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Matemáticas AI NM

Prueba 2 Noviembre 2024

Práctica de Prueba 2 con calculadora, contexto aplicado y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 hora 30 minutos

5preguntas

Estudio de caso

Instrucciones (resumen):

Use calculadora de pantalla gráfica.
Muestre el procedimiento usado, incluso cuando utilice la calculadora/gráficos.
Respuestas numéricas exactas o con tres cifras significativas, salvo indicación en contra.
Duración: 1 h 30 min. Puntuación máxima: 80 puntos.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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La cuadrícula muestra el plano de un restaurante con cuatro estaciones de comida en A, B, C y D. Se da el diagrama de Voronoi correspondiente (A no aparece). Una unidad representa 1 m. Se sabe que B está en (2, 6) y que la mediatriz de [AB] es y = 4.

(a) Escriba las coordenadas de A.

Se sabe que C = (9, 0) y D = (10, 6).

(b) Halle:

(i) Las coordenadas del punto medio de [CD].

(ii) La ecuación de la mediatriz de [CD] en la forma y = mx + c.

Los clientes acuden a la estación más próxima. La tabla muestra el tiempo de espera promedio (min) en cada estación.

Estación	A	B	C	D
Tiempo de espera (min)	9	5	10	7

Para comparar gasto entre días laborables y fines de semana, la propietaria plantea una prueba t de Student para muestras apareadas al 5% con H₀: µ₁ = µ₂, donde µ₁ es la media del gasto en laborables y µ₂ la de fines de semana.

(d) Indique la hipótesis alternativa.

Planea recoger datos en 2 días laborables y 1 fin de semana, anotando las 12 primeras órdenes de cada día.

(e) (i) Indique qué tipo de muestreo describe mejor lo previsto: por conveniencia, sistemático o estratificado.

(ii) Indique una desventaja de esta técnica.

Finalmente, usa muestreo aleatorio simple. El valor p obtenido es 0,0897.

(f) Indique la conclusión de la prueba. Justifique.

Diagrama de Voronoi del restaurante con estaciones de comida.

(a) La mediatriz de [AB] es y = 4 (horizontal), por lo que [AB] es vertical y A y B comparten la misma x. Con B = (2, 6), el punto medio tiene y = 4, así: (6 + y_A)/2 = 4 × × ó y_A = 2. Por tanto, A = (2, 2). Respuesta: (2, 2).

(b)(i) Punto medio de [CD]: \(\left(\tfrac{9+10}{2},\,\tfrac{0+6}{2}\right)=(9{,}5,\,3)\). Respuesta: (9,5, 3).

(b)(ii) Pendiente de CD: \(m_{CD}=\tfrac{6-0}{10-9}=6\). La mediatriz es perpendicular, así que \(m= -\tfrac{1}{6}\). Pasa por el punto medio \((9{,}5,3)\):

\[y – 3 = -\tfrac{1}{6}(x – 9{,}5)\;\Rightarrow\; y = -\tfrac{1}{6}x + \tfrac{55}{12} \approx -0{,}1667x + 4{,}583.\]

Respuesta: \(y = -\tfrac{1}{6}x + \tfrac{55}{12}\).

(c) Distancias desde (4, 6): a B: 2 m; a A: \(\sqrt{(4-2)^2+(6-2)^2}=\sqrt{20}>2\); a C y D, mayores. El vecino más próximo es B; tiempo 5 min. Respuesta: 5 min.

(d) Se contrasta si el gasto de fin de semana es mayor: \(H_1: \mu_1 < \mu_2\). Respuesta: \(\mu_1 < \mu_2\).

(e)(i) Se toman las primeras 12 órdenes de días concretos: muestreo por conveniencia. Respuesta: Por conveniencia.

(e)(ii) Desventaja: puede no ser representativo de todos los clientes (sesgo temporal/horario). Respuesta: Poca representatividad.

(f) \(p=0{,}0897 > 0{,}05\). No se rechaza \(H_0\). No hay evidencias suficientes para concluir que el gasto de fin de semana sea distinto (ni mayor). Respuesta: No se rechaza H₀.

Pregunta 2

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La rueda de Scheveningen tiene su punto más bajo a 8 m sobre el nivel del mar y el más alto a 45 m. Hay cabinas equiespaciadas.

