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Matemáticas AE NS

Prueba 2 Mayo 2025 TZ1

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 22 horas
12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 2

  • Duración: 2 horas
  • Se permite calculadora
  • Sección A y Sección B
  • Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o correctas a tres cifras significativas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1Sección A
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En un círculo de centro O y radio 19.5 cm, el ángulo central ∠BOA = 210°. Se corta el sector BOA y se forma un cono sin base uniendo los puntos A y B; el sector es la superficie lateral del cono.

(a) Halla el área del sector BOA.

(b) Halla el radio de la base del cono.

Diagramas del sector circular BOA y del cono formado al unir A y B.

Enunciado trabajado.

En un círculo de centro O y radio 19.5 cm, el ángulo central ∠BOA = 210°. Se corta el sector BOA y se forma un cono sin base uniendo los puntos A y B; el sector es la superficie lateral del cono.

(a) Halla el área del sector BOA.

(b) Halla el radio de la base del cono.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Convierte a radianes: 210° = \(\tfrac{7\pi}{6}\). Área del sector: \(A = \tfrac12 r^2\,\theta = \tfrac12 (19.5)^2\cdot \tfrac{7\pi}{6}\).

\[(19.5)^2 = 380.25,\quad A = \frac{380.25\cdot 7\pi}{12} = 696.844\ldots\]

Área = \(697 cm^2\).

(b) La longitud de arco del sector pasa a ser la circunferencia de la base del cono: \(L = r_{\text{sector}}\,\theta = 19.5\cdot \tfrac{7\pi}{6} = 22.75\pi\). Como \(L = 2\pi R\) para el radio \(R\) de la base del cono,

\[R = \frac{L}{2\pi} = \frac{22.75\pi}{2\pi} = 11.375\,\text{cm} \approx 11.4\,\text{cm}.\]

Radio del cono = \(11.4 cm\).

Pregunta 2Sección A
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Sea \(f(x)= a\tan(2x)+b\), con \(a,b\in\mathbb{R}\). El gráfico de \(y=f(x)\) pasa por \((\tfrac{\pi}{12},\,5)\) y \((\tfrac{\pi}{3},\,7)\).

(a) Escribe el período de \(f\).

(b) Halla los valores de \(a\) y \(b\).

Enunciado trabajado.

Sea \(f(x)= a\tan(2x)+b\), con \(a,b\in\mathbb{R}\). El gráfico de \(y=f(x)\) pasa por \((\tfrac{\pi}{12},\,5)\) y \((\tfrac{\pi}{3},\,7)\).

(a) Escribe el período de \(f\).

(b) Halla los valores de \(a\) y \(b\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) El período de \(\tan(2x)\) es \(\tfrac{\pi}{2}\). Por tanto, el período de \(f\) es \(\tfrac{\pi}{2}\).

(b) Sustituye los puntos:

Para \(x=\tfrac{\pi}{12}\): \(\tan(2x)=\tan(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) da \(a\tfrac{1}{\sqrt{3}}+b=5\).

Para \(x=\tfrac{\pi}{3}\): \(\tan(2x)=\tan(\tfrac{2\pi}{3})=-\sqrt{3}\) da \(-a\sqrt{3}+b=7\).

Restando ecuaciones: \(-a\sqrt{3}-a/\sqrt{3}=2\Rightarrow -a\,\tfrac{4}{\sqrt{3}}=2\Rightarrow a=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.\) Entonces \(b=5-\tfrac{a}{\sqrt{3}}=5-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{11}{2}=5.5.\)

\(a=\)\(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\;b=\)\(\tfrac{11}{2}\).

Pregunta 3Sección A
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Una población \(P\) cumple \(\dfrac{dP}{dt}=-104000\,e^{-0.0145t}\), donde \(t\) son años desde el inicio de 2022. Si \(P(0)=6.78\times10^6\), halla la población prevista al inicio de 2026.

Enunciado trabajado.

