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Matemáticas AI NM

Prueba 1 Noviembre 2024

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 11 h 30 min
13preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación – Nivel Medio – Prueba 1 (24 de octubre de 2024)

  • Use calculadora de pantalla gráfica.
  • Conteste todas las preguntas y muestre el procedimiento.
  • Salvo indicación contraria, dé resultados exactos o con tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
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Una de las carreteras rectas más empinadas del mundo se encuentra en Dunedin (Nueva Zelanda). Esta carretera tiene una longitud de 161 m y el ángulo de elevación —desde la parte inferior de la carretera hasta la parte superior— mide 16,3°. La figura no está dibujada a escala.

(a) Rotule el diagrama con los valores de la longitud de la carretera y el ángulo de elevación dados en el enunciado.

(b) Halle la diferencia vertical de la altura que hay entre la parte inferior de la carretera y la parte superior.

Diagrama de la carretera con longitud de 161 m y angulo de elevacion de 16.3 grados.

(a) En el triángulo rectángulo de la carretera, la hipotenusa es la carretera: 161 m. El ángulo de elevación en la base es 16,3°.

(b) La diferencia vertical es el cateto opuesto al ángulo de 16,3°. Use seno:

\[h = 161\sin 16,3^\circ\]

\[h \approx 161\times 0,281.. = 45,187..\text{ m}\]

Redondeando a tres cifras significativas: 45,2 m.

Pregunta 2
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En la siguiente tabla se muestran las calificaciones —sobre un máximo de 7 puntos— que 220 estudiantes han obtenido en un examen.

Calificación1234567
Frecuencia11242635614320

(a) Halle la media y la desviación típica de estas calificaciones de examen. Dé las respuestas redondeando a cuatro cifras significativas.

(b) Ahora las calificaciones se multiplican por diez. Escriba la nueva media y desviación típica.

(c) Después de que las calificaciones se multiplicaron por diez, se añaden 30 puntos a cada una de ellas. Escriba la nueva media y desviación típica.

Sea x la calificación y f su frecuencia. N = 220.

(a) Media: \(\bar x = \dfrac{\sum x f}{N}\). Desviación típica (poblacional): \(\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum f(x-\bar x)^2}{N}}\).

Con calculadora: \(\bar x \approx 4,454545…\Rightarrow \bar x =\) 4,455. \(\sigma \approx 1,63560…\Rightarrow \sigma =\) 1,636.

(b) Si se multiplica por 10: la media se multiplica por 10 y la desviación típica también.

\(\bar x = 44,5\), \(\sigma = 16,4\).

(c) Si luego se suma 30 a cada valor: la media aumenta en 30; la desviación típica no cambia.

\(\bar x = 74,5\), \(\sigma = 16,4\).

Pregunta 3
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Las entradas en un parque temático tienen un precio de a dólares para los adultos y c dólares para los niños. Un grupo escolar compuesto por 6 adultos y 50 niños ha pagado 1292 $ en total. Una familia compuesta por 2 adultos y 3 niños ha pagado 130 $ en total.

(a) Escriba dos ecuaciones que representen esta información.

(b) A partir de lo anterior, halle el precio de: (i) una entrada de adultos; (ii) una entrada de niños.

Redondeando al número entero de miles más próximo, hubo 101 000 visitantes en ese parque temático el año pasado.

(c) Escriba el límite inferior del número de visitantes que hubo el año pasado.

(a) Del grupo escolar: \(6a+50c=1292\). De la familia: \(2a+3c=130\).

(b) Resolvemos el sistema. Multiplicando la segunda por 3: \(6a+9c=390\). Restamos a la primera: \(41c=902\Rightarrow c=22\). Sustituimos en \(2a+3c=130\): \(2a+66=130\Rightarrow a=32\).

Precios: (i) 32 $; (ii) 22 $.

(c) Redondeo al millar más cercano: el límite inferior es 100 500.

100 500.

Pregunta 4
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Considere el siguiente triángulo ABC, tal que AB = 35 cm, BC = 36 cm, y CA = 42 cm. (La figura no está dibujada a escala.)

(a) Halle el valor de CÂB.

(b) Halle el área del triángulo ABC.

Triangulo ABC con lados AB = 35 cm, BC = 36 cm y CA = 42 cm.

(a) Use ley de cosenos en el ángulo \(\angle CAB\):

\[\cos\widehat{CAB}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,AB\,AC}=\frac{35^2+42^2-36^2}{2\cdot35\cdot42}\]

\[\widehat{CAB}=\cos^{-1}(0,95715..)=\] \(54,8^\circ\).

(b) Área con dos lados y el ángulo comprendido:

\[A=\tfrac12\,AB\cdot AC\cdot\sin(\widehat{CAB})=\tfrac12\cdot35\cdot42\cdot\sin 54,8407..^\circ\approx 600,903\,\text{cm}^2\]

601 cm^2.

