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Matemáticas AI NS

Prueba 2 Mayo 2025 TZ1

Práctica de Prueba 2 con calculadora, contexto aplicado y soluciones desarrolladas.

Prueba 22 horas
7preguntas

Estudio de caso

Usa una calculadora gráfica. Muestra tu procedimiento. Da respuestas exactas o a 3 cifras significativas salvo indicación en contrario. Empieza cada pregunta en una página nueva.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
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Paul tiene un gráfico de barras con el número total de goles marcados en cada partido de un torneo de fútbol de 2024. La barra correspondiente a 4 goles no se puede leer. A partir del gráfico, crea la tabla de frecuencias mostrada. Luego compara con el diagrama de caja y bigotes de 2025.

(a) Escribe el valor de \(k\).

b) Se sabe que la media de goles por partido fue \(2.2\).
  1. Escribe una ecuación para la media en función de \(p\).
  2. Determina el valor de \(p\).

(c) Usando valores numéricos, da dos observaciones que apoyen que la distribución de goles es consistente entre 2024 y 2025. Compara dos de: rango, simetría, mediana, rango intercuartílico.

(d) Paul verá los partidos de 2024 en orden aleatorio, sin reposición. Para el primer partido define el evento \(F\): «marcar 0 goles o exactamente 1 gol». Indica qué evento(s) de la tabla equivalen a \(F’\) (puede haber más de uno).

(e) Si en el primer partido que ve se marcaron exactamente 1 gol, da la probabilidad de que en el segundo partido se marquen exactamente 1 gol. Da la respuesta como fracción.

(f) Calcula la probabilidad de que en el primer partido que ve se marquen 5 goles y en el segundo se marquen 0 goles.

Gráfico de barras y tabla de frecuencias 2024
Diagrama de caja y bigotes 2025

(a) Del gráfico, la frecuencia para 3 goles es \(k=\)5.

(b) Tabla 2024: 0:3, 1:11, 2:7, 3:5, 4:\(p\), 5:1.

(i) Media por partidas: \[\bar{x}=\frac{0\cdot3+1\cdot11+2\cdot7+3\cdot5+4\cdot p+5\cdot1}{3+11+7+5+p+1}=2.2.\] Esto da \(\tfrac{45+4p}{27+p}=2.2\).

(ii) \(2.2(27+p)=45+4p\Rightarrow59.4+2.2p=45+4p\Rightarrow14.4=1.8p\Rightarrow p=\)8.

(c) Del diagrama 2025 y la tabla 2024: mediana \(=2\) en ambos; cuartiles \(Q_1=1\), \(Q_3=4\) en ambos, por lo que el RIC es \(3\). Ambas distribuciones muestran asimetría a la derecha.

(d) \(F’\) es lo contrario a «0 o 1 gol», es decir, \(\ge 2\) goles. En la lista equivalen: B («>1 gol») y C («al menos 2 goles»).

(e) Total de partidos: \(3+11+7+5+8+1=35\). Si el primero fue de 1 gol, quedan \(10\) partidos de 1 gol entre \(34\) partidos: \(\mathbb{P}(1\text{ en el segundo})=\frac{10}{34}=\)\(\tfrac{5}{17}\).

(f) \(\mathbb{P}(5\text{ primero})=\tfrac{1}{35}\). Luego quedan \(34\) partidos con \(3\) de 0 goles, así que \(\mathbb{P}(0\text{ segundo}\mid 5\text{ primero})=\tfrac{3}{34}\). Producto: \[\tfrac{1}{35}\cdot\tfrac{3}{34}=\tfrac{3}{1190}\approx0.00252.\] Respuesta: \(\tfrac{3}{1190}\) (\(0.252\%\)).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 2
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Tres estaciones de bomberos A, B, C en una región rural (50×50 km). En la rejilla, 1 unidad = 2.5 km. Se muestra el diagrama de Voronói.