Una población \(P\) cumple \(\dfrac{dP}{dt}=-104000\,e^{-0.0145t}\), donde \(t\) son años desde el inicio de 2022. Si \(P(0)=6.78\times10^6\), halla la población prevista al inicio de 2026.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Desde 2022 a 2026 pasan \(t=4\) años.

Cambio en población: \(\Delta P=\int_{0}^{4}-104000\,e^{-0.0145t}\,dt=\frac{104000}{0.0145}\,(e^{-0}-e^{-0.0145\cdot4})\).

\[\Delta P=7\,172\,413.79\,(1-e^{-0.058})\approx7\,172\,413.79\cdot0.05636\approx404\,166.\]

Entonces \(P(4)=6.78\times10^6-404\,166\approx6\,375\,834\).

Respuesta: \(6.38\times10^6\).

Pregunta 4Sección A
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En una muestra grande de adultos se miden la envergadura de brazos \(A\) (cm) y la longitud del pie \(F\) (cm). Las rectas de regresión son: de \(F\) sobre \(A\): \(F=0.335A-32.6\); de \(A\) sobre \(F\): \(A=2.89F+99.3\). Cada recta pasa por el punto medio muestral.

(a) Estima la envergadura de un adulto con \(F=19.8\) cm.

(b) Halla las medias \(\overline{A}\) y \(\overline{F}\) del grupo.

(c) Las alturas \(H\) (cm) siguen \(\mathcal{N}(163,\,s)\). El 88% tiene altura entre 153 y 173 cm. Halla \(s\).

Enunciado trabajado.

En una muestra grande de adultos se miden la envergadura de brazos \(A\) (cm) y la longitud del pie \(F\) (cm). Las rectas de regresión son: de \(F\) sobre \(A\): \(F=0.335A-32.6\); de \(A\) sobre \(F\): \(A=2.89F+99.3\). Cada recta pasa por el punto medio muestral.

(a) Estima la envergadura de un adulto con \(F=19.8\) cm.

(b) Halla las medias \(\overline{A}\) y \(\overline{F}\) del grupo.

(c) Las alturas \(H\) (cm) siguen \(\mathcal{N}(163,\,s)\). El 88% tiene altura entre 153 y 173 cm. Halla \(s\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Usa la regresión de \(A\) sobre \(F\): \(A=2.89(19.8)+99.3=156.522\). Estimación: \(157 cm\).

(b) El punto de corte de ambas rectas es \((\overline{A},\overline{F})\). Resuelve el sistema:

\(\overline{F}=0.335\,\overline{A}-32.6\), \(\overline{A}=2.89\,\overline{F}+99.3\).

Sustituyendo y resolviendo se obtiene \(\overline{A}\approx159.686\) y \(\overline{F}\approx20.8948\).

Medias: \(\overline{A}=160\text{ cm},\ \overline{F}=20.9\text{ cm}\).

(c) Simetría respecto a la media: \(P(163-10\mathrel{\unicode{x003C}} H\mathrel{\unicode{x003C}}163+10)=0.88\). Entonces \(P(|Z|\mathrel{\unicode{x003C}}10/s)=0.88\Rightarrow \Phi(10/s)=0.94\Rightarrow 10/s\approx1.5548\). Así, \(s=10/1.5548\approx\)\(6.43 cm\).

Pregunta 5Sección A
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Sea \(h(x)=15\cos\!\big(\tfrac{\pi x}{50}\big)+15\), con \(0\le x\le 50\). La recta tangente \(T\) en \((k, h(k))\) se muestra en la figura.

(a) Halla la pendiente de \(T\) en términos de \(k\).

(b) Si el ángulo entre \(T\) y el eje \(x\) es \(\tfrac{\pi}{8}\) rad, halla los posibles valores de \(k\).

Gráfica de y=h(x) con la tangente T en (k,h(k)).

Enunciado trabajado.

