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Matemáticas AE NM

Prueba 2 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 hora 30 minutos

9preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM — Prueba 2 (16 de mayo de 2025)

Use una calculadora de pantalla gráfica.
Sección A: conteste todas las preguntas en el espacio provisto.
Sección B: conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas; empiece una página nueva para cada respuesta.
Salvo indicación en contrario, dé respuestas exactas o aproximadas a tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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La siguiente figura muestra una semiesfera sólida con centro en A (6, -1, -3). El punto B (4, -5, -9) está en la superficie curva.
(a) Halle el radio AB de la semiesfera.
(b) A partir de lo anterior, halle el área total de la superficie de la semiesfera sólida.

Diagrama de una semiesfera con centro A y punto B en la superficie

(a) Distancia en 3D entre A y B:

\[AB=\sqrt{(6-4)^2+(-1-(-5))^2+(-3-(-9))^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.\]

Radio: \(2\sqrt{14}\;\text{unid.}\)

(b) Superficie total de una semiesfera sólida = superficie curva de media esfera + base = \(2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2\).

Con \(r^2=56\): \(S=3\pi\cdot56=168\pi\approx 5.28\times10^2\).

Área total: \(168\pi\) (\(\approx\) 528).

Pregunta 2

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En el triángulo ABC se tiene AB = 7, AC = 12 y \(\widehat{BÂC}=116^\circ\).
(a) Halle BC.
(b) Halle \(\widehat{A\hat{C}B}\).

Diagrama del triangulo ABC con AB igual a 7, AC igual a 12 y angulo BAC igual a 116 grados

(a) Regla del coseno en el lado \(BC\):

\[BC^2=12^2+7^2-2\cdot12\cdot7\cos(116^\circ).\]

\(BC=\sqrt{266.646\ldots}=\) 16.3.

(b) Regla del seno para \(\angle ACB\):

\[\frac{\sin(\angle ACB)}{\sin(116^\circ)}=\frac{7}{BC}.\]

Con \(BC=16.329\ldots\): \(\sin(\angle ACB)=(7/16.329\ldots)\sin(116^\circ)\Rightarrow \angle ACB\approx\) \(22.7^\circ\) (acepte 22.8° con 3 c.s.f.).

Pregunta 3

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Considere el desarrollo de \((x+k)^{11}\), con \(k>0\).
(a) Escriba el número de términos del desarrollo.
(b) El coeficiente de \(x^7\) es 1320. Halle \(k\).

(a) Un binomio a la potencia 11 tiene 12 términos.

(b) Término general: \(\binom{11}{r}x^{11-r}k^r\). Para \(x^7\): \(11-r=7\Rightarrow r=4\).

Coeficiente: \(\binom{11}{4}k^4=1320\Rightarrow 330\,k^4=1320\Rightarrow k^4=4\Rightarrow k=\sqrt{2}\) (por \(k>0\)).

\(k=\sqrt{2}\; (\approx 1.414)\)

Pregunta 4

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El número de veces por semana X que un cliente va al supermercado tiene la siguiente distribución:

x	1	2	3	4	5	\(\ge 6\)
P(X=x)	\(1.5a\)	\(2a\)	0.281	\(a\)	0.026	0

1. Halle \(a\).
2. Escriba la moda de \(X\).
Halle la media de \(X\).
Se encuesta a los 50 primeros clientes que entran en un día. Identifique el método de muestreo: aleatorio simple, sistemático, por conveniencia, por cuotas o estratificado.

(a)(i) Suma de probabilidades = 1:

\[1.5a+2a+0.281+a+0.026=1\;\Rightarrow\;4.5a=0.693\Rightarrow a=\;\boxed{0.154}.\]

(ii) Comparamos probabilidades: \(2a=0.308\) es la mayor. Moda: 2.

(b) Media \(E[X]=\sum x\,P(X=x)\):

\[1(1.5a)+2(2a)+3(0.281)+4(a)+5(0.026)=2.436\approx\boxed{2.44}.\]

Pregunta 5

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En un círculo de centro O, A, B y C están en la circunferencia. El área del triángulo AOB es 26 cm² y \(\angle A\hat{O}B=2.51\) rad. Halle la longitud del arco mayor ACB.

Diagrama de un circulo con centro O, puntos A, B y C en la circunferencia y angulo AOB igual a 2,51 radianes

En un triángulo isósceles con lados \(OA=OB=r\):

\[\text{Área }\triangle AOB=\tfrac12 r^2\sin(2.51)=26 \;\Rightarrow\; r^2=\frac{52}{\sin(2.51)}.\]

De la calculadora: \(r\approx 9.38462\).