a)
  1. Halla el punto medio de \([BC]\).
  2. Halla la pendiente de la mediatriz de \([BC]\).
  3. De ahí, la ecuación del lado entre B y C.
b)
  1. Indica qué estación respondería a un incendio en \((14,10)\) según el diagrama y justifica.
  2. Sugiere una razón por la que otra estación podría responder.
c) Sea \(D\big(\tfrac{11}{3},\tfrac{7}{6}\big)\). La distancia de \(D\) a \(A\) en la rejilla es \(6.71855\) u.
  1. Muestra que la distancia de \(D\) a \(B\) también es \(6.71855\) u.
  2. Muestra que cualquiera de las tres estación(es) podría responder al incendio en \(D\).
d) El lado entre A y B es \(y=0.5x+1.5\). El lado entre A y C corta el eje \(x\) en \(7.75\).
  1. Determina el área, al entero más cercano (en unidades cuadradas), de la región de A.
  2. De ahí, el área real en km2.
Mapa y diagrama de Voronoi de las estaciones A, B y C

(a) Con \(B(16,12)\) y \(C(8,13)\):

(i) Punto medio: \(M=\big(\tfrac{16+8}{2},\tfrac{12+13}{2}\big)=(12,12.5)\).

(ii) Pendiente de \(\overline{BC}\): \(m_{BC}=\tfrac{13-12}{8-16}=\tfrac{1}{-8}=-\tfrac{1}{8}\). Por tanto, pendiente perpendicular: \(m_{\perp}=8\).

(iii) Mediatriz por \(M(12,12.5)\) con pendiente 8: \[y-12.5=8(x-12)\;\Rightarrow\; y=8x-83.5.\]

(b) (i) \((14,10)\) está más cerca de B que de las otras estaciones (o dentro de la celda de B). Responde B.

(ii) Por ejemplo: otra estación podría tener una ruta más rápida por carretera, o B podría estar ocupada, o necesidad de más recursos.

(c) (i) Distancia a B: \[DB=\sqrt{\Big(\tfrac{11}{3}-16\Big)^2+\Big(\tfrac{7}{6}-12\Big)^2}\approx6.71855\text{ u}.\]

(ii) Alternativa 1: Cálculo análogo da \(DC=6.71855\) u, por lo que \(DA=DB=DC\). Alternativa 2: \(D\) es intersección de las mediatrices \(y=8x-83.5\) y \(y=0.5x+1.5\), luego equidistante de A, B y C. Así, cualquier estación podría responder.

(d) (i) Vértices relevantes sobre el borde superior \(x=20\): en \(y=0.5(20)+1.5=11.5\). Intersecciones: con eje \(x\) en \(x=7.75\) (lado AC) y cruce AB∩BC en \(x=11.333\ldots,\; y=7.166\ldots\). Dividiendo en dos triángulos: \[A=\tfrac12(20-7.75)\cdot7.166\ldots+\tfrac12\cdot11.5\cdot(20-11.333\ldots)\approx94\text{ u}^2.\]

(ii) Cada unidad son \((2.5\,\text{km})^2=6.25\,\text{km}^2\). \(94\times6.25=587.5\,\text{km}^2\Rightarrow\) 588 km2 (redondeando).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 3
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Ethan y Avery modelan la población de Los Ángeles. Datos (en miles) para \(x\) años después de 1900:

AñoPoblación (miles)
1900102
1920577
19401504
19602479
19802967
20003685
20203899

(a) Halla la ecuación cuadrática de regresión \(f(x)=ax^2+bx+c\).

(b) Ethan obtiene \(R^2=0.98843\). ¿Este valor apoya su propuesta? Justifica.

(c) Comenta la validez del modelo de Ethan en relación con uno de sus parámetros.

d)
  1. Halla \(f'(110)\) e interpreta su significado.
  2. Usando (d)(i) y los cambios observados en la tabla, comenta la validez del modelo.

Avery propone un modelo logístico \(\displaystyle g(x)=\frac{4000}{1+14e^{-0.05x}}\).