(a) (i) Muestre que el radio es 18,5 m.

(ii) Calcule la circunferencia.

(b) Halle la distancia recorrida por una cabina a lo largo de la circunferencia cuando la rueda rota 10°.

La altura de una cabina (m) se modeliza por \(h(t)=a\,\sen(bt)+d\), con \(a,b>0\), donde t son minutos. La rueda tarda 15 min por vuelta.

(ii) Halle d.

(iii) Escriba la ecuación del modelo sinusoidal.

(d) Use el modelo para hallar los valores de t cuando \(h=33\) m, para \(0\le t\le 15\).

(e) Desde su inauguración, ha funcionado 3000 días, 8 horas cada día. Calcule el número total de vueltas completas. Exprese como \(a\times 10^k\), \(1\le a<10\).

(a)(i) Diámetro = 45 – 8 = 37 m. Radio = 37/2 = 18,5 m.

(a)(ii) Circunferencia: \(C = 2\pi r = 2\pi\times 18{,}5 = 37\pi\approx\) 116 m.

(b) Longitud de arco con 10°: \(s = \tfrac{10}{360}\,C = \tfrac{10}{360}\,\cdot 37\pi = \tfrac{37\pi}{36} \approx\) 3,23 m.

(i) Usando grados en el seno, \(b = \tfrac{360}{15} =\) 24 (grados/min).

(ii) Recta media: \(d = \tfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2} = \tfrac{45 + 8}{2} =\) 26,5 (m).

(iii) Amplitud \(a = \tfrac{45 – 8}{2} = 18{,}5\). Modelo: \(h(t)=18,5\,\sen(24t)+26,5\) (con t en min y seno en grados).

(d) Igualamos a 33: \(33 = 18{,}5\,\sen(24t) + 26{,}5\Rightarrow \sen(24t)=\tfrac{6{,}5}{18{,}5}\approx 0{,}35135\).

En \([0,15]\) min (esto es, 24t en \([0,360]\) grados):

Soluciones: \(24t = \arcsen(0{,}35135)\approx 20{,}60\) y \(24t = 180-20{,}60=159{,}40\).

\(t_1\approx 20{,}60/24=\) 0,857 min, \(t_2\approx 159{,}40/24=\) 6,64 min.

(e) Vueltas por hora = \(\tfrac{60}{15}=4\). En 3000 días a 8 h/día: \(4\times 8\times 3000 = 96\,000 =\) \(9,6\times 10^4\) vueltas.

Pregunta 3

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Encuesta a 20 000 expatriados y comparación con puntuaciones de felicidad (World Happiness Report 2022) para los 10 países mejor valorados por expatriados.

País	Suiza	Zelanda Nueva	España	Australia	Chipre	Portugal	Irlanda	Emiratos Árabes Unidos	Francia	Países Bajos
Puntuación de felicidad	7,5	7,2	6,5	7,2	6,2	6,0	7,0	6,6	6,7	7,4

(a) Para la puntuación de felicidad, halle: (i) el tercer cuartil; (ii) el rango intercuartílico.

(b) Muestre que la puntuación de Suiza no es un valor atípico.

Se elaboró un ranking de las puntuaciones de felicidad para calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman (r_s). Parte de los rangos es:

Rango de felicidad (en el mismo orden de la tabla): 1, a, b, c, 9, 10, 5, 7, 6, 2.

(d) (i) Halle r_s.

(ii) Si la puntuación de felicidad de Francia aumenta a 6,9, explique por qué no cambia r_s.

(e) José concluye que los países con mayor felicidad probablemente son los preferidos por expatriados. Indique si es apropiado, con razón.

Ordenamos las diez puntuaciones de felicidad (ascendente): 6,0; 6,2; 6,5; 6,6; 6,7; 7,0; 7,2; 7,2; 7,4; 7,5.

(a)(i) Con n = 10, Q₃ es la mediana del grupo superior (posiciones 6 a 10): 7,0; 7,2; 7,2; 7,4; 7,5. La mediana es 7,2.

(a)(ii) Q₁ es la mediana del grupo inferior (posiciones 1 a 5): 6,0; 6,2; 6,5; 6,6; 6,7 × × \(Q_1=6{,}5\). Así, RIC = Q₃ − Q₁ = 7,2 − 6,5 = 0,7.

