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Matemáticas AI NM

Prueba 2 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 2 con calculadora, contexto aplicado y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 h 30 min

5preguntas

Estudio de caso

Instrucciones

Use una calculadora de pantalla gráfica.
Muestre el procedimiento y/o explicaciones junto a los resultados de calculadora.
Respuestas numéricas exactas o a 3 cifras significativas, salvo indicación.
Dispone de 1 h 30 min. Puntuación total: 80.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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Cathie analiza el crecimiento de dos cuentas de inversión.

Cuenta 1: cantidad inicial USD 5 000. Los intereses añadidos al final de cada año son: USD 200 (año 1), USD 260 (año 2), USD 320 (año 3), USD 380 (año 4), USD 440 (año 5). Suponga que los intereses anuales siguen una progresión aritmética.

(a) Halle:
(i) la diferencia común;
(ii) la cantidad de intereses (USD) que se añadirán al final del 10.º año.

(b) Muestre que la cantidad de dinero en la Cuenta 1 tras n años puede expresarse como \(5000 + \dfrac{n}{2}(340 + 60n)\).

Cuenta 2: cantidad inicial USD 5 000; interés del 6,5 % compuesto anualmente. La cantidad tras n años es \(5000\times B^n\), donde \(B\in\mathbb{R}\).

(d) (i) Escriba el valor de \(B\).
(ii) Use ese valor, u otro método, para mostrar que la Cuenta 1 tendrá más dinero que la Cuenta 2 al cabo de 10 años completos.

Se necesitan al menos m años completos para que la Cuenta 2 supere a la Cuenta 1.

(e) Halle el valor de \(m\).

(f) Determine los intereses totales añadidos a la Cuenta 2 al cabo de \(m\) años completos. Dé la respuesta redondeada al dólar (USD) más próximo.

(a) Los intereses forman una progresión aritmética con \(u_1=200\) y \(u_2=260\). Por tanto,

\[d=260-200=60.\] 60 USD

El interés del año 10 es

\[u_{10}=200+(10-1)\cdot 60=740.\] 740 USD

(b) La suma de los intereses durante \(n\) años es

\[S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 200+(n-1)60\right)=\frac{n}{2}(340+60n).\]

Como la cuenta empieza con USD 5000, la cantidad tras \(n\) años es

\[A_1(n)=5000+\frac{n}{2}(340+60n).\]

(c) Para \(n=10\),

\[A_1(10)=5000+\frac{10}{2}(340+600)=5000+4700=9700.\] 9700 USD

(d)(i) Un interés compuesto anual del 6,5 % da

\[B=1+0.065=1.065.\] 1.065

(d)(ii) La Cuenta 2 tras 10 años vale

\[A_2(10)=5000(1.065)^{10}\approx 9385.68.\]

Como \(9700>9385.68\), la Cuenta 1 tiene más dinero tras 10 años.

(e) Comparamos

\[5000(1.065)^m>5000+\frac{m}{2}(340+60m).\]

Con una tabla o solver de la calculadora, el primer año completo para el que la Cuenta 2 supera a la Cuenta 1 es \(m=39\). m=39

(f) Los intereses totales añadidos a la Cuenta 2 tras 39 años son

\[5000(1.065)^{39}-5000\approx 53291.42.\]

Redondeando al dólar más próximo: 53291 USD

Pregunta 2

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Los pesos (en gramos) de componentes electrónicos siguen \(N(\mu=2.5,\,\sigma=0.15)\).

(a) Halle \(P(X>2.8)\).

(b) Sabiendo que \(P(X>w)=0.8\):
(i) Dibuje aproximadamente la curva normal y sombree el área que representa esta probabilidad.
(ii) Halle \(w\).

Para pasar la Prueba 1, el peso debe estar entre 2.3 g y 2.7 g.

Para la Prueba 2, \(P(\text{pasar})=0.95\). Se prueban 200 componentes.

(d) Halle la probabilidad de que exactamente 190 pasen la Prueba 2.

(e) Halle la probabilidad de que al menos 188 pasen la Prueba 2.

Se toma ahora una muestra aleatoria de 12 componentes de una caja. La caja se envía solo si al menos 10 de los 12 pasan la Prueba 1 y la Prueba 2 (independientes).

(f) Halle la probabilidad de que la caja se envíe.

Curva normal con área sombreada a la derecha de w.