Sea \(h(x)=15\cos\!\big(\tfrac{\pi x}{50}\big)+15\), con \(0\le x\le 50\). La recta tangente \(T\) en \((k, h(k))\) se muestra en la figura.

(a) Halla la pendiente de \(T\) en términos de \(k\).

(b) Si el ángulo entre \(T\) y el eje \(x\) es \(\tfrac{\pi}{8}\) rad, halla los posibles valores de \(k\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(h'(x)=-15\sin\!\big(\tfrac{\pi x}{50}\big)\cdot\tfrac{\pi}{50}=-\tfrac{3\pi}{10}\,\sin\!\big(\tfrac{\pi x}{50}\big).\) Por tanto,

pendiente en \(x=k\): \(m_T= -\tfrac{3\pi}{10}\,\sin\!\big(\tfrac{\pi k}{50}\big)\).

(b) La pendiente de una recta que forma ángulo \(\theta\) con el eje \(x\) es \(\tan\theta\). Igualamos:

\[-\tfrac{3\pi}{10}\,\sin\!\big(\tfrac{\pi k}{50}\big)=\pm\tan\!\big(\tfrac{\pi}{8}\big).\]

Resolviendo en \([0,50]\) con calculadora: \(k\approx7.24\) y \(k\approx42.8\).

Valores: \(k=7.24\) y \(k=42.8\).

Pregunta 6Sección A
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Sea \(f(x)=4\cot x+\sin x\), con \(0\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}\pi\).

a)
  1. Escribe \(f(x)\) en términos de \(\sin x\) y \(\cos x\).
  2. Traza un esbozo de \(y=f(x)\) en \((0,\pi)\), indicando el corte con \(x\).

(b) Halla \(f^{-1}(2)\).

(c) Dado que \(\sec\alpha=1.5\) y \(0\mathrel{\unicode{x003C}}\alpha\mathrel{\unicode{x003C}}\pi\), halla \(f(\alpha)\).

Enunciado trabajado.

Sea \(f(x)=4\cot x+\sin x\), con \(0\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}\pi\).

a)
  1. Escribe \(f(x)\) en términos de \(\sin x\) y \(\cos x\).
  2. Traza un esbozo de \(y=f(x)\) en \((0,\pi)\), indicando el corte con \(x\).

(b) Halla \(f^{-1}(2)\).

(c) Dado que \(\sec\alpha=1.5\) y \(0\mathrel{\unicode{x003C}}\alpha\mathrel{\unicode{x003C}}\pi\), halla \(f(\alpha)\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) así que \(\displaystyle f(x)=\frac{4\cos x}{\sin x}+\sin x.\)

(ii) En \((0,\pi)\), hay asíntotas verticales en 0 y \(\pi\). El corte con \(x\) satisface \(4\cot x+\sin x=0\Rightarrow 4\cos x= -\sin^2 x=-(1-\cos^2 x)\),

\[\cos^2 x-4\cos x-1=0\Rightarrow \cos x=2-\sqrt{5}\,(\in[-1,1]).\]

Por tanto \(x=\arccos(2-\sqrt{5})\approx\)\(1.81\).

(b) Resolver \(4\cot x+\sin x=2\) numéricamente en \((0,\pi)\) da \(x\approx\)\(1.32\).

(c) \(\sec\alpha=1.5\Rightarrow \cos\alpha=\tfrac{2}{3},\;\sin\alpha=\tfrac{\sqrt{5}}{3},\;\cot\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.\) Luego

\[f(\alpha)=4\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}}{3}\approx4.32306\Rightarrow \;4.32.\]\(4.32\)

Pregunta 7Sección A
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A las 09:00, un helicóptero está en \((10,3,0.5)\) km relativo a un punto \(O\). El eje \(x\) apunta al este, \(y\) al norte y \(z\) hacia arriba. Vuela a altura constante. Su posición respecto de \(O\) es \(\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+ t\,\mathbf{v}\), con \(t\) en horas desde las 09:00.

