Gratis

Matemáticas AI NS

Prueba 2 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 2 con calculadora, contexto aplicado y soluciones desarrolladas.

Prueba 22 horas

7preguntas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Gratis

Kailash fabrica recipientes para bebidas con forma de paralelepípedo recto. La tapa y la base son cuadrados de lado \(l\) cm. Su altura es \(d\) cm y vale tres veces el lado de la base.

(a) Escribe una expresión para \(d\) en función de \(l\).

El recipiente puede contener \(375\text{ cm}^3\) de bebida.

(b) Halla los valores de \(l\) y \(d\).

Para reducir el impacto ambiental, Kailash quiere minimizar el material usado para producir el recipiente de \(375\text{ cm}^3\). Acepta cambiar la forma a un cilindro de radio \(r\) cm y altura \(h\) cm.

El cilindro también debe contener \(375\text{ cm}^3\).

(d) Expresa la altura \(h\) en función de \(r\).

Sea \(A\) el área total externa en \(\text{cm}^2\).

(e) Demuestra que \(A = 2\pi r^2 + \frac{750}{r}\).

(f) Calcula \(\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}\).

g) De ahí, o por otro método:

halla el valor de \(r\) que minimiza \(A\)
halla el valor mínimo de \(A\) para el cilindro.

Calcula \(\dfrac{\mathrm{d}^2A}{\mathrm{d}r^2}\).
Determina si la gráfica de \(A\) es cóncava hacia arriba o hacia abajo para \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Justifica.

Diagramas del recipiente rectangular y del cilindro.

(a) La altura es tres veces el lado: \(\displaystyle d=3l\). d=3l

(b) Volumen del cuboide: \(V=l^2\cdot d=l^2(3l)=3l^3=375\). Entonces \(l^3=125\Rightarrow l=5\,\text{cm}\). Con (a): \(d=3l=15\,\text{cm}\). \(l=5\,\text{cm},\ d=15\,\text{cm}\)

(c) Área externa: dos cuadrados \(2l^2\) y cuatro rectángulos \(4ld\). Con \(l=5\), \(d=15\): \[A=2(5^2)+4(5)(15)=50+300=350\,\text{cm}^2.\] \(350\,\text{cm}^2\)

(d) Volumen del cilindro: \(\pi r^2 h=375\Rightarrow h=\dfrac{375}{\pi r^2}\). \(h=\dfrac{375}{\pi r^2}\)

(e) Área externa del cilindro (tapas y superficie lateral): \(A=2\pi r^2+2\pi r h\). Sustituyendo \(h\): \[A=2\pi r^2+2\pi r\Big(\frac{375}{\pi r^2}\Big)=2\pi r^2+\frac{750}{r}.\]

(f) Derivamos: \[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}=4\pi r-750\,r^{-2}.\]

(g) Mínimo cuando \(\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}=0\): \(4\pi r-750r^{-2}=0\Rightarrow 4\pi r^3=750\Rightarrow r^3=\dfrac{750}{4\pi}=\dfrac{187.5}{\pi}.\) Así, \[r=\Big(\tfrac{187.5}{\pi}\Big)^{1/3}\approx 3.90796\,\text{cm}.\] El área mínima: \(A_{\min}=2\pi r^2+\dfrac{750}{r}\approx 287.873\,\text{cm}^2\). \(r\approx 3.91\,\text{cm},\ A_{\min}\approx 288\,\text{cm}^2\)

(h) Segunda derivada: \[\frac{\mathrm{d}^2A}{\mathrm{d}r^2}=4\pi+1500\,r^{-3}.\] Para \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\), \(\dfrac{\mathrm{d}^2A}{\mathrm{d}r^2}\mathrel{\unicode{x003E}}0\), por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Pregunta 2

Gratis

En un día concreto, la altura de la marea, \(h\) en metros, en el puerto de Albion se modela por \(h(t)=-2.5\cos(bt^\circ)+4.5\), con \(b\in\mathbb{R}\) y \(0\le t\le 24\), donde \(t\) son las horas después de medianoche. La gráfica de \(h\) se muestra en el diagrama.

(a) Muestra que \(b=30\).