Arco mayor entre A y B: \(s=r\,(2\pi-2.51)\).

\[s\approx 9.38462\,(2\pi-2.51)=\;\boxed{35.4\;\text{cm}}.\]

Pregunta 6

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Considere \(f(x)=\dfrac{(2x+a)^3}{(x+5)^2}\), con \(x\ne -5\) y \(a\in\mathbb{R}^+\).
(a) Halle una expresión para \(f'(x)\) en función de \(a\).
(b) Para \(x=1\), la tangente forma un ángulo de 70° con la horizontal. Halle los dos posibles valores de \(a\).

(a) Regla del cociente. Sea \(u=(2x+a)^3\), \(v=(x+5)^2\).

\(u’=6(2x+a)^2\), \(v’=2(x+5)\).

\[f'(x)=\frac{u’v-uv’}{v^2}=\frac{6(2x+a)^2(x+5)^2-2(2x+a)^3(x+5)}{(x+5)^4}.\]

Factorizando:

\[f'(x)=\frac{2(2x+a)^2\big(3(x+5)-(2x+a)\big)}{(x+5)^3}=\frac{2(2x+a)^2(x- a+15)}{(x+5)^3}.\]

(b) Pendiente de la tangente: \(m=\tan 70^\circ\).

En \(x=1\):

\[f'(1)=\frac{2(2+a)^2(16-a)}{6^3}=\tan 70^\circ.\]

Resolvemos numéricamente con la calculadora gráfica. Se obtienen dos soluciones positivas:

\(a\approx 2.73\) y \(a\approx 15.0\).

Pregunta 7

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Sea \(f(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin(3\pi x)+2\), con \(0\le x\le 2\). En la figura se muestra el gráfico de \(f\).
(a) (i) Escriba la amplitud de \(f\). (ii) Halle el período de \(f\).
(b) Para \(P=(1.63,\,2.16)\), indique si está por encima, por debajo o en el gráfico de \(f\). Justifique.
(c) La recta \(L_1\) tiene ecuación \(x-6y+11=0\). Escriba su pendiente.
(d) La recta \(L_1\) es normal al gráfico de \(f\) en \(A(1,2)\). La recta \(L_2\) es tangente al gráfico de \(f\) en \(A\). (i) Halle la pendiente de \(L_2\). (ii) Halle la ecuación de \(L_2\).
(e) La recta \(L_2\) corta al gráfico de \(f\) en otro punto \(B\) con \(x_B>1.5\). Halle las coordenadas de \(B\).
(f) La región sombreada está delimitada por el gráfico de \(f\) y la recta \(L_1\) entre \(A\) y \(B\). Halle su área.

Gráfico con la region sombreada entre la función y la recta

(a) En \(f(x)=\frac{2}{\pi}\sin(3\pi x)+2\):

Amplitud = coeficiente de la senoide = \(\dfrac{2}{\pi}\approx 0.637\).
Período: \(\sin(3\pi x)\) tiene período \(\dfrac{2\pi}{3\pi}=\) \(\dfrac{2}{3}\).

(b) \(f(1.63)=2+\dfrac{2}{\pi}\sin(3\pi\cdot1.63)\approx 2.21564\gt 2.16\). Por tanto, \(P\) está por debajo del gráfico.

(d) \(L_1\perp L_2\Rightarrow m_{L_1}\,m_{L_2}=-1\). Con \(m_{L_1}=\tfrac{1}{6}\):

(i) \(m_{L_2}=-6\). \(-6\)

(ii) Por \(A(1,2)\): \(y-2=-6(x-1)\Rightarrow y=-6x+8\). \(y=-6x+8\)

(e) Intersección con \(f\): resolver \(-6x+8=\dfrac{2}{\pi}\sin(3\pi x)+2\). Con la calculadora, \(x_B\approx 1.64856\), \(y_B\approx 2.10809\). \(B\approx(1.65,\,2.11)\).

(f) Área entre \(f\) y \(L_1\) de \(x=1\) a \(x=x_B\). Cambian de orden en \(x\approx 1.34287\). Entonces

\[\text{Área}=\int_{1}^{1.34287}\big(L_1-f\big)\,dx+\int_{1.34287}^{1.64856}\big(f-L_1\big)\,dx.\]

Con \(L_1=\tfrac{1}{6}x+\tfrac{11}{6}\) y \(f=\tfrac{2}{\pi}\sin(3\pi x)+2\), se obtiene

\[\text{Área}\approx 0.144618+0.108585=\;\boxed{0.253}.\]