(b) Cota superior de atípicos: \(Q_3 + 1{,}5\,\text{RIC} = 7{,}2 + 1{,}5\times 0{,}7 = 8{,}25\). Suiza tiene 7,5 < 8,25, así que no es valor atípico.

(c) Asignamos rangos (con medias en empates): 7,5 ° 1; 7,4 ° 2; 7,2 y 7,2 ° 3,5 y 3,5; 7,0 ° 5; 6,7 ° 6; 6,6 ° 7; 6,5 ° 8; 6,2 ° 9; 6,0 ° 10. Por tanto, a = 3,5, b = 8, c = 3,5.

(d)(i) Con los dos rankings (preferencia de expatriados vs. felicidad), el coeficiente de Spearman calculado con la calculadora da r_s ¿ 0,164 (aprox.).

(d)(ii) Francia pasa de 6,7 a 6,9, pero su posición por felicidad sigue entre 7,0 y 6,7, es decir, mantiene el mismo rango. Como los rangos no cambian, r_s no cambia.

(e) No es apropiado: r_s es cercano a 0, indicando asociación por rangos muy débil; no se puede concluir que más felicidad implique ser más preferido por expatriados.

Pregunta 4

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Se diseña una nueva etiqueta rectangular de 5 cm por 9 cm para un envase cilíndrico de dulces. El diseño incluye una curva con los siguientes puntos (aprox., 0 ± 5):

x (cm)	0	1	2	3	4	5
y (cm)	4,0	7,3	6,7	4,0	1,3	0,7

(a) Use la regla del trapecio con cinco intervalos para estimar el área bajo la curva.

La curva se modeliza por \(y = \tfrac{x^3}{3} – 3x^2 + 6x + 4\), \(0\le x\le 5\).

(b) (i) Escriba la integral que representa el área sombreada.

(ii) Halle ese área.

Los envases son cilindros cerrados de radio r y altura h, de material de espesor despreciable, con volumen 600 cm³.

El área de superficie externa es \(A=2\pi r^2 + 2\pi r h\). Puede escribirse como \(A = 2\pi r^2 + \tfrac{k}{r}\), con r > 0.

(d) Halle k.

(e) (i) Calcule \(\dfrac{dA}{dr}\).

(ii) Sabiendo que A tiene un mínimo, halle el r que minimiza el material usado.

Se fabrica minimizando A. La etiqueta 5×9 cm debe pegarse sobre la superficie curva.

(f) Muestre que la etiqueta encajará en el envase.

Grafica de la curva del diseno de la etiqueta rectangular.

(a) Regla del trapecio con h = 1 cm y y₀=4, y₁=7,3, y₂=6,7, y₃=4,0, y₄=1,3, y₅=0,7:

\[A \approx \tfrac{1}{2}\Big(y_0 + y_5 + 2(y_1+y_2+y_3+y_4)\Big) = \tfrac{1}{2}\Big(4{,}0+0{,}7 + 2(7{,}3+6{,}7+4{,}0+1{,}3)\Big)\\= \tfrac{1}{2}(4{,}7 + 38{,}6)=21{,}65\;\text{cm}^2.\]

Estimación: 21,7 cm² (3 c.s.).

(b)(i) \(\displaystyle A = \int_{0}^{5}\left(\tfrac{x^3}{3} – 3x^2 + 6x + 4\right)\,dx\).

(b)(ii) Una primitiva es \(F(x)=\tfrac{x^4}{12} – x^3 + 3x^2 + 4x\). Entonces:

\[A = F(5)-F(0) = \tfrac{625}{12} – 125 + 75 + 20 = \tfrac{625}{12} – 30 = \tfrac{265}{12} \approx 22{,}083.\]

Respuesta: \(\tfrac{265}{12}\;\text{cm}^2 \approx 22{,}1\;\text{cm}^2\).

(d) De (c), \(h=\tfrac{600}{\pi r^2}\). En \(A=2\pi r^2 + 2\pi r h\):

\[A = 2\pi r^2 + 2\pi r\Big(\tfrac{600}{\pi r^2}\Big) = 2\pi r^2 + \tfrac{1200}{r}.\]

Así, k = 1200.

(e)(i) \(\displaystyle \frac{dA}{dr} = 4\pi r – 1200\,r^{-2}\).