(b) Halla la altura de la marea cuando \(t=5\).

c) Escribe:

la amplitud de \(h\)
la ecuación del eje principal.

Las embarcaciones solo pueden entrar o salir cuando la marea es mayor que \(2.65\,\text{m}\). Por condiciones locales, la altura real puede variar \(\pm 0.10\,\text{m}\) respecto al valor del modelo.

Robin quiere salir a pescar lo antes posible tras las 12:00.

(d) Determina la hora más temprana a la que podría salir del puerto. Da la hora al minuto más cercano.

El viaje al punto de pesca dura 15 minutos y Robin regresará el mismo día, asegurando poder volver a entrar al puerto.

(e) Determina el tiempo máximo (en horas) que podría pasar en el punto de pesca y seguir seguro para reingresar al puerto a la vuelta.

Gráfico de la altura de la marea en función del tiempo.

(a) Un ciclo completo de marea dura 12 h (de la gráfica). En \(h(t)=-2.5\cos(bt^\circ)+4.5\) el periodo (en horas) es \(\dfrac{360^\circ}{b}=12\Rightarrow b=30\). b=30

(b) Sustituir \(t=5\) (en grados): \[h(5)=-2.5\cos(30\cdot 5)+4.5=-2.5\cos(150^\circ)+4.5=6.665…\] \(6.67\,\text{m}\)

(c) (i) Amplitud \(=2.5\). (ii) Eje principal: \(h=4.5\). \(2.5\,\text{m};\ h=4.5\)

(d) Para garantizar \(\text{marea real}\mathrel{\unicode{x003E}}2.65\), el modelo debe cumplir \(h\ge 2.55\) (restando el posible +0.10 m). Resolvemos \(-2.5\cos(30t)+4.5=2.55\) para \(t\mathrel{\unicode{x003E}}12\). Con GDC, la primera intersección tras \(t=12\) es \(t\approx 13.2913\). Hora: 13:17. 13:17

(e) Para estar seguro al volver, aun con \(-0.10\,\text{m}\), exigimos \(h\ge 2.75\). El último instante del día con \(h=2.75\) después de mediodía es \(t\approx 22.4809\). Ventana segura: de \(13.2913\) a \(22.4809\). Restamos los 30 minutos de viaje (ida y vuelta): \[22.4809-13.2913-0.5=8.6896\,\text{h}.\] \(8.69\,\text{h}\)

Pregunta 3

Gratis

La figura muestra la sección transversal de un puente y un río. Se añade un sistema de ejes con origen \(O\) donde el puente toca el agua en un lado (unidades en metros). Un investigador mide la profundidad cada \(1.9\,\text{m}\) desde \(O\). Datos:

Distancia horizontal desde O (m)	0	1.9	3.8	5.7	7.6
Profundidad vertical del agua (m)	0	1.68	2.81	2.32	0

(a) Usa la regla trapezoidal para aproximar el área de la sección del río bajo el puente.

La velocidad del agua es \(0.3\,\text{m s}^{-1}\).

(b) Halla el volumen de agua que pasa cada segundo.

Un barco viaja por el centro del río. Su sección y el nivel del agua: la parte superior es paralela al agua y tiene anchura \(5\,\text{m}\); la altura sobre el agua es \(2.35\,\text{m}\) y la parte más baja está \(1.6\,\text{m}\) bajo el agua.

(c) Halla la distancia vertical entre la parte más baja del barco y el fondo del río al pasar bajo el puente (por el centro).

El arco del puente se modela por \(y=-0.15x^2+1.14x+0.9\), \(0\le x\le 7.6\).

(d) Halla la altura máxima del arco sobre el agua.

(e) Determina si la parte superior del barco puede pasar bajo el puente.

Seccion transversal del puente y del rio.

Seccion transversal del barco bajo el puente.

