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Matemáticas AE NM

Prueba 2 Mayo 2025 TZ2

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 h 30 min
9preguntas

Estudio de caso

Instrucciones

  • Escriba su número de convocatoria en las casillas provistas.
  • No abra esta prueba hasta que se lo autoricen.
  • En esta prueba es necesario usar una calculadora de pantalla gráfica.
  • Sección A: conteste todas las preguntas en las casillas provistas.
  • Sección B: conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas. Adjúntelo según se indica.
  • Salvo indicación en contrario, dé respuestas exactas o aproximadas a tres cifras significativas.
  • Se necesita una copia sin anotaciones del cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Análisis y Enfoques NM.
  • Puntuación máxima: 80 puntos.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
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La siguiente tabla muestra el número de horas de juego (x) y de horas de sueño (y) que ha tenido un grupo de seis niños a lo largo de una semana.

Horas de juego (x)111314172224
Horas de sueño (y)626568758487

Para estos datos, la recta de regresión de y sobre x se puede escribir de la forma y = ax + b.

(a) Halle el valor de a y el valor de b.

(b) Utilice la ecuación de la recta de regresión para estimar el número de horas de sueño de un niño que ha tenido esa semana 20 horas de juego.

(a) Con la GDC, ingresamos los 6 pares (x, y) y calculamos la regresión lineal y = ax + b.

Resultado de la GDC: \(a \approx 1.98\), \(b \approx 40.2\).

Respuesta: a = 1.98, b = 40.2.

(b) Sustituimos x = 20 en la ecuación de regresión.

\[ y \approx 1.98\times 20 + 40.2 = 79.8. \]

Horas de sueño estimadas: 79.8 horas.

Pregunta 2
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La figura muestra una pirámide recta de base cuadrada y vértice V(1, 7, 0). El punto X(\(-3, 4, 2\)) es el centro de la base ABCD. (La figura no está a escala.)

(a) Halle \(VX\).

La base cuadrada mide 5 cm de lado.

(b) Halle \(AC\).

(c) Halle el ángulo que forma la arista [VC] con la base de la pirámide.

Pirámide recta de base cuadrada ABCD, vértice V y centro X

(a) Distancia entre puntos en \(\mathbb{R}^3\):

\[ VX = \sqrt{(1-(-3))^2 + (7-4)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}. \]

\(VX =\) \(\sqrt{29} \approx 5.39\).

(b) La diagonal de un cuadrado de lado 5 cm es \(AC = 5\sqrt{2}\) cm.

\(AC=\) \(5\sqrt{2} \approx 7.07\) cm.

(c) En una pirámide recta, \(VX\) es perpendicular a la base. En el triángulo rectángulo \(VXC\), la distancia del centro a un vértice de la base es \(XC = \tfrac{\text{diagonal}}{2} = \tfrac{5\sqrt{2}}{2} = \tfrac{5}{\sqrt{2}}\).

\[ \tan\theta = \frac{\text{altura}}{\text{semidiagonal}} = \frac{VX}{XC} = \frac{\sqrt{29}}{5/\sqrt{2}}. \]

\(\theta \approx 56.7^\circ\). Respuesta: \(56.7^\circ\) (equivale a \(0.990\) rad).

Pregunta 3
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La derivada de una función \(f\) viene dada por \(f'(x)=4+2x-3e^{x}\), donde \(x\in\mathbb{R}\).

(a) Halle los valores de \(x\) para los cuales \(f\) es decreciente.

(b) Halle los valores de \(x\) para los cuales el gráfico de \(f\) es cóncavo hacia arriba.

(a) \(f\) es decreciente cuando \(f'(x)<0\):

\[ 2x+4-3e^{x}<0. \]

Resolvemos \(f'(x)=0\) con la GDC para ubicar los cruces: \(x\approx -1.74\) y \(x\approx 0.518\). Por el signo de \(f’\), \(f'(x)<0\) para \(x\le -1.74\) y para \(x\ge 0.518\).

Respuesta: \(x\le -1.74\) o \(x\ge 0.518\).