Pregunta 8

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Variable aleatoria discreta X.
(a) Indique dos condiciones para modelar con distribución binomial.
En un parque acuático: la probabilidad de montarse en Daifong un día cualquiera es 0.37. El sábado vendrán 1900 personas.
(b) Halle el número esperado que se montan en Daifong.
(c) Halle la probabilidad de: (i) exactamente 712; (ii) entre 684 y 712 inclusive.
(d) Sabiendo que entre 684 y 712 inclusive se montarán en Daifong, halle la probabilidad de que como mucho 692 lo hagan.
En Torbellino, la probabilidad es 0.61, independiente de Daifong.
(e) Halle la probabilidad de que una persona se monte en ambas.
El martes irán n personas y \(P(\text{a lo sumo 500 en Torbellino})\approx 0.693\).
(f) Halle n.

(a) Dos condiciones (cualquiera de dos):

Número fijo de ensayos \(n\).
Ensayos independientes.
Cada ensayo tiene dos resultados (éxito/fracaso) con \(p+q=1\).
Probabilidad de éxito constante \(p\).

(b) \(E[D]=np=1900\cdot0.37=\) 703.

(i) \(P(D=712)=\binom{1900}{712}0.37^{712}0.63^{1188}\approx\) 0.0173.

(ii) \(P(684\le D\le 712)=\sum_{k=684}^{712}P(D=k)\approx\) 0.498 (0.4976…).

(d) Probabilidad condicionada:

\[P(D\le 692\mid 684\le D\le 712)=\frac{P(684\le D\le 692)}{P(684\le D\le 712)}=\frac{0.132318\ldots}{0.497593\ldots}\approx\;\boxed{0.266}.\]

(e) Independencia: \(P(\text{Daifong y Torbellino})=0.37\cdot0.61=\) 0.226 (0.2257 exacto).

(f) \(T\sim\text{Bin}(n,0.61)\). Hallar \(n\) tal que \(P(T\le 500)\approx 0.693\). Con función inversa binomial/ajuste por prueba y error en la calculadora,

n=809 (se acepta 808).

Pregunta 9

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Carrera de 200 m. La velocidad de Fiona (m s⁻¹) se modela por \(v(t)=\dfrac{8.14\,t^2}{t^2+0.2}\), \(t\ge 0\).
(a) (i) Calcule \(v(1)\). (ii) Halle el instante cuando \(v=5\;\text{m s}^{-1}\).
(b) Halle el instante cuando la aceleración es \(4\;\text{m s}^{-2}\).
(c) (i) Escriba \(\lim\limits_{t\to\infty}v(t)\). (ii) Dé una razón por la que (c)(i) no es válida en contexto.
La velocidad de Lucy se modela por \(w(t)=\dfrac{8\,t^2}{t^2+0.3}\), \(t\ge 0\). Fiona acaba antes que Lucy.
(d) Si Fiona tarda \(t_f\) s en completar 200 m, halle a qué distancia de la meta está Lucy cuando Fiona termina.

(a)(i) Sustituyendo:

\[v(1)=\frac{8.14\cdot1^2}{1^2+0.2}=\frac{8.14}{1.2}=6.783\ldots\approx\;\boxed{6.78\;\text{m s}^{-1}}.\]

(ii) Resolver \(\dfrac{8.14\,t^2}{t^2+0.2}=5\) con calculadora ⇒ \(0.348\;\text{s}\).

(b) \(a(t)=v'(t)=\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{8.14\,t^2}{t^2+0.2}\Big)=\dfrac{3.256\,t}{(t^2+0.2)^2}.\) Igualamos a 4 y resolvemos numéricamente ⇒ \(0.591\;\text{s}\).

(c)(i) Para \(t\to\infty\), cociente de los términos líderes ⇒ \(8.14\;\text{m s}^{-1}\).

(ii) La carrera dura un tiempo finito; el modelo asintótico no describe el final de la prueba.

(d) Distancia recorrida por Fiona: \(s_F(t)=\int_0^t v(u)\,du=\int_0^t \dfrac{8.14\,u^2}{u^2+0.2}\,du\).

Una primitiva es \(8.14\,u-\dfrac{8.14\cdot0.2}{\sqrt{0.2}}\arctan\!\big(\tfrac{u}{\sqrt{0.2}}\big)\). Resolvemos \(s_F(t_f)=200\) ⇒ \(t_f\approx\) \(25.013\;\text{s}\).

Distancia de Lucy en ese tiempo: \(s_L=\int_0^{t_f}\dfrac{8\,u^2}{u^2+0.3}\,du\approx 195.772\;\text{m}\).

Por tanto, le faltan \(200-195.772=\) \(4.23\;\text{m}\).