(a) Paso \(h=1.9\). Regla trapezoidal con 5 puntos: \[A\approx \frac{h}{2}\Big(f_0+f_4+2(f_1+f_2+f_3)\Big)=\frac{1.9}{2}\big(0+0+2(1.68+2.81+2.32)\big)\approx 12.939.\] \(12.9\,\text{m}^2\ (3\text{ s.f.})\)

(b) \(Q=A\cdot v\approx 12.939\times 0.3=3.8817\). \(3.88\,\text{m}^3\,\text{s}^{-1}\)

(c) En el centro \(x=3.8\), la profundidad es \(2.81\,\text{m}\). Distancia al fondo desde la quilla: \(2.81-1.6=1.21\,\text{m}\). \(1.21\,\text{m}\)

(d) Vértice de la parábola: \(x_v=\tfrac{-b}{2a}=\tfrac{-1.14}{2(-0.15)}=3.8\). Altura máxima: \(y(3.8)=-0.15(3.8)^2+1.14(3.8)+0.9\approx 3.066\,\text{m}\). \(3.07\,\text{m}\)

(e) El barco tiene altura \(2.35\,\text{m}\) sobre el agua y anchura \(5\,\text{m}\). Como va por el centro, sus bordes están a \(x=3.8\pm 2.5\Rightarrow x=1.3,\ 6.3\). Altura del puente en esos puntos: \(y(1.3)=y(6.3)\approx 2.1285\,\text{m}\). Dado que \(2.1285\mathrel{\unicode{x003C}}2.35\), no hay holgura suficiente. No puede pasar

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 4

Gratis

Las rutas de ferry entre cinco puertos A–E se representan con un grafo \(G\). La matriz de adyacencia \(M\) es:

	A	B	C	D	E
A	0	1	0	0	1
B	1	0	1	0	1
C	0	1	0	0	0
D	0	0	0	0	1
E	0	1	0	1	0

(a) Indica qué ruta directa solo puede recorrerse en un sentido.

b) Hallando una matriz apropiada:

muestra que no es posible llegar a todos los puertos desde cualquier otro en exactamente tres viajes
indica si es posible llegar a todos los puertos desde cualquier otro en tres viajes o menos, y justifica.

En verano se publica una tabla de costes mínimos (en EUR) entre pares de puertos:

Puerto	A	B	C	D	E
A	0	3	7	8	5
B	3	0	4	9	6
C	7	4	0	a	10
D	8	9	a	0	3
E	5	6	10	3	0

(c) Dado que no hay ruta directa entre D y C (en ningún sentido), muestra que \(a=13\,\text{EUR}\), considerando todas las rutas posibles pertinentes.

(d) Empezando en A, usa el algoritmo del vecino más cercano para obtener una cota superior del coste de visitar todos los puertos y volver al origen.

(e) Eliminando el vértice A, usa el algoritmo del vértice eliminado para hallar una cota inferior del coste de visitar todos los puertos.

(a) La matriz no es simétrica en (A,E): \(M_{AE}=1\) pero \(M_{EA}=0\). Ruta unidireccional: A → E.

(b) (i) Calculamos \(M^3\) con GDC. Hay entradas cero, por ejemplo en alguna posición, lo que prueba que desde ciertos puertos no se llega a otros en exactamente 3 viajes. No es posible en exactamente 3.

(ii) Verificamos \(M+M^2+M^3\): no hay ceros, por lo que desde cualquier puerto se alcanzan todos los demás en \(\le 3\) viajes. Sí, en 3 o menos.

(c) Rutas mínimas C→D de longitud 2: C→B→D: \(4+9=13\); C→E→D: \(10+3=13\); C→A→D: \(7+8=15\). También C→B→E→D: \(4+6+3=13\). Por tanto, \(a=13\,\text{EUR}\).

(d) Vecino más cercano desde A: A→B (3) →C (4) →E (10) →D (3) →A (8). Coste total: \(3+4+10+3+8=28\). \(Cota superior = 28\,\text{EUR}\).

(e) Eliminar A. Árbol generador mínimo en \{B,C,D,E\}: aristas D–E (3), B–C (4), B–E (6) ⇒ coste \(3+4+6=13\). Reconectar A con sus dos aristas más baratas: A–B (3) y A–E (5) ⇒ suma \(+8\). \(Cota inferior = 21\,\text{EUR}\).

Pregunta 5

Gratis

La posición de una partícula \(P_1\), \(t\) segundos después de salir del punto \(A\), viene dada (en metros) por el vector:

\[\mathbf{r}_1(t)=\langle 2-4t,\ 1+4t,\ 7t\rangle,\quad t\ge 0.\]

(a) Escribe las coordenadas de \(A\).

