pi\int_0^{\pi/2}\sec^2(x-\tfrac{\pi}{4})\,dx\).

Integramos: \(\int\sec^2(u)\,du=\tan(u)\). Con el cambio directo:

\[V=\pi\Big[\tan\big(x-\tfrac{\pi}{4}\big)\Big]_0^{\pi/2}=\pi\Big(\tan\tfrac{\pi}{4}-\tan(-\tfrac{\pi}{4})\Big)=\pi(1-(-1))=2\pi.\]

Respuesta: \(2\pi\).

Pregunta 8Sección A

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Sean puntos A y B tales que \(\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}\), \(\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}\). El punto P está en el segmento (AB) y cumple \(\overrightarrow{AP}=\lambda\,\overrightarrow{AB}\), con \(0\mathrel{\unicode{x003C}}\lambda\mathrel{\unicode{x003C}}1\).

a) Demuestra que \(\overrightarrow{OP}=(1-\lambda)\,\mathbf{a}+\lambda\,\mathbf{b}\).

Se sabe que \(|\mathbf{a}|=1\), \(|\mathbf{b}|=2\) y \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\tfrac14\).
b) Si \(\overrightarrow{OP}\) es perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\), halla el valor de \(\lambda\).

Diagrama vectorial de los puntos O, A, B y P.

Enunciado trabajado.

a) Demuestra que \(\overrightarrow{OP}=(1-\lambda)\,\mathbf{a}+\lambda\,\mathbf{b}\).

Se sabe que \(|\mathbf{a}|=1\), \(|\mathbf{b}|=2\) y \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\tfrac14\).
b) Si \(\overrightarrow{OP}\) es perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\), halla el valor de \(\lambda\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\mathbf{a}+\lambda(\overrightarrow{AB})=\mathbf{a}+\lambda(\mathbf{b}-\mathbf{a})=(1-\lambda)\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}.\)

(b) Condición de perpendicularidad: \(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).

Con \(\overrightarrow{OP}=(1-\lambda)\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}\) y \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}\):

\[((1-\lambda)\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})=(1-\lambda)(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})+\lambda(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})=0.\]

Usa \(|\mathbf{a}|^2=1\), \(|\mathbf{b}|^2=4\), \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\tfrac14\):

\[(1-\lambda)\Big(\tfrac14-1\Big)+\lambda\Big(4-\tfrac14\Big)=0\;\Rightarrow\; (1-\lambda)\Big(-\tfrac34\Big)+\lambda\Big(\tfrac{15}{4}\Big)=0.\]

Multiplica por 4: \(-3+3\lambda+15\lambda=0\Rightarrow 18\lambda=3\Rightarrow \lambda=\tfrac16.\)

Respuesta: \(\lambda=\tfrac{1}{6}\).

Pregunta 9Sección A

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a) Demuestra que \(\displaystyle \tan\Bigl(\theta-\frac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{\sin(2\theta)-1}{\cos(2\theta)}\), donde \(\theta\in\mathbb{R}\).

b) Por tanto, o de otro modo, resuelve \(\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=3\) para \(0\le x\le 2\pi\).

Enunciado trabajado.

a) Demuestra que \(\displaystyle \tan\Bigl(\theta-\frac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{\sin(2\theta)-1}{\cos(2\theta)}\), donde \(\theta\in\mathbb{R}\).

b) Por tanto, o de otro modo, resuelve \(\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=3\) para \(0\le x\le 2\pi\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Usa \(\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\) con \(A=\theta\), \(B=\tfrac{\pi}{4}\) y \(\tan\tfrac{\pi}{4}=1\):

\[\tan\Bigl(\theta-\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{\tan\theta-1}{1+\tan\theta}.\]

Escribe en senos y cosenos, racionaliza con el conjugado \((\cos\theta-\sin\theta)\) y simplifica usando \(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\) y \(\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta\):

\[\tan\Bigl(\theta-\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{\sin(2\theta)-1}{\cos(2\theta)}.\]

(b) Dado \(\dfrac{\sin x}{\cos x}=3\Rightarrow \tan x = 3\). Escribe \(x=2\theta\). Por (a): \[\tan\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=3.\]

Busca soluciones con \(y=\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}]\). La solución principal es \(y=\arctan 3=\tfrac{\pi}{3}\). No hay otra dentro del intervalo (la siguiente \(+\pi\) excede \(\tfrac{3\pi}{4}\)).

Por tanto, \(\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{3}\Rightarrow x=\tfrac{7\pi}{6}.\)

Respuesta: \(x=\dfrac{7\pi}{6}\).