(a) Halla la rapidez del helicóptero.

A las 10:00 comienza a descender; la componente vertical disminuye a 16 km·h⁻¹ y la velocidad horizontal no cambia. El ángulo de descenso \(\beta\) es el ángulo entre la dirección de movimiento y la horizontal.

(b) Halla \(\beta\) en grados.

Enunciado trabajado.

A las 09:00, un helicóptero está en \((10,3,0.5)\) km relativo a un punto \(O\). El eje \(x\) apunta al este, \(y\) al norte y \(z\) hacia arriba. Vuela a altura constante. Su posición respecto de \(O\) es \(\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+ t\,\mathbf{v}\), con \(t\) en horas desde las 09:00.

(a) Halla la rapidez del helicóptero.

A las 10:00 comienza a descender; la componente vertical disminuye a 16 km·h⁻¹ y la velocidad horizontal no cambia. El ángulo de descenso \(\beta\) es el ángulo entre la dirección de movimiento y la horizontal.

(b) Halla \(\beta\) en grados.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) La rapidez es la magnitud de la velocidad \(|\mathbf{v}|\). Del modelo (componentes constantes), \(|\mathbf{v}_\text{horiz}|=\sqrt{40^2+(-100)^2}=20\sqrt{29}\) km·h⁻¹, y \(v_z=0\) antes del descenso. Por tanto, rapidez = \(20\sqrt{29}\approx108\text{ km h}^{-1}\).

(b) En el descenso, la horizontal sigue siendo \(20\sqrt{29}\) y \(|v_z|=16\). Entonces \(\tan\beta=\dfrac{16}{20\sqrt{29}}=\dfrac{4}{5\sqrt{29}}\). Con calculadora, \(\beta\approx\)\(8.45°\).

Pregunta 8Sección A
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Sean \(f(t)=\sin(2t+1)\), \(g(t)=\sin(2t+3)\) y \(h(t)=f(t)+g(t)\).

(a) Demuestra que \(h(t)=\operatorname{Im}\big(e^{2ti}(e^i+e^{3i})\big)\).

(b) Escribe \(e^i+e^{3i}\) en la forma \(re^{i\theta}\), con \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(-\pi\mathrel{\unicode{x003C}}\theta\le\pi\).

(c) En consecuencia, escribe \(h(t)\) como \(p\sin(2t+q)\), con \(p\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(0\mathrel{\unicode{x003C}}q\mathrel{\unicode{x003C}}2\pi\).

Enunciado trabajado.

Sean \(f(t)=\sin(2t+1)\), \(g(t)=\sin(2t+3)\) y \(h(t)=f(t)+g(t)\).

(a) Demuestra que \(h(t)=\operatorname{Im}\big(e^{2ti}(e^i+e^{3i})\big)\).

(b) Escribe \(e^i+e^{3i}\) en la forma \(re^{i\theta}\), con \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(-\pi\mathrel{\unicode{x003C}}\theta\le\pi\).

(c) En consecuencia, escribe \(h(t)\) como \(p\sin(2t+q)\), con \(p\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(0\mathrel{\unicode{x003C}}q\mathrel{\unicode{x003C}}2\pi\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(e^{(2t+1)i}+e^{(2t+3)i}=e^{2ti}(e^i+e^{3i})\). La parte imaginaria es \(\sin(2t+1)+\sin(2t+3)=h(t)\).

(b) \(e^i+e^{3i}=e^{2i}(e^{-i}+e^{i})=e^{2i}\,2\cos(1)\). Así, \(r=2\cos 1\approx1.0806\) y \(\theta=2\).

(c) Entonces \(h(t)=\operatorname{Im}\big(e^{2ti}\,r e^{i2}\big)=r\sin(2t+2)\). Por tanto, \(h(t)=1.08\,\sin(2t+2)\) (equivalentemente \(2\cos(1)\sin(2t+2)\)).