(e) Da una razón por la que este modelo podría ser válido para predecir a futuro.

f)
  1. Halla \(g'(x)\).
  2. Determina el año en el que se produce la mayor tasa de crecimiento según \(g\).

(a) Con GDC (\(x=0,20,40,60,80,100,120\)): \[f(x)= -0.0989\,x^2 + 45.9\,x – 67.8,\] (coeficientes a 3 c.s.).

(b) \(R^2=0.98843\) está muy próximo a 1, por lo que sí, apoya el ajuste del modelo (explica ~98.843% de la variación).

(c) El \(c\) negativo implica población negativa para \(x=0\) si se extrapola literalmente, lo que es poco realista; además, \(a\mathrel{\unicode{x003C}}0\) sugiere descenso eventual hasta valores no plausibles.

(d) (i) \(f'(x)=2ax+b\). Así, \(f'(110)=2(-0.0989285\ldots)(110)+45.925\approx\)24.2 (miles de personas/año). Indica la tasa de crecimiento anual alrededor de 2010.

(ii) Entre 2000 y 2020 la población aumentó \(3899-3685=214\) miles, es decir \(\approx10.7\) miles/año en promedio, mucho menor que \(24.2\). El modelo sobrestima el crecimiento en 2010; se cuestiona su validez para ese periodo.

(e) El modelo logístico incorpora capacidad de carga (4000 miles), por lo que la tasa de crecimiento disminuye al acercarse a ese límite; es razonable a largo plazo.

(f) (i) \[g'(x)=\frac{4000\,(14\cdot0.05) e^{-0.05x}}{(1+14e^{-0.05x})^2}=\frac{2800\,e^{-0.05x}}{(1+14e^{-0.05x})^2}.\]

(ii) El máximo de \(g’\) ocurre cuando \(14e^{-0.05x}=1\Rightarrow x=\frac{\ln14}{0.05}\approx\) 52.78. Año: \(1900+52.78\approx\)1952.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 4
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A las 10:00, un avión de pasajeros y una bandada de aves siguen trayectorias (en km y minutos desde las 10:00):

Avión: \(\vec{r}_\text{av}(t)=\begin{bmatrix}5\\-2\\7\end{bmatrix}+t\,\begin{bmatrix}-1.4\\1.65\\0\end{bmatrix}\).

Aves: \(\vec{r}_\text{aves}(t)=\begin{bmatrix}-11\\30\\6\end{bmatrix}+t\,\begin{bmatrix}-0.40\\-0.35\\0.10\end{bmatrix}\).

(a) Determina la rapidez de las aves (km/min).

(b) Con dos afirmaciones, describe la trayectoria del avión en contexto.

c)
  1. Halla el instante en que aves y avión tienen la misma altura.
  2. Usando ese instante, explica por qué no colisionarán.

A las 10:20, se detecta un jet con \(t\) minutos desde las 10:20 y

Jet: \(\vec{r}_\text{jet}(t)=\begin{bmatrix}-95\\32\\1.5\end{bmatrix}+t\,\begin{bmatrix}1.3\\1.45\\0.2\end{bmatrix}\).

(d) Escribe la ecuación vectorial del avión de pasajeros en función de \(t\) (minutos desde las 10:20).

(e) Una norma exige que jet y avión estén siempre a más de 5 km. Determina si la incumplen si siguen sus trayectorias.

(a) Rapidez aves: \[\lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{(-0.40)^2+(-0.35)^2+(0.10)^2}=\sqrt{0.2925}=0.541\text{ km/min}.\]

(b) Ejemplos válidos (elige dos): línea recta; se desplaza hacia el oeste a \(1.4\) km/min y hacia el norte a \(1.65\) km/min; altura constante de \(7\) km.

(c) (i) Igualamos alturas: \(6+0.1t=7\Rightarrow t=\)10 min.

(ii) En \(t=10\): avión \([5,-2,7]+10[-1.4,1.65,0]=[-9,\,14.5,\,7]\); aves \([-11,30,6]+10[-0.40,-0.35,0.10]=[-15,\,26.5,\,7]\). Sus coordenadas \(x\) (o \(y\)) difieren, por lo que no colisionan.