Cinco segundos después de salir de \(A\), \(P_1\) está en \(B\).

b) Halla

\(\overrightarrow{AB}\)
\(|\overrightarrow{AB}|\).

Una segunda partícula \(P_2\) sale de \(A\) al mismo tiempo que \(P_1\). \(P_2\) se mueve en la dirección del vector \(\langle -1,2,0\rangle\) y pasa por un punto \(C\).

La partícula \(P_2\) tiene rapidez \(12\,\text{m s}^{-1}\).

(d) Halla la distancia entre \(P_1\) y \(P_2\) cuando \(t=5\).

(a) \(A=\mathbf{r}_1(0)=\langle 2,1,0\rangle\). (2,1,0)

(b) En \(t=5\): \(\mathbf{r}_1(5)=\langle 2-20,\ 1+20,\ 35\rangle=\langle -18,21,35\rangle\). (i) \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{r}_1(5)-\mathbf{r}_1(0)=\langle -20,20,35\rangle\). (ii) \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-20)^2+20^2+35^2}=\sqrt{2025}=45\,\text{m}\). \(|\overrightarrow{AB}|=45\,\text{m}\)

(c) Direcciones: \(\mathbf{u}=\langle -4,4,7\rangle\) para \(P_1\); \(\mathbf{v}=\langle -1,2,0\rangle\) para \(P_2\). Producto escalar: \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-4)(-1)+4\cdot 2+7\cdot 0=12\). Normas: \(|\mathbf{u}|=\sqrt{16+16+49}=9\), \(|\mathbf{v}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\). Entonces \[\cos \angle C\hat{A}B=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}=\frac{12}{9\sqrt{5}}\Rightarrow \angle C\hat{A}B\approx 53.4^\circ.\] \(53.4^\circ\)

(d) En \(t=5\), \(|\overrightarrow{AB}|=45\,\text{m}\). \(P_2\) ha recorrido \(s=vt=12\times 5=60\,\text{m}\) en dirección \(\mathbf{v}\). Por la regla del coseno con ángulo del apartado (c): \[d^2=45^2+60^2-2\cdot 45\cdot 60\cos(53.3957^\circ)\Rightarrow d\approx 49.04\,\text{m}.\] \(49.0\,\text{m}\)

Pregunta 6

Gratis

Daphne dirige una cafetería y evalúa contratar más personal. El número de clientes \(C\) en la fila cuando llega un nuevo cliente tiene distribución:

Número en fila c	0	1	2	3	\(\ge 4\)
\(P(C=c)\)	0.21	0.34	0.28	0.17	0

Halla la probabilidad de que haya al menos dos clientes en la fila al llegar uno nuevo.
Halla \(E(C)\).

El tiempo en segundos \(T\) para atender a un cliente: \(T\sim\mathcal{N}(115,\,28^2)\). Se estima el tiempo medio de espera como \(E(C)\times E(T)\).

(b) Calcula \(E(C)\times E(T)\).

Daphne contratará si la probabilidad de que un cliente tarde más de 3 minutos en ser atendido es mayor que 0.4.

(d) Halla la probabilidad de tardar más de 3 minutos en total para atender a dos clientes seleccionados al azar (tiempos independientes).

Daphne asume que cuando llega un nuevo cliente, la persona al frente acaba de llegar al mostrador, y que la probabilidad de tardar más de 3 minutos en atender a tres clientes es 1.

e) Usando estas asunciones y la tabla de \(C\):

halla la probabilidad de que un cliente recién llegado espere más de 3 minutos
indica si contratará más personal.

(a) (i) \(P(C\ge 2)=0.28+0.17=\) 0.45. (ii) \(E(C)=\sum c\,P(C=c)=0\cdot 0.21+1\cdot 0.34+2\cdot 0.28+3\cdot 0.17=1.41\). 1.41

(b) \(E(T)=115\). Entonces \(E(C)E(T)=1.41\times 115=162.15\,\text{s}\approx\) \(162\,\text{s}\) (2 min 42 s).