Pregunta 9Sección A
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Considera la EDO \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^2+y}\). La curva solución pasa por \((1,0)\).

(a) Usa el método de Euler con paso 0.25 para estimar \(y\) cuando \(x=2\).

b)
  1. Determina si tu estimación de (a) es una sobrestimación o una subestimación, justificando.
  2. Explica por qué al iniciar en \((1,0)\) el método de Euler no conduce al valor negativo de \(y\) cuando \(x=2\).
Parte de la curva solución de la ecuación diferencial.

Enunciado trabajado.

Considera la EDO \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^2+y}\). La curva solución pasa por \((1,0)\).

(a) Usa el método de Euler con paso 0.25 para estimar \(y\) cuando \(x=2\).

b)
  1. Determina si tu estimación de (a) es una sobrestimación o una subestimación, justificando.
  2. Explica por qué al iniciar en \((1,0)\) el método de Euler no conduce al valor negativo de \(y\) cuando \(x=2\).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Con paso \(h=0.25\): \(x_{n+1}=x_n+h\), \(y_{n+1}=y_n+h\,\dfrac{2x_n}{x_n^2+y_n}\). Inicia \((x_0,y_0)=(1,0)\).

n=0 → \(y_1=0.25\cdot\dfrac{2\cdot1}{1^2+0}=0.5\).

n=1 (\(x=1.25\)) → \(y_2=0.5+0.25\cdot\dfrac{2\cdot1.25}{1.25^2+0.5}=0.80303\ldots\).

n=2 (\(x=1.5\)) → \(y_3=0.80303+0.25\cdot\dfrac{3}{2.25+0.80303}=1.04868\ldots\).

n=3 (\(x=1.75\)) → \(y_4=1.04868+0.25\cdot\dfrac{3.5}{3.0625+1.04868}=1.26152\ldots\).

Estimación en \(x=2\): \(y\approx1.26\).

(b)(i) Es una sobrestimación porque la curva es cóncava hacia abajo en el tramo y las tangentes quedan por encima de la curva.

(ii) En \((1,0)\) la pendiente \(\dfrac{2x}{x^2+y}\mathrel{\unicode{x003E}}0\); los pasos de Euler avanzan siguiendo la rama superior (\(y\mathrel{\unicode{x003E}}0\)). No cruzará a la solución con \(y\mathrel{\unicode{x003C}}0\) al ir hacia \(x=2\).

Pregunta 10Sección B
Acceso ilimitado

Unas cartas rectangulares se apilan en forma de pirámide con \(n\) filas, donde \(n\ge 1\). Algunas cartas se colocan horizontalmente y otras con un ángulo de \(60^\circ\) respecto de la horizontal. Los diagramas muestran las pilas para \(n=1\), \(n=2\) y \(n=3\).

Sea \(t_n\) el número de cartas usadas para crear una pila piramidal con \(n\) filas.

  1. Escribe \(t_3\).
  2. Halla \(t_4\).
  3. Demuestra que \(t_n=\dfrac{n(3n+1)}{2}\).
  4. Una pila completa se construye con cartas tomadas de 14 barajas completas de 52 cartas. Halla el número máximo de filas.
  5. Una pila completa se construye con cartas tomadas de barajas completas sin que sobren cartas. Halla el número mínimo de filas.
  6. El borde largo de cada carta mide 88 mm. Halla el número mínimo de cartas necesarias para crear una pila completa con altura vertical superior a 2 m. Ignora el grosor de las cartas.
Piramides de cartas para n=1, n=2 y n=3.
Longitud del borde largo de una carta: 88 mm.

Enunciado trabajado.

Unas cartas rectangulares se apilan en forma de pirámide con \(n\) filas, donde \(n\ge 1\). Algunas cartas se colocan horizontalmente y otras con un ángulo de \(60^\circ\) respecto de la horizontal. Los diagramas muestran las pilas para \(n=1\), \(n=2\) y \(n=3\).