Pregunta 10Sección B

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Un cilindro de radio \(4r\) y altura \(h\) tiene extraído un cilindro más pequeño de radio \(r\) desde el centro, formando un cilindro hueco (todas las longitudes en cm). El área total de superficie (en cm^2) es \(S\) y el volumen (en cm^3) es \(V\).

a) Demuestra que \(S=30\pi r^2+10\pi r h\).

b) Si \(S=240\pi\), demuestra que \(V=360\pi r-45\pi r^3\).

c) Halla \(\dfrac{dV}{dr}\).

Se sabe que el volumen es máximo cuando \(r=p\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), con \(p\in\mathbb{Z}^+\).

d) Halla el valor de \(p\).

e) Por tanto, halla ese volumen máximo en la forma \(q\pi\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), donde \(q\in\mathbb{Z}^+\).

Cilindro hueco de radio exterior 4r, radio interior r y altura h.

Enunciado trabajado.

a) Demuestra que \(S=30\pi r^2+10\pi r h\).

b) Si \(S=240\pi\), demuestra que \(V=360\pi r-45\pi r^3\).

c) Halla \(\dfrac{dV}{dr}\).

Se sabe que el volumen es máximo cuando \(r=p\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), con \(p\in\mathbb{Z}^+\).

d) Halla el valor de \(p\).

e) Por tanto, halla ese volumen máximo en la forma \(q\pi\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), donde \(q\in\mathbb{Z}^+\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Superficies curvas: exterior \(2\pi(4r)h=8\pi rh\), interior \(2\pi r h\). Tapas (dos): \(\pi(4r)^2-\pi r^2=15\pi r^2\) cada una. Entonces

\[S=2(15\pi r^2)+8\pi rh+2\pi rh=30\pi r^2+10\pi rh.\]

(b) De \(30\pi r^2+10\pi rh=240\pi\) se obtiene \(h=\dfrac{240-30r^2}{10r}=\dfrac{24-3r^2}{r}\).

Volumen = grande − pequeño: \(V=\pi(4r)^2h-\pi r^2h=15\pi r^2 h\). Sustituye \(h\):

\[V=15\pi r^2\cdot\frac{24-3r^2}{r}=360\pi r-45\pi r^3.\]

(d) Máximo cuando \(\tfrac{dV}{dr}=0\): \(360\pi-135\pi r^2=0\Rightarrow r^2=\tfrac{8}{3}\Rightarrow r=2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\). Por el dato \(r=p\sqrt{\tfrac{2}{3}}\), se deduce \(p=2\).

(e) Sustituye \(r=2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\) en \(V\):

\[V_{\max}=360\pi\Big(2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Big)-45\pi\Big(2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Big)^3=240\pi\sqrt{6}-80\pi\sqrt{6}=160\pi\sqrt{6}=480\pi\sqrt{\tfrac{2}{3}}.\]

Respuesta: \(480\pi\sqrt{\tfrac{2}{3}}\).

Pregunta 11Sección B

Acceso ilimitado

Sea la curva \(y=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\), \(x\in\mathbb{R}\).

a) Aplicando la regla de l’Hôpital u otro método, muestra que \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}y=1\).

Demuestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\).
Por tanto, muestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=1-y^2\).

Usando diferenciación implícita y el resultado de (b)(ii), muestra que \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=2y^3-2y\).
Por tanto, halla una expresión para \(\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}\) en términos de \(y\).

d) Usando tus resultados de (b) y (c), encuentra el desarrollo de Maclaurin de \(y\) hasta el término en \(x^3\) (incluido).

Enunciado trabajado.

Sea la curva \(y=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\), \(x\in\mathbb{R}\).

a) Aplicando la regla de l’Hôpital u otro método, muestra que \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}y=1\).

Demuestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\).
Por tanto, muestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=1-y^2\).

Usando diferenciación implícita y el resultado de (b)(ii), muestra que \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=2y^3-2y\).
Por tanto, halla una expresión para \(\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}\) en términos de \(y\).

d) Usando tus resultados de (b) y (c), encuentra el desarrollo de Maclaurin de \(y\) hasta el término en \(x^3\) (incluido).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Divide numerador y denominador por \(e^{2x}\): \(y=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\to \dfrac{1-0}{1+0}=1\).

(b) i) Cociente: \(y=\dfrac{u}{v}\) con \(u=e^{2x}-1\), \(v=e^{2x}+1\). Entonces

\[y’ = \frac{u’v-uv’}{v^2}=\frac{(2e^{2x})(e^{2x}+1)-(e^{2x}-1)(2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}.\]

ii) Como \(y=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\), se verifica

\[1-y^2 = 1-\Big(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\Big)^2=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=y’.\]

ii) Deriva de nuevo: \(y»’= (6y^2-2)y’=(6y^2-2)(1-y^2)=8y^2-6y^4-2\).