(c) \(Z=\dfrac{180-115}{28}=2.3214\Rightarrow P(T\mathrel{\unicode{x003E}}180)=1-\Phi(2.3214)\approx\) 0.0101.

(d) Suma de normales independientes: \(T_2=T_1+T_2\sim\mathcal{N}(230,\,2\cdot 28^2)\). Entonces \(P(T_2\mathrel{\unicode{x003E}}180)=1-\Phi\Big(\dfrac{180-230}{28\sqrt{2}}\Big)\approx\) 0.897.

(e) (i) Por casos en \(C\): si \(C=0\), espera 0; si \(C=1\), prob. \(=P(T\mathrel{\unicode{x003E}}180)=0.0101318…\); si \(C=2\), prob. \(=P(T_2\mathrel{\unicode{x003E}}180)=0.896649…\); si \(C=3\), prob. \(=1\). Por tanto: \[0.21\cdot 0+0.34\cdot 0.0101318+0.28\cdot 0.896649+0.17\cdot 1\approx 0.4245.\] 0.425

(ii) Como \(0.425\mathrel{\unicode{x003E}}0.4\), sí, contratará.

Pregunta 7

Gratis

En el plano de Argand se construye un árbol fractal. El segmento de 0 a \(5i\) se rota en sentido horario un ángulo de \(\tfrac{\pi}{12}\) para formar la primera rama y en sentido antihorario el mismo ángulo para la segunda. El extremo de una de estas ramas se muestra como \(A\). En etapas sucesivas, desde cada extremo se añaden dos ramas nuevas, cada una con el 70% de la longitud de la anterior, una rotada \(\tfrac{\pi}{12}\) en sentido horario y la otra en antihorario.

(a) Halla el número complejo del punto \(A\) en forma exponencial.

Muestra que la longitud total de todas las ramas tras la segunda etapa es 24.
Halla la longitud total tras 10 etapas.
Si el proceso continúa indefinidamente, indica si existe límite para la longitud total y justifica.

Tras la 3.ª etapa, el punto \(B\) es un extremo como se muestra.

Escribe \(b\) como suma de tres complejos en forma exponencial.
Da \(b\) en la forma \(a+bi\), con \(a,b\in\mathbb{R}\).

Primera etapa del arbol fractal en el plano de Argand.

Construccion del arbol fractal con ramas sucesivas.

Punto B tras la tercera etapa del arbol fractal.

(a) Partimos del vector \(5i\), de argumento \(\tfrac{\pi}{2}\). Rotar en sentido horario \(\tfrac{\pi}{12}\) resta ángulo: \(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{12}\). Módulo \(=5\). \(5e^{i\,5\pi/12}\)

(b) (i) Tras la 1.ª etapa hay 2 ramas de longitud 5. En la 2.ª etapa se añaden 4 ramas de longitud \(0.7\cdot 5\). Total: \(2\cdot 5+4\cdot (0.7\cdot 5)=10+14=\) 24.

(ii) En la etapa \(k\) (contando desde 1) hay \(2^k\) ramas, de longitud \(5\cdot 0.7^{k-1}\). La suma total tras 10 etapas es: \[\sum_{k=1}^{10}2^k\cdot 5\cdot 0.7^{k-1}=10\sum_{k=1}^{10}(1.4)^{k-1}=10\cdot \frac{1.4^{10}-1}{1.4-1}\approx 698.136.\] \(698\,\text{(unid. de longitud)}\)

(iii) Es una serie geométrica con razón \(r=1.4\mathrel{\unicode{x003E}}1\); los términos crecen y la suma parcial no converge. No hay límite.

(c) (i) Moduli de las tres contribuciones: \(5\), \(5\cdot 0.7=3.5\), \(5\cdot 0.7^2=2.45\). Argumentos (sumando/restando \(\tfrac{\pi}{12}\)): \(\tfrac{5\pi}{12},\ \tfrac{4\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12}\). Así, \[b=5e^{i\,5\pi/12}+3.5e^{i\,4\pi/12}+2.45e^{i\,5\pi/12}.\]

(ii) Sumando en forma rectangular (GDC): \(b\approx 3.67820+10.2272i\). 3.68+10.2i

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.