(b) \(f»(x)=2-3e^{x}.\) Cóncavo hacia arriba cuando \(f»(x)>0\):

\[ 2-3e^{x}>0 \iff e^{x}<\frac{2}{3} \iff x<\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx -0.405. \]

Respuesta: \(x< -0.405\).

Pregunta 4
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Considere el desarrollo de \((2x+k)^{10}\), donde \(k\in\mathbb{Z}\). Sabiendo que el coeficiente de \(x^6\) es \(8.4\times 10^6\), halle los posibles valores de \(k\).

El término general es \(\binom{10}{r}(2x)^{10-r}k^{r}\). Para \(x^6\): \(10-r=6\Rightarrow r=4\).

Coeficiente: \[ \binom{10}{4}2^{6}k^{4} = 210\cdot 64\,k^{4} = 13440\,k^{4}. \]

Igualando: \(13440\,k^{4}=8.4\times 10^6\Rightarrow k^{4}=625\Rightarrow k=\pm 5\).

Respuesta: \(k=5\) o \(k=-5\).

Pregunta 5
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Una partícula P se mueve en línea recta. La velocidad (\(v\) m s\(^{-1}\)) de P en el instante \(t\) segundos viene dada por \(v(t)=e^{-\sin t}\,\cos(2t)\), para \(0\le t\le 5\).

(a) Halle la máxima rapidez de P.

(b) Halle la distancia total que ha recorrido P.

(c) Halle la aceleración de P cuando cambia de sentido por segunda vez.

(a) La rapidez es \(|v(t)|=e^{-\sin t}|\cos(2t)|\). Se maximiza cuando \(|\cos(2t)|=1\) y \(e^{-\sin t}\) es máximo (esto ocurre cuando \(\sin t=-1\)).

Para \(t=\tfrac{3\pi}{2}\) dentro de \([0,5]\): \(|\cos(3\pi)|=1\) y \(e^{-\sin t}=e^{1}\). Así, rapidez máxima: \(e\;\text{m s}^{-1}\approx 2.72\;\text{m s}^{-1}\).

(b) Distancia total: \(\displaystyle \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\). Con la GDC (integral numérica de \(|e^{-\sin t}\cos(2t)|\)):

\(3.85\;\text{m}\) (a 3 c.s.).

(c) Cambio de sentido cuando \(v(t)=0\). Como \(v=e^{-\sin t}\cos(2t)\), los ceros son cuando \(\cos(2t)=0\), es decir \(t=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\ldots\). El segundo cambio en \([0,5]\) es en \(t=\tfrac{3\pi}{4}\).

Aceleración \(a(t)=v'(t)\). Derivando: \[ v'(t)=e^{-\sin t}(-\cos t\,\cos 2t – 2\sin 2t). \]

En \(t=\tfrac{3\pi}{4}\): \(\cos 2t=\cos(\tfrac{3\pi}{2})=0\) y \(\sin 2t=\sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1\). Por tanto,

\[ a= e^{-\sin(3\pi/4)}\,(0+2)=2e^{-\sin(3\pi/4)}=2e^{-\sqrt{2}/2}\approx 0.986\;\text{m s}^{-2}. \]

Respuesta: \(0.986\;\text{m s}^{-2}\).

Pregunta 6
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Un círculo de centro O y radio r cm tiene puntos A y B en la circunferencia con \(\angle A\widehat{O}B=\theta\) rad. El sector OAB se divide en dos regiones: el segmento circular sombreado P y el triángulo Q. Se sabe que:

  • El área del segmento P es 12.8 cm\(^2\).
  • Las áreas de P y Q están en razón 3:5.

Halle el valor de \(r\).

Círculo de centro O con segmento circular sombreado P y triángulo Q

Segmento: \(\text{seg} = \tfrac{1}{2}r^2(\theta-\sin\theta)\). Triángulo: \(Q=\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta\). Razón \(P:Q=3:5\) implica

\[ \frac{\theta-\sin\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{5} \;\Longrightarrow\; 5\theta = 8\sin\theta. \]

Con la GDC, \(\theta \approx 1.59934\) rad.