(d) A las 10:20 (\(t=20\) desde las 10:00): \(\vec{r}_\text{av}(20)=[5,-2,7]+20[-1.4,1.65,0]=[-23,31,7]\). Entonces, para \(t\) minutos desde 10:20: \[\vec{r}_\text{av}(t)=\begin{bmatrix}-23\\31\\7\end{bmatrix}+t\,\begin{bmatrix}-1.4\\1.65\\0\end{bmatrix}.\]

(e) Vector diferencia (jet − avión), usando (d): \[\Delta x=-95+1.3t-(-23-1.4t)=2.7t-72,\; \Delta y=32+1.45t-(31+1.65t)=1-0.2t,\; \Delta z=1.5+0.2t-7=0.2t-5.5.\] Distancia \(d(t)=\sqrt{(2.7t-72)^2+(-0.2t+1)^2+(0.2t-5.5)^2}.\) Con GDC, \(\min d(t)\approx\)4.33 km\(\mathrel{\unicode{x003C}}5\). Incumplen la norma.

Pregunta 5
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Tope de puerta con forma de prisma triangular ABCDEF (cm). Caras triangulares rectángulas. A(13,1,0), B(13,25,0), C(13,25,7). Además, D(4,25,7).

  1. Halla \(AC\).
  2. Muestra que \(\triangle ABC\) es rectángulo.
  3. Halla el volumen del prisma.

Se reduce el volumen a 625 cm3 extrayendo una sección, manteniendo caras triangulares rectas como en la figura (definiendo el punto X sobre AB).

d)
  1. Halla \(\theta\).
  2. De ahí o de otra forma, halla \(AX\).

El material cuesta 0.025 USD por cm3. Hay un 10% de merma. El precio de venta incluye 20% sobre el coste del material.

(e) Determina el precio del nuevo tope, a 2 decimales.

Figura del prisma triangular ABCDEF

(a) \(\overrightarrow{AC}=(0,24,7)\). \(AC=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=\)25 cm.

(b) \(\overrightarrow{AB}=(0,24,0)\) es paralelo al eje \(y\). \(\overrightarrow{BC}=(0,0,7)\) es paralelo al eje \(z\). Son perpendiculares (producto escalar 0), por tanto \(\triangle ABC\) es rectángulo en \(B\).

(c) Área base \(=\tfrac12\cdot24\cdot7=84\,\text{cm}^2\). Longitud del prisma (eje \(x\)): \(|13-4|=9\,\text{cm}\). Volumen \(=84\cdot9=\)756 cm3.

(d) (i) En \(\triangle ABC\), \(\tan\theta=\tfrac{7}{24}\Rightarrow \theta\approx\)16.26°.

(ii) El ancho del prisma sigue siendo \(9\). Sea base nueva \(AX=b\) y altura \(h\). Como \(\tan\theta=\tfrac{h}{b}\Rightarrow h=b\tan\theta\). Volumen objetivo: \(625=\tfrac12\,b\,h\cdot 9=\tfrac{9}{2}\,b^2\tan\theta\). Entonces \[b=\sqrt{\frac{2\cdot625}{9\tan\theta}}\approx21.82\ \text{cm}.\]

(e) Material efectivo: \(625\times1.1=687.5\,\text{cm}^3\). Coste: \(687.5\times0.025=17.1875\,\text{USD}\). Precio: \(17.1875\times1.2=\)20.63 USD.

Pregunta 6
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Se insertan 27 000 partículas de virus en una muestra de 1350 células sanas. Sea \(h(t)\) el número de células sanas y \(v(t)\) el número de partículas de virus (en miles), tras \(t\) horas. Se sabe que \(\dfrac{dh}{dt}\) es proporcional a \(\dfrac{h}{v}\).