Pregunta 5
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El costo total, C(d), en dólares canadienses (CAD), para alquilar una bicicleta durante d días en Pedal Paradise viene dado por C(d)=60d+10, d≥3, d∈ℤ. El costo total incluye un cargo fijo para alquilar un casco y un kit de reparación.

(a) Indique, en contexto, lo que representan los valores 60 y 10.

(b) Calcule el costo del alquiler de una bicicleta durante 5 días.

Hema alquila una bicicleta en Pedal Paradise.

(c) Escriba el número mínimo de días que Hema puede alquilar la bicicleta.

(d) Sabiendo que C^{-1}(1270)=k, halle el valor de k.

(a) 60 es el costo por día del alquiler de la bicicleta. 10 es el cargo fijo por casco y kit de reparación.

(b) Sustituya d=5:

\[C(5)=60\cdot5+10=310\]

310 CAD.

(c) La función está definida para \(d\ge 3\) y entero. Mínimo: 3.

(d) Invertir significa resolver \(1270=60k+10\):

\[60k=1260\Rightarrow k=\] 21.

Pregunta 6
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La masa, m(t) (en ng), de carbono radioactivo en un fósil se modeliza por m(t)=120e^{-0,000121t}, donde t es el tiempo (años) desde que la planta murió.

(a) Escriba la masa inicial del carbono radioactivo.

(b) Halle la masa luego de 20 000 años.

(c) Calcule el menor número de años completos que tarda en desintegrarse más de la mitad de la muestra.

(a) Masa inicial: \(m(0)=120e^0=\) 120 ng.

(b) Sustituya t=20000:

\[m(20000)=120e^{-0,000121\cdot 20000}=120e^{-2,42}\approx 10,6705..\]

10,7 ng.

(c) “Más de la mitad desintegrada” ⇔ masa restante \(\le 60\) ng.

Resuelva \(120e^{-0,000121t}\le 60\Rightarrow e^{-0,000121t}\le 0,5\Rightarrow -0,000121t\le \ln 0,5\).

\[t\ge \frac{\ln 2}{0,000121}\approx 5728,489..\]

Mínimo número entero de años: 5729.

Pregunta 7
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La masa W de los gatos Manx sigue N(4,5; 0,4).

(a) Se escoge aleatoriamente un gato. Calcule P(W > 3,5).

La siguiente curva representa esta distribución. Se sabe que P(W < a) = 0,1 y P(W > b) = 0,1.

(b) Halle el valor de: (i) a; (ii) b.

(c) Se seleccionan aleatoriamente dos gatos. Halle la probabilidad de que ambos tengan W < 3,5 kg.

Curva normal de la masa de gatos Manx con colas del 10 por ciento.

(a) Tipificamos: \(z=\dfrac{3,5-4,5}{0,4}=-2,5\). Entonces \(P(W>3,5)=P(Z>-2,5)=0,99379..\)

0,994.

(b) Cuantiles 10% en N(4,5;0,4): \(z_{0,10}=-1,28155\).

(i) \(a=4,5+(-1,28155)(0,4)=\) \(3,99\text{ kg}\).

(ii) \(b=4,5+(+1,28155)(0,4)=\) \(5,01\text{ kg}\).

(c) Sea p=\(P(W<3,5)=0,00620967..\). Independencia ⇒ \(p^2\).

\[p^2\approx (0,00620967)^2=3,85601..\times 10^{-5}\]

\(3,86\times 10^{-5}\).

Pregunta 8
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El 1 de enero, Eva deposita 25 000 $ en una cuenta que gana 5 % de interés simple sobre los 25 000 $ iniciales, abonado al inicio de cada año siguiente. Las cantidades al inicio de cada año forman una progresión aritmética.

(a) Halle la diferencia común de esta progresión.

(b) Al cabo de k años completos, la cantidad será por primera vez mayor que 44 000 $. Halle k.

(a) Interés simple anual sobre 25 000 $: \(0,05\times 25000=\) 1250. Esa es la diferencia común.

(b) Monto al inicio tras k años: \(A_k=25000+1250k\). Buscamos \(A_k>44000\):

\[25000+1250k>44000\Rightarrow 1250k>19000\Rightarrow k>15,2\]

El menor entero que cumple es 16.

Pregunta 9
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En una escuela de manejo, X ∼ B(20; 0,55) es el número de estudiantes (de 20) que aprueban en su primer intento.

(a) Calcule: (i) la media de X; (ii) la varianza de X.

(b) Halle la probabilidad de que: (i) aprueben exactamente 14; (ii) aprueben menos de 5.

(c) Indique una suposición realizada al usar este modelo.

(a) Para X∼Bin(n,p): media \(np\), varianza \(np(1-p)\).

(i) \(\bar X=20\cdot 0,55=\) 11. (ii) \(\mathrm{Var}(X)=20\cdot 0,55\cdot 0,45=\) 4,95.

(b) (i) \(P(X=14)=\binom{20}{14}0,55^{14}0,45^6\approx\) 0,0746.