(d) En \(x=0\): \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\), \(y»(0)=0\), \(y»'(0)=-2\). Serie de Maclaurin:

\[y\approx y(0)+y'(0)x+\frac{y»(0)}{2!}x^2+\frac{y»'(0)}{3!}x^3= x-\frac{1}{3}x^3.\]

Respuesta: \(y= x-\dfrac{x^3}{3}+\cdots\).

Pregunta 12Sección B

Acceso ilimitado

Considera la ecuación \(z^4=16i\), con \(z\in\mathbb{C}\). Sus cuatro raíces son \(z_1,z_2,z_3,z_4\), donde \(z_k=r(\cos\theta_k+i\sin\theta_k)\), \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(0\le\theta_1\mathrel{\unicode{x003C}}\theta_2\mathrel{\unicode{x003C}}\theta_3\mathrel{\unicode{x003C}}\theta_4\mathrel{\unicode{x003C}}2\pi\).

a) Halla \(z_1,z_2,z_3,z_4\).

Las raíces forman una progresión geométrica.

b) Halla la razón común en forma cartesiana.

Las raíces se representan por A, B, C y D en un diagrama de Argand.

c) Dibuja A, B, C y D en un diagrama de Argand.

La ecuación \(v^4=a+bi\) tiene raíces \(z_1^*,z_2^*,z_3^*,z_4^*\).

d) Determina los valores de \(a\) y \(b\).

Sean A′, B′, C′ y D′ los puntos medios de [AB], [BC], [CD] y [DA], respectivamente. Considera la ecuación \(w^p=2^q\), con \(w\in\mathbb{C}\) y \(p,q\in\mathbb{Z}^+\). Cuatro de las raíces de \(w^p=2^q\) están representadas por A′, B′, C′ y D′.

e) Halla el menor valor posible de \(p\) y el correspondiente valor de \(q\).

Enunciado trabajado.

a) Halla \(z_1,z_2,z_3,z_4\).

Las raíces forman una progresión geométrica.

b) Halla la razón común en forma cartesiana.

Las raíces se representan por A, B, C y D en un diagrama de Argand.

c) Dibuja A, B, C y D en un diagrama de Argand.

La ecuación \(v^4=a+bi\) tiene raíces \(z_1^*,z_2^*,z_3^*,z_4^*\).

d) Determina los valores de \(a\) y \(b\).

e) Halla el menor valor posible de \(p\) y el correspondiente valor de \(q\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(16i=16\,\text{cis}\,\tfrac{\pi}{2}\). Por De Moivre, las raíces cuartas tienen módulo \(2\) y argumentos \(\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2}\) (\(k=0,1,2,3\)):

\[z_1=2\,\text{cis}\,\tfrac{\pi}{8},\quad z_2=2\,\text{cis}\,\tfrac{5\pi}{8},\quad z_3=2\,\text{cis}\,\tfrac{9\pi}{8},\quad z_4=2\,\text{cis}\,\tfrac{13\pi}{8}.\]

(b) Razón común: \(\dfrac{z_2}{z_1}=\text{cis}\,\tfrac{\pi}{2}=i\). Respuesta: \(i\).

(c) Son cuatro puntos sobre el círculo de radio 2, separados por ángulos de \(\tfrac{\pi}{2}\), comenzando en \(\tfrac{\pi}{8}\).

(d) Si \(v^4=a+bi\) tiene raíces las conjugadas \(z_k^*\), entonces \(a+bi=(16i)^*=-16i\). Por tanto, \(a=0,\ b=-16\).

(e) Puntos medios: \(A’ = \tfrac{z_1+z_2}{2}\), etc. Se obtiene \(|OA’|=\big|\tfrac{z_1+z_2}{2}\big|=\sqrt{2}=2^{1/2}\) y \(\arg A’=\tfrac{\pi}{8}+\tfrac{5\pi}{8}\over 2=\tfrac{3\pi}{8}\). Los cuatro puntos A′, B′, C′, D′ tienen argumentos \(\tfrac{3\pi}{8},\tfrac{7\pi}{8},\tfrac{11\pi}{8},\tfrac{15\pi}{8}\), separados por \(\tfrac{\pi}{2}\).

Para \(w^p=2^q\), las raíces son \(2^{q/p}\,\text{cis}\,\tfrac{2\pi n}{p}\). Exigimos: (i) \(2^{q/p}=2^{1/2}\Rightarrow q/p=1/2\); (ii) \(\tfrac{3\pi}{8}=\tfrac{2\pi n}{p}\Rightarrow \tfrac{n}{p}=\tfrac{3}{16}\), y que aparezcan cuatro consecutivas separadas por \(\tfrac{2\pi}{p}=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow p=16\). Entonces \(q=8\).

Respuesta: \(p=16,\ q=8\).