(a) Dado que \(\dfrac{dh}{dt}=-5\) en \(t=0\), muestra que \(\displaystyle \frac{dh}{dt}=-\frac{h}{10v}\).

(b) Con \(v=27+0.3t\), halla una expresión para \(h(t)\).

(c) Artem usa \(v=27+0.28t\) y \(h=4380(27+0.28t)^{-0.36}\). Predice cuántas horas tardará en cumplirse que el número de partículas de virus sea al menos 100 veces el de células sanas.

(a) Supón \(\dfrac{dh}{dt}=k\,\dfrac{h}{v}\). En \(t=0\): \(h=1350\), \(v=27\) (miles). Dado \(\dfrac{dh}{dt}=-5\), \[-5=k\,\frac{1350}{27}\Rightarrow k=-\frac{1}{10}.\] Por tanto, \(\displaystyle \frac{dh}{dt}=-\frac{h}{10v}\).

(b) \(\dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{h}{10(27+0.3t)}\). Separando variables: \[\frac{1}{h}\,dh=-\frac{1}{10(27+0.3t)}\,dt.\] Integramos: \(\ln h= -\tfrac{1}{3}\ln(27+0.3t)+C\). Así, \[h=A(27+0.3t)^{-1/3}.\] Con \(h(0)=1350\): \(1350=A\cdot27^{-1/3}=A/3\Rightarrow A=4050\). Luego \[\,h(t)=4050\,(27+0.3t)^{-1/3}\,.\]

(c) Condición: número de virus \(\ge 100\) veces células sanas. Como \(v\) está en miles, \(1000v\ge 100h\Rightarrow 10v\ge h\). Con los modelos de Artem: \[10(27+0.28t)\ge 4380(27+0.28t)^{-0.36}.\] Resolvemos (GDC): \(t\approx\)216 h (aprox. 216.3 h; 217 h en contexto diario).

Pregunta 7
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Para diseñar una mesa de 1 m de alto con tablero circular de radio 1 m, Bobby usa la curva

\[y=\frac{2}{3}\cos^{-1}\!\Big(\frac{1}{10x}\Big),\quad 0.1\le x\le 1,\]

para perfilar la parte inferior, como se muestra. (a) Halla el área de la región sombreada.

Luego añade un rectángulo de base 0.3 m y altura 0.075 m en la parte inferior. Al final, rota toda la región sombreada alrededor del eje \(y\).

  1. Escribe las tres expresiones necesarias para el volumen total.
  2. Calcula el volumen total.
Región sombreada bajo la curva para el tablero

(a) El área sombreada entre \(y=1\) y la curva, de \(x=0.1\) a \(x=1\), es

\[A=\int_{0.1}^{1}\Big(1-\tfrac{2}{3}\cos^{-1}\!\big(\tfrac{1}{10x}\big)\Big)\,dx.\]

Con GDC: \(A\approx\)\(0.219\ \text{m}^2\) (0.219128…).

(b) Al rotar en torno al eje \(y\), conviene usar discos/arandelas con \(x\) en función de \(y\). De \(y=\tfrac{2}{3}\cos^{-1}(1/(10x))\) se obtiene \(x(y)=\dfrac{1}{10\cos(\tfrac{3y}{2})}\). Sean los límites en \(y\): \(y_{\max}=\tfrac{2}{3}\cos^{-1}(0.1)\approx0.980419\).

Volumen total = (i) cilindro superior + (ii) integral central + (iii) cilindro base:

(i) \(V_1=\pi(1)^2\big(1-y_{\max}\big).\)

(ii) \(V_2=\displaystyle \pi\int_{0}^{y_{\max}}\big(x(y)\big)^2\,dy=\pi\int_{0}^{y_{\max}}\Big(\frac{1}{10\cos(\tfrac{3y}{2})}\Big)^2 dy.\)

(iii) \(V_3=\pi(0.3)^2(0.075).\)

(c) Evaluando: \(V=V_1+V_2+V_3\approx\)\(0.291\ \text{m}^3\) (0.291110…).