Usando \(P=12.8\): \[ \tfrac{1}{2}r^2(\theta-\sin\theta)=12.8 \;\Rightarrow\; r^2=\frac{25.6}{\,\theta-\sin\theta\,}. \]

Con \(\theta=1.59934\): \(r\approx 6.533\) cm.

Respuesta: \(r\approx 6.53\;\text{cm}\).

Pregunta 7
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El faro L está a 8 km al este de la estación de guardacostas C. Desde C se ve una moto acuática J con demora 062° a 5.5 km. (Figura no a escala.)

(a) Halle \(JL\).

Luego, la moto se avería en el punto B mientras iba hacia el sur. Desde la parte superior del faro (60 m) el ángulo de depresión hasta B es 0.94°.

(b) Halle \(BL\).

La demora desde B hacia L es 121°.

(c) Halle la demora desde L hacia B.

El bote de L navega a 48 km h\(^{-1}\) y el de C a 55 km h\(^{-1}\). Ambos zarpan a la vez al ver la bengala.

(d) Halle el tiempo (en minutos) que tarda el bote de L en llegar a B.

(e) Determine cuál de los dos botes llega primero. Justifique.

Diagrama con guardacostas C, faro L y moto acuática J; distancias y demora marcadas
Diagrama de la moto acuática en B y el faro L con ángulo de depresión

(a) En \(\triangle CJL\), el ángulo en C es \(90^\circ-62^\circ=28^\circ\). Por coseno:

\[ JL^2 = 5.5^2 + 8^2 – 2(5.5)(8)\cos 28^\circ. \]

\(JL \approx\) 4.07 km.

(b) Con \(h=60\) m y ángulo de depresión \(0.94^\circ\), \(\tan 0.94^\circ = \tfrac{60}{BL}\). Luego

\(BL = 60/\tan 0.94^\circ \approx 3657\) m = 3.66 km.

(c) La demora opuesta se obtiene sumando \(180^\circ\): desde B a L es \(121^\circ\), por tanto desde L a B es

\(301^\circ\) (equivalente a N59°W).

(d) Tiempo \(t=\tfrac{d}{v}=\tfrac{3.6569}{48}\) h \(\approx 0.0762\) h = 4.57 min.

(e) Distancia desde C a B por coseno (usando \(\angle LCB=31^\circ\) de la configuración de demoras):

\[ BC^2 = 3.6569^2 + 8^2 – 2(3.6569)(8)\cos 31^\circ, \quad BC \approx 5.217\;\text{km}. \]

Tiempo del bote de C: \(\tfrac{5.217}{55}\) h \(\approx 0.09486\) h = 5.69 min.

Comparación: 5.69 min \(>\) 4.57 min, así que llega primero el bote del faro.

Respuesta: Llega primero el bote del faro.

Pregunta 8
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En el huerto Adam´s Apple Orchard, los pesos de las manzanas \((W\;\text{g})\) siguen \(\mathcal{N}(175,8^2)\).

(a) Halle \(\mathbb{P}(W<170)\).

(b) Se sabe que el 20% de las manzanas pesan más de \(w\) gramos. Halle \(w\) (a 4 c.s.).

(c) Halle el porcentaje con \(170\le W\le 185\).

Se llenan cajas con 40 manzanas aleatorias.

(d) Halle la probabilidad de que una caja tenga al menos 30 manzanas de categoría superior (entre 170 y 185 g).

(e) Ahora se eligen al azar 10 de estas cajas. Halle la probabilidad de que exactamente 4 contengan al menos 30 manzanas de categoría superior.

En otro huerto, \(M\sim\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) con:

  • 82% de manzanas de categoría superior.
  • \(\mathbb{P}(M<170)=2\,\mathbb{P}(M>185)\).

(f) Halle \(m\).

(a) Tipificamos: \(z=\frac{170-175}{8}=-0.625\). Con la GDC, \(\mathbb{P}(W<170)=\Phi(-0.625)\approx\) 0.266.