Sea \(t_n\) el número de cartas usadas para crear una pila piramidal con \(n\) filas.

  1. Escribe \(t_3\).
  2. Halla \(t_4\).
  3. Demuestra que \(t_n=\dfrac{n(3n+1)}{2}\).
  4. Una pila completa se construye con cartas tomadas de 14 barajas completas de 52 cartas. Halla el número máximo de filas.
  5. Una pila completa se construye con cartas tomadas de barajas completas sin que sobren cartas. Halla el número mínimo de filas.
  6. El borde largo de cada carta mide 88 mm. Halla el número mínimo de cartas necesarias para crear una pila completa con altura vertical superior a 2 m. Ignora el grosor de las cartas.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Para 3 filas, el total es una suma aritmética: \(2+5+8=\)\(15\).

(b) Para 4 filas: \(2+5+8+11=\)\(26\).

(c) Observa el patrón aritmético con primer término \(2\) y diferencia \(3\):

\[t_n=\sum_{k=1}^{n}\big(2+3(k-1)\big)=\frac{n}{2}\big(2+(2+3(n-1))\big)=\frac{n(3n+1)}{2}.\]

(d) Con 14 barajas (52 cartas c/u): máximo \(T=728\). Resuelve \(\tfrac{n(3n+1)}{2}\le728\Rightarrow 3n^2+n-1456\le0\). Da \(n\approx21.86\Rightarrow n_{\max}=\)\(21\).

(e) Se requiere \(\tfrac{n(3n+1)}{2}=52k\) para algún entero \(k\). Probando valores (o analizando divisibilidad) el mínimo \(n\) que satisface es \(13\).

(f) La altura de un triángulo equilátero de lado 88 mm es \(h=88\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=44\sqrt{3}\) mm. Para superar 2000 mm: \(44\sqrt{3}\,n\mathrel{\unicode{x003E}}2000\Rightarrow n\mathrel{\unicode{x003E}}\tfrac{2000}{44\sqrt{3}}\approx26.24\Rightarrow n=\)\(27 filas\). Con (c): \(t_{27}=\tfrac{27(82)}{2}=\)\(1107 cartas\).

Pregunta 11Sección B
Acceso ilimitado

En una carrera de maratón, la variable aleatoria \(T\) representa el tiempo, en horas, que tarda un corredor en completar la carrera. Ningún corredor tarda menos de 2.25 horas ni más de 7.5 horas.

La función de densidad de probabilidad de \(T\) se modela por

\[f(t)=\begin{cases}\dfrac{4}{21}\left(1-\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}(t-2.25)\right)\right),&2.25\le t\le4.5,\\ \dfrac{4}{21}\left(1+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}(t-4.5)\right)\right),&4.5\le t\le7.5,\\ 0,&\text{en otro caso.}\end{cases}\]

La gráfica de \(f\) tiene un máximo en \(t=4.5\), como se muestra en el diagrama.

    1. Halla \(\displaystyle\int_{2.25}^{4.5} f(t)\,dt\).
    2. Escribe la moda de \(T\).
    3. Determina cuál es mayor, la moda o la mediana de \(T\), justificando la respuesta.
  2. Los corredores que terminan en 3.5 horas o menos se consideran corredores rápidos. Halla la probabilidad de que un corredor elegido al azar sea rápido.
  3. Halla la probabilidad de que un corredor rápido elegido al azar termine en 3 horas o menos.
  4. Halla el cuartil inferior de \(T\).
  5. El tiempo de cada corredor se convierte en una puntuación \(a-bt\), donde \(a,b\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Si \(E(P)=100\), la puntuación máxima posible es 150 y \(E(T)=4.723\), determina \(a\) y \(b\) al entero más cercano.
  6. Dado además que \(\operatorname{Var}(T)=0.906\), halla \(\operatorname{Var}(P)\).
Gráfica de la función de densidad f con máximo en t=4.5.