(a) Estandarizamos:

\[Z=\frac{2.8-2.5}{0.15}=2.00.\]

Entonces

\[P(X>2.8)=P(Z>2.00)\approx 0.0228.\] 0.0228

(b)(i) La región sombreada es la cola derecha de la curva normal, con área \(0.8\). Como el área a la derecha es mayor que 0.5, el valor \(w\) está a la izquierda de la media.

(b)(ii) Como \(P(X>w)=0.8\), tenemos \(P(X<w)=0.2\). Por tanto,

\[w=\operatorname{InvNorm}(0.2,2.5,0.15)\approx 2.37.\] 2.37 g

(c)(i)

\[P(2.3<X<2.7)=\operatorname{normalcdf}(2.3,2.7,2.5,0.15)\approx 0.818.\] 0.818

(c)(ii) En una caja de 200 piezas, el número esperado es

\[200(0.8176)\approx 164.\] 164

(d) Si \(Y\sim B(200,0.95)\), entonces

\[P(Y=190)=\binom{200}{190}(0.95)^{190}(0.05)^{10}\approx 0.128.\] 0.128

(e)

\[P(Y\ge 188)=1-P(Y\le 187)\approx 0.796.\] 0.796

(f) La probabilidad de pasar ambas pruebas es

\[p=0.8176(0.95)\approx 0.7767.\]

Para una muestra de 12, sea \(W\sim B(12,0.7767)\). La caja se envía si \(W\ge 10\), así que

\[P(W\ge 10)\approx 0.477.\] 0.477

Pregunta 3

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Kailash fabrica recipientes en forma de ortoedro: base y parte superior cuadradas de lado \(l\) cm; altura \(d\) cm, con \(d=3l\). (La figura no está a escala.)

(a) Exprese \(d\) en función de \(l\).

El volumen es 375 cm³.

(b) Halle \(l\) y \(d\).

Para minimizar el material, se considera un cilindro de radio \(r\) cm y altura \(h\) cm con el mismo volumen (375 cm³).

(d) Exprese \(h\) en función de \(r\).

(e) Sea \(A\) el área total externa. Muestre que \(A=2\pi r^2 + \dfrac{750}{r}\).

(f) Halle \(\dfrac{dA}{dr}\).

(g) A partir de lo anterior, o de otro modo:
(i) Halle \(r\) que minimiza \(A\).
(ii) Halle el valor mínimo de \(A\).

Material adicional necesario: +10 % para el ortoedro y +25 % para el cilindro.

(h) Determine qué recipiente debería elegir Kailash. Justifique.

Diagrama del ortoedro con dimensiones l y d.

Diagrama del cilindro con radio r y altura h.

(a) La altura es tres veces el lado de la base, por tanto

\[d=3l.\] d=3l

(b) El volumen del ortoedro es

\[V=l^2d=l^2(3l)=3l^3.\]

Como \(V=375\),

\[3l^3=375\Rightarrow l^3=125\Rightarrow l=5.\]

Entonces \(d=3(5)=15\). l=5 cm, d=15 cm

(c) El área externa de la caja cerrada es

\[A=2l^2+4ld=2(5^2)+4(5)(15)=350.\] 350 cm^2

(d) Para el cilindro,

\[\pi r^2h=375\Rightarrow h=\frac{375}{\pi r^2}.\] \(h=\dfrac{375}{\pi r^2}\)

(e) El área total externa del cilindro es

\[A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\left(\frac{375}{\pi r^2}\right)=2\pi r^2+\frac{750}{r}.\]

\(A=2\pi r^2+\dfrac{750}{r}\)

(f)

\[\frac{dA}{dr}=4\pi r-750r^{-2}.\]

(g)(i) Para minimizar, resolvemos \(\frac{dA}{dr}=0\):

\[4\pi r=750r^{-2}\Rightarrow 4\pi r^3=750\Rightarrow r=\left(\frac{187.5}{\pi}\right)^{1/3}\approx 3.91.\]

r=3.91 cm

(g)(ii)

\[A_{\min}=2\pi(3.9079)^2+\frac{750}{3.9079}\approx 288.\] 288 cm^2

(h) Con material adicional, el ortoedro requiere \(1.10(350)=385\text{ cm}^2\). El cilindro requiere \(1.25(287.873)\approx 360\text{ cm}^2\). Como \(360<385\), debe elegir el cilindro.

cilindro

Pregunta 4

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En el puerto de Albion, la marea (en metros) está modelizada por \(h(t)=-2.5\cos(bt^\circ)+4.5\), con \(0\le t\le 24\) horas. La figura muestra el gráfico de \(h\).

