Acceso ilimitado
Matemáticas AI NS

Prueba 1 Noviembre 2024

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 12 h
10preguntas

Estudio de caso

Mathematics: Applications and Interpretation NS — Prueba 1. Calculadora gráfica requerida. Da respuestas dentro de los espacios y muestra el procedimiento. A menos que se indique lo contrario, expresa las respuestas numéricas exactamente o correctas a tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
Acceso ilimitado

En el triángulo ABC se tiene \(AB=35\,\text{cm}\), \(BC=36\,\text{cm}\) y \(CA=42\,\text{cm}\).

  1. Halla el valor del ángulo \(\widehat{CAB}\).
  2. Halla el área del triángulo \(ABC\). El diagrama no está a escala.
Diagrama del triangulo ABC con lados 35, 36 y 42

(a) Usamos la regla del coseno en el ángulo en A:

\[\cos A=\frac{CA^2+AB^2-BC^2}{2\,CA\,AB}=\frac{42^2+35^2-36^2}{2\cdot 42\cdot 35}=\frac{1693}{2940}\]

\[A=\arccos\!\left(\tfrac{1693}{2940}\right)\approx 54.8407^\circ\]

Ángulo: \(54.8^\circ\) (a 3 c.s.).

(b) Área con dos lados y el ángulo comprendido:

\[\text{Área}=\tfrac12\cdot 42\cdot 35\cdot \sin(54.8407^\circ)\approx 600.903\,\text{cm}^2\]

\(601\,\text{cm}^2\) (a 3 c.s.).

Pregunta 2
Acceso ilimitado

El carbono radiactivo decae con el tiempo. La masa \(m(t)\) (en nanogramos) en un fósil, tras \(t\) años desde que la planta murió, se modela por \(m(t)=120e^{-0.000121t}\).

  1. Escribe la masa inicial.
  2. Halla la masa tras 20\,000 años.
  3. Calcula el menor número de años completos para que haya decaído más de la mitad de la muestra.

(a) Masa inicial en \(t=0\): \(m(0)=120e^{0}=\)\(120\,\text{ng}\).

(b) \[m(20000)=120e^{-0.000121\cdot 20000}=120e^{-2.42}\approx 10.6705\,\text{ng}\]

\(10.7\,\text{ng}\) (3 c.s.).

(c) «Más de la mitad» significa \(m(t)\mathrel{\unicode{x003C}}60\). Resolvemos: \[120e^{-0.000121t}\mathrel{\unicode{x003C}}60\;\Rightarrow\; e^{-0.000121t}\mathrel{\unicode{x003C}}\tfrac12\;\Rightarrow\;-0.000121t\mathrel{\unicode{x003C}}\ln\tfrac12=-\ln2\]

\[t\mathrel{\unicode{x003E}}\frac{\ln 2}{0.000121}\approx 5728.489\,\text{años}\]

Menor entero completo que lo supera: \(5729\,\text{años}\).

Pregunta 3
Acceso ilimitado

La masa \(W\) de los gatos Manx es normal con media 4.5 kg y desviación típica 0.4 kg.

  1. Un gato al azar: calcula \(P(W\mathrel{\unicode{x003E}}3.5)\). El siguiente esquema indica que \(P(W\mathrel{\unicode{x003C}}a)=0.1\) y \(P(W\mathrel{\unicode{x003E}}b)=0.1\).
  2. Halla
    1. \(a\)
    2. \(b\).
  3. Se eligen dos gatos al azar: halla la probabilidad de que ambos tengan masa menor que 3.5 kg.
Curva normal con colas de 10% y puntos a y b

(a) Estandarizamos: \(z=\dfrac{3.5-4.5}{0.4}=-2.5\). Entonces \(P(W\mathrel{\unicode{x003E}}3.5)=P(Z\mathrel{\unicode{x003E}}-2.5)=\) 0.994 (≈ 0.993790).

(b) Usamos cuantiles 10% y 90%: \(z_{0.10}\approx -1.2816\), \(z_{0.90}\approx +1.2816\).

(i) \(a=\mu+z_{0.10}\sigma=4.5+(-1.2816)\cdot 0.4\approx\)\(3.99\,\text{kg}\).

(ii) \(b=\mu+z_{0.90}\sigma=4.5+1.2816\cdot 0.4\approx\)\(5.01\,\text{kg}\).

(c) \(P(W\mathrel{\unicode{x003C}}3.5)=1-0.993790\approx 0.00620967\). Para dos independientes: \(\big(P(W\mathrel{\unicode{x003C}}3.5)\big)^2\approx 3.856\times 10^{-5}\).

0.0000386.