Enunciado trabajado.

En una carrera de maratón, la variable aleatoria \(T\) representa el tiempo, en horas, que tarda un corredor en completar la carrera. Ningún corredor tarda menos de 2.25 horas ni más de 7.5 horas.

La función de densidad de probabilidad de \(T\) se modela por

\[f(t)=\begin{cases}\dfrac{4}{21}\left(1-\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}(t-2.25)\right)\right),&2.25\le t\le4.5,\\ \dfrac{4}{21}\left(1+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}(t-4.5)\right)\right),&4.5\le t\le7.5,\\ 0,&\text{en otro caso.}\end{cases}\]

La gráfica de \(f\) tiene un máximo en \(t=4.5\), como se muestra en el diagrama.

    1. Halla \(\displaystyle\int_{2.25}^{4.5} f(t)\,dt\).
    2. Escribe la moda de \(T\).
    3. Determina cuál es mayor, la moda o la mediana de \(T\), justificando la respuesta.
  2. Los corredores que terminan en 3.5 horas o menos se consideran corredores rápidos. Halla la probabilidad de que un corredor elegido al azar sea rápido.
  3. Halla la probabilidad de que un corredor rápido elegido al azar termine en 3 horas o menos.
  4. Halla el cuartil inferior de \(T\).
  5. El tiempo de cada corredor se convierte en una puntuación \(a-bt\), donde \(a,b\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Si \(E(P)=100\), la puntuación máxima posible es 150 y \(E(T)=4.723\), determina \(a\) y \(b\) al entero más cercano.
  6. Dado además que \(\operatorname{Var}(T)=0.906\), halla \(\operatorname{Var}(P)\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Sea una v.a. continua \(T\) con densidad \(f(t)\) definida en el intervalo dado en la imagen. Se emplean integrales según la definición de \(f\).

(a)(i) Evaluando la integral indicada en el enunciado se obtiene \(\tfrac{3}{7}=0.428571\ldots\approx\)\(0.429\).

(ii) El modo es el punto de máximo de \(f\): \(4.5\).

(iii) Por asimetría de áreas, \(\text{mediana}\mathrel{\unicode{x003E}}4.5\) (pues \(P(T\mathrel{\unicode{x003C}}4.5)\mathrel{\unicode{x003C}}0.5\)).

(b) \(\displaystyle P(\text{rango “rápido”})=\int_{2.25}^{3.5} f(t)\,dt=0.103749\ldots\Rightarrow\)\(0.104\).

(c) \(P(\text{“muy rápido”}\mid \text{“rápido”})=\dfrac{P(T\le3)}{P(T\le3.5)}=\dfrac{0.0247152\ldots}{0.103749\ldots}\approx\)\(0.238\).

(d) El cuartil inferior \(q\) satisface \(\int_{2.25}^{q} f(t)\,dt=0.25\). Resolviendo, \(q\approx\)\(4.01\).

(e) Sea \(P=a-bT\) con \(E(P)=100\) y puntuación máxima 150 cuando \(T=2.25\). Usando \(E(T)\approx4.723\): \(a-b\cdot4.723=100\) y \(a-2.25b=150\). Se obtiene \(a\approx195.49\), \(b\approx20.218\). Redondeando: \(a=195,\; b=20\).

(f) Varianza lineal: \(\operatorname{Var}(P)=b^2\operatorname{Var}(T)\). Con \(\operatorname{Var}(T)\approx0.906\) y \(b\approx20.218\): \(\operatorname{Var}(P)\approx370.356\ldots\Rightarrow\)\(370\).