(b) \(\mathbb{P}(W>w)=0.20\Rightarrow \mathbb{P}(W\le w)=0.80\). Cuantil 0.8: \(z\approx 0.842\). Así,

\(w=175+8\times 0.842\approx\) 181.7 g (4 c.s.).

(c) \(\mathbb{P}(170<W<185)=\Phi(1.25)-\Phi(-0.625)\approx 0.628\Rightarrow\) \(62.8\%\).

(d) Sea \(X\sim\text{Bin}(40,p)\) con \(p=0.628…\). Buscamos \(\mathbb{P}(X\ge 30)\). Con la GDC (acumulada):

0.0739 (7.39%).

(e) Sea \(Y\sim\text{Bin}(10,0.07386…)\). Entonces

\(\mathbb{P}(Y=4)=\binom{10}{4}(0.07386…)^4(1-0.07386…)^6\approx\) 0.00394.

(f) Del enunciado: \(\mathbb{P}(M<170)=0.12\) y \(\mathbb{P}(M>185)=0.06\). Entonces

\[ \frac{170-m}{\sigma}=z_{0.12}\approx -1.175,\qquad \frac{185-m}{\sigma}=z_{0.94}\approx 1.555. \]

Restando: \(15 = \sigma(1.555-(-1.175))\Rightarrow \sigma\approx 5.49\). Luego

\(m=185-1.555\,\sigma\approx 185-1.555(5.49)\approx\) 176 g.

Pregunta 9
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Una pelota de tenis se deja caer desde una altura dada. Después de cada bote, la altura máxima es \(\tfrac{2}{3}\) de la altura máxima previa. La figura representa la altura \(h\) (m) frente al tiempo \(t\) (s). En una caja hay pelotas numeradas 1,2,3,… que cumplen esta regla.

La pelota 1 se deja caer desde 10 m.

(a) Halle la altura máxima de la pelota 1 después del 5.º bote.

(b) Halle la distancia total recorrida por la pelota 1 justo antes del 5.º bote.

Sea \(d\) la distancia total que recorre cualquiera de estas pelotas si se deja caer desde \(x\) metros.

(c) Muestre que \(d=5x\) metros.

Sea \(d_1\) la distancia total de la pelota 1.

(d) Escriba el valor de \(d_1\).

La pelota 2 se deja caer desde 9.56 m. Sean \(d_2,d_3,\dots\) las distancias totales respectivas. Se sabe que \(d_1,d_2,d_3,\dots\) forman una progresión aritmética.

(e) Determine cuál es la primera pelota que recorre menos de 25 m.

Gráfico de altura h frente a tiempo t para los botes de una pelota de tenis

(a) Altura tras el 5.º bote: \(10\big(\tfrac{2}{3}\big)^5= \tfrac{320}{243}\approx\) 1.32 m.

(b) Distancia total hasta justo antes del 5.º bote:

Caída inicial: 10. Luego sube y baja 4 veces con alturas \(10(\tfrac{2}{3})^k\) para \(k=1,2,3,4\). Por tanto,

\[ D=10+2\sum_{k=1}^{4}10\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^k=10+20\cdot \frac{\frac{2}{3}\big(1-(\frac{2}{3})^4\big)}{1-\frac{2}{3}}\approx 42.1\;\text{m}. \]

Respuesta: 42.1 m.

(c) Para altura inicial \(x\):

\[ d = x + 2\sum_{k=1}^{\infty} x\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^k = x + 2x\cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} = x + 2x\cdot 2 = 5x. \]

Luego \(\boxed{d=5x}\).

(d) \(d_1=5\times 10 =\) 50 m.

(e) Como \(d_n\) es A.P. y \(d_n=5x_n\), también \(x_n\) es A.P. Dado \(d_1=50\) y \(d_2=5\times 9.56=47.8\), la razón es \(d=47.8-50=-2.2\).

Buscamos el menor \(n\) con \(d_n<25\):

\[ 50+(n-1)(-2.2)<25 \;\Rightarrow\; n-1>\frac{25}{2.2}\approx 11.36 \;\Rightarrow\; n=\,\boxed{13}. \]