Respuesta: \(4\pi r – \dfrac{1200}{r^2}\).

(e)(ii) En el mínimo, \(\dfrac{dA}{dr}=0\): \(4\pi r – \dfrac{1200}{r^2}=0 \Rightarrow 4\pi r^3 = 1200 \Rightarrow r^3 = \dfrac{300}{\pi}\).

\(r = \big(\tfrac{300}{\pi}\big)^{1/3} \approx\) 4,57 cm.

(f) Con \(r\approx 4{,}5708\) cm, \(h=\tfrac{600}{\pi r^2}\approx 9{,}1416\) cm y circunferencia \(C=2\pi r\approx 28{,}72\) cm.

La etiqueta 9 cm (alto) por 5 cm (ancho) encaja porque 9 < 9,14 cm y 5 < 28,7 cm.

Pregunta 5

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Tienda de campaña con forma de pirámide recta de base hexagonal regular (lado 2 m) y centro en M. Cada arista inclinada (vértice superior T a cada vértice de la base) mide 3,4 m, y la distancia de cada vértice de la base a M es 2 m.

(a) Halle la longitud del mástil vertical en M hasta T (MT).

La base hexagonal se divide en seis triángulos equiláteros (lado 2 m).

(b) Halle: (i) el área de la base; (ii) el volumen de la tienda.

Se ata una cuerda de 2,6 m desde un punto X de la arista AT hasta el suelo en Y, con Y, A, B alineados y \(\widehat{A\!Y\!X}=35^\circ\). (XY recta.)

(d) Halle AY.

Se fija una tira de luces desde A hasta Z a lo largo de la cuerda XY, con AZ recta y de 0,9 m.

(e) Halle los dos valores posibles de YZ.

(a) En el triángulo rectángulo A-M-T (recto en M), \(AT=3{,}4\) m y \(AM=2\) m. Por Pitágoras:

\[MT = \sqrt{AT^2 – AM^2} = \sqrt{3{,}4^2 – 2^2} = \sqrt{11{,}56 – 4} = \sqrt{7{,}56} \approx \text{\,}2,75\,\text{m}.\]\(2,75\,\text{m}\)

(b)(i) Un triángulo equilátero de lado 2 tiene altura \(\sqrt{3}\) y área \(\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}\). La base (6 triángulos) tiene área \(6\sqrt{3}\;\text{m}^2 \approx 10{,}39\;\text{m}^2\).

(b)(ii) Volumen de pirámide: \(V = \tfrac{1}{3} A_{base}\cdot MT = \tfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 2{,}7495\approx \) 9,52 m³.

(c) En el triángulo recto A-M-T, para el ángulo en A: \(\cos(\widehat{M\!A\!T})=\tfrac{AM}{AT}=\tfrac{2}{3{,}4}\). Por tanto, \(\widehat{M\!A\!T}\approx\) \(54,0^\circ\).

(d) En el plano que contiene A, X, Y, el ángulo entre AX y la horizontal por A es suplementario de \(\widehat{M\!A\!T}\): \(\widehat{Y\!A\!X}=180^\circ-54{,}0^\circ\approx 126{,}0^\circ\). Luego \(\widehat{Y\!X\!A}=180^\circ-35^\circ-126{,}0^\circ\approx 19{,}0^\circ\).

Por seno en \(\triangle AXY\): \(\dfrac{AY}{\sin(\widehat{Y\!X\!A})} = \dfrac{XY}{\sin(\widehat{Y\!A\!X})}\). Así,

\[AY = 2{,}6\,\dfrac{\sin(19{,}0^\circ)}{\sin(126{,}0^\circ)} \approx \text{\,}1,05\,\text{m}.\]\(1,05\,\text{m}\)

(e) En \(\triangle AYZ\), el ángulo en Y vale 35° (Z está sobre YX). Por coseno con lado opuesto \(AZ=0{,}9\):

\[0{,}9^2 = AY^2 + YZ^2 – 2\,AY\,YZ\cos 35^\circ.\]

Con \(AY\approx 1{,}045\), resolvemos la cuadrática en \(YZ\) y obtenemos:

\(YZ \approx 0,185\,\text{m}\) o \(YZ \approx 1,53\,\text{m}\).