Pregunta 4
Acceso ilimitado

El 1 de enero, Eva invierte 25 000 USD en una cuenta nueva. La cuenta paga 5% de interés simple sobre los 25 000 USD originales al inicio de cada año subsiguiente. Los importes al inicio de cada año forman una sucesión aritmética.

  1. Halla la diferencia común.
  2. Tras \(k\) años completos, el importe supera por primera vez 44\,000 $. Halla \(k\).

(a) Interés simple anual sobre 25 000 USD: \(0.05\times 25\,000=\)\(1\,250\text{ dólares}\). Esa es la diferencia común.

(b) El valor al inicio del año \(n\) es \(25\,000+1\,250(n-1)\). Tras \(k\) años completos, miramos el inicio del año \(k+1\):

\[25\,000+1\,250\,k\mathrel{\unicode{x003E}}44\,000\;\Rightarrow\;1\,250k\mathrel{\unicode{x003E}}19\,000\;\Rightarrow\;k\mathrel{\unicode{x003E}}15.2\]

El menor entero que cumple es k=16.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 5
Acceso ilimitado

El diagrama de Voronoi muestra ocho hospitales (sitios A–H) en una ciudad. Cada sitio tiene coordenadas enteras. Faltan dos aristas.

  1. Dibuja las aristas que faltan. Una unidad cuadrada representa 4 km2.
  2. Halla el área, en km2, de la celda que contiene
    1. el sitio F
    2. el sitio C.
  3. Los hospitales en C y F tienen el mismo número de pacientes al año. Sugiere una razón por la que el número de pacientes no es proporcional al área de la celda.
Diagrama de Voronoi con sitios A a H

(a) Las dos aristas faltantes son los bisectores perpendiculares adecuados que completan las fronteras entre sitios (pasan por los puntos medios indicados en el esquema). Ver solución gráfica.

(b) Contamos unidades cuadradas de cada celda y convertimos a km2 multiplicando por 4.

(i) Celda de F: 6 unidades cuadradas → \(24\,\text{km}^2\).

(ii) Celda de C: 4 unidades cuadradas → \(16\,\text{km}^2\).

(c) Razón posible: la densidad de población varía entre celdas; el número de pacientes depende de la población (y otros factores como accesibilidad), no solo del área.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Diagrama de Voronoi completado con aristas faltantes
Pregunta 6
Acceso ilimitado

Un museo cobra una cuota anual de 200 USD, que incluye 10 visitas gratuitas. Las visitas adicionales cuestan 30 USD cada una. El costo total \(C\) de \(n\) visitas se modela por una función a trozos \(C(n)=\{200,\; n\le p;\; an+b,\; n\ge p\}\), donde \(a,b,p,n\in\mathbb{Z}\).

  1. Escribe el valor de
    1. \(a\)
    2. \(p\).
  2. Halla \(b\).

(a) Cada visita adicional cuesta 30 USD ⇒ a=30. El tramo lineal empieza cuando hay que pagar visitas extra, es decir, desde la visita 11 ⇒ p=11.

(b) Para \(n\ge 11\): \[C(n)=200+30(n-10)=30n-100\]

Por tanto, b=-100.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 7
Acceso ilimitado

Al jubilarse, Daniel invierte 400 000 USD en una anualidad que rinde 4.5% nominal anual, capitalizado mensualmente. Retira 3\,600 $ al final de cada mes.

  1. Halla el saldo en el fondo tras 5 años.
  2. Calcula cuántos retiros mensuales puede hacer.

Datos: \(PV=400{,}000\), \(i_m=\tfrac{0.045}{12}=0.00375\), pagos \(PMT=3600\) al final de mes.

(a) 5 años ⇒ \(n=60\). Fórmula de saldo futuro con retiros al final:

\[FV=PV(1+i_m)^n – PMT\,\frac{(1+i_m)^n-1}{i_m}\]

\[FV=400000(1.00375)^{60}-3600\,\frac{(1.00375)^{60}-1}{0.00375}\approx 2.59\times 10^5\text{ dólares}\]

\(259\,000\text{ dólares}\) (aprox.).

(b) Para agotar el fondo, \(FV=0\). Despejando \(n\):

\[0=PV(1+i_m)^n – PMT\,\frac{(1+i_m)^n-1}{i_m}\;\Rightarrow\;(1+i_m)^n=\frac{PMT}{PMT-i_m\,PV}\]

\[n=\frac{\ln\!\left(\tfrac{PMT}{PMT-i_m\,PV}\right)}{\ln(1+i_m)}=\frac{\ln(\tfrac{3600}{3600-0.00375\cdot 400000})}{\ln(1.00375)}\approx 144\]

144 retiros.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 8
Acceso ilimitado

La duración de la luz diurna en Londres en 2024 (horas) se modela por \(L=a\sin(b(t-c))+d\), con \(a,b,c,d\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(t\) el día del año (1=1 de enero). Máximo: 16.63 h en el día 173 (21 junio). Mínimo: 7.83 h en el día 356 (21 diciembre). Halla

  1. \(d\)
  2. \(a\)
  3. \(b\)
  4. \(c\).
Grafica sinusoidal de luz diurna con maximo y minimo marcados

(a) Línea media: \(d=\dfrac{16.63+7.83}{2}=\)12.23.