(ii) \(P(X<5)=P(X\le 4)=\) binomcdf \(\approx\) 0,00153.

(c) Por ejemplo: los intentos son independientes; o la probabilidad de aprobar (0,55) es constante para cada estudiante.

Pregunta 10
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Daniel invierte 400 000 $ en un fondo de anualidades al 4,5 % nominal anual, compuesto mensualmente, y retira 3600 $ al final de cada mes.

(a) Halle cuánto dinero quedará en el fondo al cabo de 5 años.

(b) Calcule cuántas veces Daniel podrá hacer estos retiros.

Datos: PV=400000, tipo mensual \(i=0,045/12\), retiro mensual PMT=3600 (al final de mes).

(a) Tras N=60 meses, saldo:

\[\text{Saldo}=PV(1+i)^{60}-\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{60}-1}{i}\]

Sustituyendo: \(i=0,00375\).

\[\text{Saldo}\approx 400000(1,00375)^{60}-3600\cdot\frac{(1,00375)^{60}-1}{0,00375}\approx\] \(259\,000\,\$\) (aprox.).

(b) Agotamiento del fondo: resolver N en

\[0=PV(1+i)^N-\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^N-1}{i}\]

Con la calculadora financiera (FV=0) resulta \(N\approx\) 144 retiros.

Pregunta 11
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En un juego: victoria = w puntos; empate = 0; derrota = −5. Sea X el puntaje con P(X=w)=0,25, P(X=0)=0,4, P(X=−5)=p.

(a) Halle p.

(b) El juego se juega 60 veces. Halle el número esperado de derrotas.

(c) Sabiendo que el juego es justo, calcule w.

(a) La suma de probabilidades es 1:

\[0,25+0,4+p=1\Rightarrow p=\] 0,35.

(b) Número esperado de derrotas = 60·p = 21.

(c) Juego justo ⇒ \(E(X)=0\):

\[0,25\,w+0\cdot 0,4+(-5)\cdot 0,35=0\Rightarrow 0,25w=1,75\Rightarrow w=\] 7.

Pregunta 12
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Considere la curva \(y=4x^3-\dfrac{2}{x^2}\).

(a) Halle \(\dfrac{dy}{dx}\).

(b) Escriba la pendiente de la curva en \(x=1\).

(c) A partir de lo anterior, halle la ecuación de la normal a la curva en \(x=1\).

(a) Derive término a término. Es útil escribir \(-\dfrac{2}{x^2}=-2x^{-2}\).

\[\frac{dy}{dx}=12x^2+4x^{-3}=12x^2+\frac{4}{x^3}\]

(b) En \(x=1\): \(y'(1)=12\cdot 1^2+4\cdot 1^{-3}=\) 16.

(c) En \(x=1\): \(y=4(1)^3-2/(1)^2=2\). La pendiente de la normal es la negativa recíproca: \(m_\perp=-1/16\).

Ecuación punto-pendiente: \[y-2=-\frac{1}{16}(x-1)\]

Forma explícita: \(y = -\tfrac{1}{16}x + \tfrac{33}{16}\).

Pregunta 13
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Una colonia de bacterias se duplica cada 10 minutos. La tabla relaciona el número de intervalos de 10 minutos, n, el tiempo transcurrido y el número de bacterias, \(u_n\). Inicialmente, tras 10 minutos (n=1), hay 1250 bacterias.

n1239k
Tiempo (min)1020309010k
Número de bacterias, \(u_n\)125025005000320 000\(1250\cdot 2^{k-1}\)

(a) Complete la tabla añadiendo los dos valores que faltan.

Cuando el número de bacterias aumenta de 1250 a 2500, el número total de divisiones bacterianas es igual a 1250.

(b) (i) Halle el valor de n cuando el número de bacterias sea \(1,28\times 10^6\).
(ii) A partir de lo anterior, o de cualquier otro modo, halle el número total de divisiones bacterianas realizadas para que el número pase de 1250 a \(1,28\times 10^6\). Dé la respuesta redondeando al número entero de miles más próximo.

La población se duplica cada 10 minutos ⇒ progresión geométrica con razón \(r=2\). Con \(u_1=1250\), se tiene \(u_n=1250\cdot 2^{n-1}\).

(a) La fila del tiempo aumenta de 10 en 10: en \(n=3\) es 30 min. El número en \(n=3\) es \(1250\cdot 2^{2}=\) 5000.

Comprobación: \(n=9\Rightarrow u_9=1250\cdot 2^{8}=320000\).

(b)(i) Resuelva \(1250\cdot 2^{n-1}=1,28\times 10^6\):

\[2^{n-1}=\frac{1{,}28\times 10^6}{1250}=1024=2^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=\] 11.

(ii) Cada nueva bacteria procede de una división. Total de divisiones necesarias = incremento neto:

\[1{,}28\times 10^6-1250=1\,278\,750\]

Redondeado al millar más próximo: \(1\,279\,000\).