Prueba 2 Mayo 2024 TZ1

(a) Diagrama de Venn con tres conjuntos P, G y V. Coloque los datos en las regiones:
• Solo P: 35; solo G: 20; solo V: 5;
• P∩G solo: 4; P∩V solo: 2; G∩V solo: 3;
• P∩G∩V: 1.

(b) Total con al menos una enfermedad: 35+20+5+4+2+3+1=70. Por tanto, sin ninguna: 500−70 = 430.

(c)(i) n(P) = 35+4+2+1 = 42. Probabilidad: \(\dfrac{42}{500}=\dfrac{21}{250}=0.084\). Respuesta: 21/250 (≈0.084).

(c)(ii) \(P(G\mid P)=\dfrac{n(P\cap G)}{n(P)}=\dfrac{4+1}{42}=\dfrac{5}{42}\approx 0.119\). Respuesta: 5/42 (≈0.119).

(d) En t=0: \(n(0)=250-240\cdot 2^{0}=250-240=\)10. Empezaron con gripe: 10 alumnos.

(e) Dado \(n(10)=130\): \(130=250-240\cdot 2^{10k}\Rightarrow 240\cdot 2^{10k}=120\Rightarrow 2^{10k}=\tfrac{1}{2}=2^{-1}\Rightarrow 10k=-1\). Luego \(\boxed{k=-0.1}\).

(f) Para \(n(t)=200\): \(200=250-240\cdot 2^{-0.1t}\Rightarrow 240\cdot 2^{-0.1t}=50\Rightarrow 2^{-0.1t}=\tfrac{5}{24}\). Tomando logaritmos base 2: \(-0.1t=\log_2\tfrac{5}{24}\approx -2.262\Rightarrow t\approx 22.6\). Días: 22.6 días.

(g) El modelo tiende a 250 cuando \(t\to\infty\). Si al final hay 300 alumnos con gripe, el modelo subestima el total; no es adecuado a largo plazo.

(a) B(12,20) a C(12,0) es vertical: distancia \(|20-0|=\)20 m.

(b) \(AB=\sqrt{(12-0)^2+(20-16)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx\)12.6 m.

(c) Vector de B a A: \((-12,-4)\). La demora se mide desde el norte en el sentido horario. Desde el sur (180°), el ángulo hacia el oeste cumple \(\tan\alpha=\tfrac{12}{4}=3\Rightarrow \alpha=\arctan 3\approx 71.6^\circ\). Bearing: \(180^\circ+71.6^\circ\approx\)252° (a grado más cercano).

(d)(i) Pendiente de AC: \(m=\dfrac{0-16}{12-0}=-\dfrac{4}{3}\).

(ii) Punto medio de AC: \(M=\big(\tfrac{0+12}{2},\tfrac{16+0}{2}\big)=(6,8)\).

(iii) La mediatriz de AC pasa por M y tiene pendiente \(\tfrac{3}{4}\). La mediatriz de BC: BC es vertical (x=12), su mediatriz es horizontal: \(y=10\). Intersección: sustituir \(y=10\) en \(y-8=\tfrac{3}{4}(x-6)\) da \(2=\tfrac{3}{4}(x-6)\Rightarrow x=\tfrac{26}{3}\). Por tanto, coordenadas: \((\tfrac{26}{3},\ 10)\) (≈(8.67, 10)).

(a) Para \(f(x)=-\dfrac14x^2+2x\), con paso \(h=1\):

La regla del trapecio da

\[A_T=\frac12\left(0+4+2(1.75+3+3.75)\right)=10.5.\]

\(10.5\text{ m}^2\)

(b)

\[\int_0^4\left(-\frac14x^2+2x\right)dx=\left[-\frac{x^3}{12}+x^2\right]_0^4=-\frac{64}{12}+16=\frac{32}{3}.\]

\(\dfrac{32}{3}\text{ m}^2\)

(c) El área total es

\[\int_0^4 f(x)dx+\int_4^5 4\,dx+\int_5^{12}\left(\frac{48}{7}-\frac{4x}{7}\right)dx.\]

Esto da

\[\frac{32}{3}+4+\left[\frac{48x}{7}-\frac{2x^2}{7}\right]_5^{12}=\frac{32}{3}+4+14=\frac{86}{3}.\]

\(\dfrac{86}{3}\text{ m}^2\)

(d) Usando el área aproximada del apartado (a), el área total aproximada sería \(10.5+4+14=28.5\). El porcentaje de error es

\[\frac{|28.5-86/3|}{86/3}\times100\approx0.581\%.\]

\(0.581\%\)

Sea \(X\sim\mathcal{N}(170.7,6.3^2)\), \(Z=\dfrac{X-170.7}{6.3}\).

(a)(i) \(P(X<160)=P\big(Z<\tfrac{160-170.7}{6.3}\big)=P(Z<-1.698)\approx\)0.0447.

(a)(ii) \(P(160<X<170)=\Phi(-0.111) – \Phi(-1.698)\approx 0.4557-0.0447=\)0.411.

(b) \(P(X>h)=0.27\Rightarrow P(X\le h)=0.73\). \(z_{0.73}\approx 0.612\). Entonces \(h=170.7+6.3\times 0.612\approx\)174.6 cm.