(b) Amplitud: \(a=\dfrac{16.63-7.83}{2}=\)4.40.

(c) Entre máximo (día 173) y mínimo (día 356) hay media fase: \(356-173=183\) días ⇒ período \(T=2\cdot 183=366\). Así, \(\dfrac{2\pi}{b}=366\Rightarrow b=\)\(\tfrac{2\pi}{366}\) (≈ 0.017167 rad/día).

(d) En el máximo, \(\sin\) toma valor 1: \[b(173-c)=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;c=173-\frac{\pi/2}{b}=173-\frac{\pi/2}{2\pi/366}=173-91.5=\]81.5.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 9
Acceso ilimitado

Sea \(z=2-3i\).

  1. Representa \(z\) en el diagrama de Argand. \(z=r\,\text{cis}\,\theta\), con \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(-\pi\mathrel{\unicode{x003C}}\theta\le \pi\).
  2. Halla
    1. \(r\)
    2. \(\theta\).
  3. Halla \(zi\) en la forma \(a+bi\).
  4. Mediante el diagrama o razonando, describe completamente la transformación geométrica que lleva \(z\) a \(zi\).
Diagrama de Argand para representar z

(a) Punto \((2,-3)\) en el plano de Argand (Re, Im).

(b) (i) \(r=|z|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\approx\)3.606.

(ii) \(\theta=\arg(z)=\arctan\!\left(\tfrac{-3}{2}\right)\approx\)\(-0.983\,\text{rad}\) (en \((-\pi,\pi]\)).

(c) \(zi=i(2-3i)=2i-3i^2=3+2i\). 3+2i.

(d) Multiplicar por \(i\) es una rotación antihoraria de 90° alrededor del origen. Descripción: rotación de \(90^\circ\) en torno al origen.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Diagrama de Argand con z y zi marcados
Pregunta 10
Acceso ilimitado

En un lago, los peces (\(F\)) se alimentan de insectos (\(L\)) en el tiempo \(t\) (semanas). El modelo es el sistema: \(\dfrac{dF}{dt}=0.000004\,F L – 0.2F\), \(\dfrac{dL}{dt}=0.06L-0.00003\,F L\), con \(F,L\mathrel{\unicode{x003E}}0\). En \(t=0\): \(F=5000\), \(L=80\,000\).

  1. Para \(0\le t\le 52\), usa el método de Euler con paso \(h=4\) para aproximar
    1. el valor máximo de \(F\)
    2. el valor mínimo de \(L\).
    1. Indica qué ocurrirá con el número de peces según el modelo.
    2. Sugiere una razón por la que esa predicción podría no ocurrir.

(a) Método de Euler con \(h=4\). Fórmulas de actualización:

\[\begin{aligned}F_{n+1}&=F_n+h\,(0.000004F_n L_n-0.2F_n),\\ L_{n+1}&=L_n+h\,(0.06L_n-0.00003F_n L_n).\end{aligned}\]

Inicio: \(F_0=5000\), \(L_0=80000\).

Paso a \(t=4\): \(\dfrac{dF}{dt}\big|_0=0.000004(5000)(80000)-0.2(5000)=1600-1000=600\). Entonces \(F_1\approx 5000+4\cdot 600=7400\). Para \(L\): \(\dfrac{dL}{dt}\big|_0=0.06(80000)-0.00003(5000)(80000)=4800-12000=-7200\). Así, \(L_1\approx 80000+4(-7200)=51200\).

Repitiendo hasta \(t=52\) (con GDC/hoja de cálculo) se obtiene la tabla de valores. A partir de ella:

(i) Máximo de \(F\) en el intervalo ≈ 7542 (en \(t=8\) semanas).

(ii) Mínimo de \(L\) en el intervalo ≈ 4817 (en \(t=16\) semanas).

(b) (i) Con el tiempo, el modelo predice que la población de peces colapsa hasta cero (desaparece).

(ii) Posibles razones: Euler es una aproximación discreta; el modelo omite factores ecológicos (capacidad de carga, migración, estacionalidad), por lo que la dinámica real podría diferir.