(a) Muestre que \(b=30\).

(b) Halle \(h(5)\).

Los barcos solo pueden salir o entrar cuando \(h(t)\ge 2.65\). Robin quiere salir lo antes posible después de las 12:00.

(d) Determine la hora más temprana a la que podrá salir. Redondee al minuto más cercano.

El trayecto hasta el sitio de pesca dura 15 minutos. Regresará el mismo día.

(e) Determine el tiempo máximo (en horas) que podrá estar en el sitio y poder volver a entrar con seguridad.

Gráfico de la altura de la marea en función del tiempo.

(a) Del gráfico se observa un período de 12 horas. En \(\cos(bt^\circ)\), el período es \(\frac{360}{b}\). Entonces

\[\frac{360}{b}=12\Rightarrow b=30.\] 30

(b)

\[h(5)=-2.5\cos(30\cdot 5)^\circ+4.5=-2.5\cos(150^\circ)+4.5\approx 6.67.\]

6.67 m

(c) La amplitud es \(2.5\) y el eje principal es \(h=4.5\). 2.5 m; h=4.5

(d) Resolvemos

\[-2.5\cos(30t)^\circ+4.5=2.65\quad \text{con }t>12.\]

Con la calculadora, \(t\approx 13.4089\), que corresponde aproximadamente a 13:25. 13:25

(e) El siguiente cruce descendente se da en \(t\approx 22.5910\). Por tanto, la ventana disponible es

\[22.5910-13.4089=9.1821\text{ h}.\]

Restando 0.5 h para el viaje de ida y vuelta, el tiempo máximo en el sitio es

\[9.1821-0.5\approx 8.68.\] 8.68 h

Pregunta 5

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La sección transversal de un río bajo un puente se mide cada 1.9 m desde el origen O en una orilla (unidades en metros). La tabla da profundidades:

Distancia horizontal desde O	0	1.9	3.8	5.7	7.6
Profundidad vertical del agua	0	1.68	2.81	2.32	0

(a) Use la regla del trapecio para hallar el área de la sección transversal del río bajo el puente.

El agua fluye a 0.3 m·s⁻¹.

(b) Halle el volumen de agua que pasa bajo el puente cada segundo.

Un barco navega por el centro del río. Su parte superior es paralela al nivel del agua y mide 5 m de ancho; está 2.35 m por encima del agua, y la parte inferior está sumergida 1.6 m.

(c) Halle la distancia vertical entre la parte inferior del barco y el fondo del río al pasar por el centro bajo el puente.

El arco del puente se modela por \(y=-0.15x^2+1.14x+0.9\), \(0\le x\le 7.6\).

(d) Halle la altura máxima del arco sobre el agua.

(e) Determine si la parte superior del barco puede pasar bajo el puente.

Sección transversal del puente y del río con ejes y medidas.

Sección transversal del barco y el nivel del agua.

(a) Con paso \(h=1.9\), la regla del trapecio da

\[A\approx \frac{1.9}{2}\left(0+0+2(1.68+2.81+2.32)\right)\approx 12.9.\]

12.9 m^2

(b) El volumen por segundo es

\[12.939(0.3)\approx 3.88.\] 3.88 m^3 s^{-1}

(c) En el centro, \(x=3.8\) y la profundidad es \(2.81\) m. La parte inferior del barco está \(1.6\) m bajo el agua, así que la distancia al fondo es

\[2.81-1.6=1.21.\] 1.21 m

(d) Para \(y=-0.15x^2+1.14x+0.9\), el vértice está en

\[x=-\frac{1.14}{2(-0.15)}=3.8.\]

La altura máxima es

\[y(3.8)=-0.15(3.8)^2+1.14(3.8)+0.9\approx 3.07.\] 3.07 m

(e) El barco está centrado en \(x=3.8\) y mide 5 m de ancho, por lo que sus extremos están en \(x=1.3\) y \(x=6.3\). En cualquiera de esos extremos,

\[y=-0.15(1.3)^2+1.14(1.3)+0.9\approx 2.13.\]

Como \(2.13<2.35\), la parte superior del barco no puede pasar bajo el puente. no puede pasar