(c) Con n=200:
\(a=200[\Phi(-0.111)-\Phi(-1.698)]\approx 200\times 0.4110=\)82.20.
\(b=200[\Phi(1.476)-\Phi(-0.111)]\approx 200\times 0.4749=\)94.98.

(d) Clases=4, parámetros estimados=0. Grados de libertad: \(\boxed{3}\).

(e) Estadístico: \(\chi^2=\sum \dfrac{(FO-FE)^2}{FE}\). Con FE=[8.943, a, b, 13.99] y FO=[6,85,92,17]:
Contribuciones ≈ 0.969 + 0.095 + 0.087 + 0.648 = 1.80 (aprox).
Como \(1.80<7.815\), no se rechaza H0 al 5 %. Conclusión: la muestra es compatible con \(\mathcal{N}(170.7,6.3^2)\).

(f) Sea \(\mu_L\) la media de letonas y \(\mu_H\) la de holandesas.
\(H_0: \mu_L=\mu_H\); \(H_1: \mu_L>\mu_H\) (prueba unilateral).

(g) Datos (n_L=n_H=10). Medias: \(\bar{x}_L=169.9\), \(\bar{x}_H=171.3\). Varianzas muestrales: \(s_L^2\approx 48.54\), \(s_H^2\approx 45.57\). Varianza combinada: \(s_p^2=\dfrac{9s_L^2+9s_H^2}{18}\approx 47.06\Rightarrow s_p\approx 6.86\).
Estadístico:
\[t=\frac{\bar{x}_L-\bar{x}_H}{s_p\sqrt{1/10+1/10}}=\frac{-1.4}{6.86\cdot 0.4472}\approx -0.457,\quad gl=18.\]
Para contraste unilateral (\(H_1: \mu_L>\mu_H\)), el valor t es negativo; p-valor ≈ 0.68. No hay evidencia para rechazar \(H_0\). Conclusión: la afirmación de que las letonas son más altas no está respaldada por estos datos.

Geometría de la sección: base inferior (paralela a la superior) de 10 m; lado inclinado de 4 m con ángulo \(\theta\); proyección horizontal \(p=4\cos\theta\); altura \(h=4\sin\theta\). La dimensión del prisma perpendicular a la sección es 3 m.

(a)(i) Borde superior 11 m ⇒ \(10+p=11\Rightarrow p=1\Rightarrow \cos\theta=\tfrac{1}{4}\). Entonces \(h=4\sin\theta=4\sqrt{1-\tfrac{1}{16}}=\sqrt{15}\). Área de la sección: \(A=\tfrac{1}{2}(10+11)h=\tfrac{21}{2}\sqrt{15}\). Volumen: \(V=3A=\tfrac{63}{2}\sqrt{15}\approx\)122 m³.

(a)(ii) \(h=3.2\Rightarrow \sin\theta=0.8\Rightarrow \cos\theta=0.6\Rightarrow p=2.4\). Borde superior: 12.4 m. \(A=\tfrac{1}{2}(10+12.4)\cdot 3.2=35.84\text{ m}^2\). Volumen: \(V=3\times 35.84=\)108 m³ (≈107.5 m³ a 4 cs).

(a)(iii) \(\theta=60^\circ\Rightarrow h=4\sin60^\circ=2\sqrt{3}\), borde superior: \(10+4\cos60^\circ=12\). \(A=\tfrac{1}{2}(10+12)\cdot 2\sqrt{3}=22\sqrt{3}\). Volumen: \(V=3\cdot 22\sqrt{3}=\)114.6 m³.

(b) \(A=\tfrac{1}{2}\big(10+(10+4\cos\theta)\big)\cdot (4\sin\theta)=\tfrac{1}{2}(20+4\cos\theta)\cdot 4\sin\theta=40\sin\theta+8\sin\theta\cos\theta\). Como la longitud del prisma es 3 m, \(V=3A=120\sin\theta+24\sin\theta\cos\theta=24\sin\theta(5+\cos\theta)\).

(c) Si \(\theta=0\), entonces \(h=0\) y \(V=0\): el volquete no tendría altura útil; no podría cargar escombros por encima del borde.

(d)(i) Para \(0<\theta<90^\circ\): \(V\) parte de 0, crece hasta un máximo y luego desciende ligeramente hacia \(V(90^\circ)=120\) (pues \(\sin90^\circ=1,\ \cos90^\circ=0\)). Dibujo cualitativo con máximo cerca de 80°.

(d)(ii) Máximo: derive \(V(\theta)=24\sin\theta(5+\cos\theta)\).
\(V'(\theta)=24\big(\cos\theta(5+\cos\theta)-\sin^2\theta\big)=24\big(5\cos\theta+\cos2\theta\big)\).
Igualando a 0: \(5\cos\theta+\cos2\theta=0\Rightarrow 2\cos^2\theta+5\cos\theta-1=0\).
Sea \(u=\cos\theta\): \(2u^2+5u-1=0\Rightarrow u=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4}\approx 0.186\).
\(\theta=\arccos(0.186)\approx\)79.3°.
\(V_{\max}=24\sin\theta(5+\cos\theta)\approx 24\cdot 0.983\cdot 5.186\approx\)122 m³.