Pregunta 12Sección B
Acceso ilimitado

Considera la familia de funciones \(f_n\) definida por

\[f_n(x)=\sum_{r=0}^{n}(-2x^2)^r,\qquad x\in\mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}.\]

  1. Demuestra que \(f_n\) es una función par para todo \(n\).
    1. Demuestra que \(f_3(x)=1-2x^2+4x^4-8x^6\).
    2. Escribe una expresión similar para \(f_4(x)\) en potencias ascendentes de \(x\).
  3. Considera \(f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\), definida en el dominio \(-k\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}k\), donde \(k\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Sea \(K\) el mayor valor posible de \(k\). Halla \(K\) en forma exacta y expresa \(f(x)\) como una función racional de la forma \(\dfrac{1}{a+bx^2}\).
  4. La función \(g\) se define por \(g(x)=f(x)\) para \(0\le x\mathrel{\unicode{x003C}}K\). Justifica que \(g^{-1}\) existe y halla \(g^{-1}(x)\), dando su dominio.
  5. La región \(R\) está completamente delimitada por las curvas \(y=g(x)\), \(y=g^{-1}(x)\) y los ejes coordenados, como se muestra en el diagrama. Halla el área de \(R\).
Región R delimitada por y=g(x), y=g^{-1}(x) y los ejes.

Enunciado trabajado.

Considera la familia de funciones \(f_n\) definida por

\[f_n(x)=\sum_{r=0}^{n}(-2x^2)^r,\qquad x\in\mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}.\]

  1. Demuestra que \(f_n\) es una función par para todo \(n\).
    1. Demuestra que \(f_3(x)=1-2x^2+4x^4-8x^6\).
    2. Escribe una expresión similar para \(f_4(x)\) en potencias ascendentes de \(x\).
  3. Considera \(f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\), definida en el dominio \(-k\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}k\), donde \(k\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Sea \(K\) el mayor valor posible de \(k\). Halla \(K\) en forma exacta y expresa \(f(x)\) como una función racional de la forma \(\dfrac{1}{a+bx^2}\).
  4. La función \(g\) se define por \(g(x)=f(x)\) para \(0\le x\mathrel{\unicode{x003C}}K\). Justifica que \(g^{-1}\) existe y halla \(g^{-1}(x)\), dando su dominio.
  5. La región \(R\) está completamente delimitada por las curvas \(y=g(x)\), \(y=g^{-1}(x)\) y los ejes coordenados, como se muestra en el diagrama. Halla el área de \(R\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Sustituyendo \(x\mapsto -x\) en \(f\) y usando que \((-x)^2=x^2\) se obtiene \(f(-x)=f(x)\); por tanto, \(f\) es par.

b)
  1. Expansión para \(n=3\): \(f(x)=1-2x^2+4x^4-8x^6\).
  2. Para \(n=4\): \(1-2x^2+4x^4-8x^6+16x^8\).
c)
  1. Serie geométrica con razón \(-2x^2\): converge si \(|-2x^2|\mathrel{\unicode{x003C}}1\Rightarrow |x|\mathrel{\unicode{x003C}}\tfrac{1}{\sqrt{2}}\). Máximo \(K=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\).
  2. Suma infinita: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2x^2}\) (a=1, b=2).
d)
  1. \(g\) es estrictamente decreciente ⇒ biyectiva en su dominio, luego es 1–1.
  2. Para \(y=g^{-1}(x)\): desde \(x=\dfrac{1}{1+2y^2}\) se obtiene \(y^2=\dfrac{1-x}{2x}\Rightarrow \displaystyle g^{-1}(x)=\pm\sqrt{\frac{1-x}{2x}}\). Dominio (según el enunciado): \(\tfrac12 \mathrel{\unicode{x003C}} x \le 1\).

(e) Sea \(R\) la región entre \(y=g(x)\) y \(y=g^{-1}(x)\). El punto de intersección numérico es \(x\approx0.5897545\). Sumando áreas a izquierda/derecha:

\[\text{Área}(R)=\int_0^{0.589\ldots}\!g(x)\,dx+\int_0^{0.589\ldots}\!g^{-1}(x)\,dx\approx0.491548+0.143738=0.635286\ldots\]

Área: \(0.635\).