En una ciudad hay tres tiendas: Aroma (A), Bodega (B) y Clover (C). Los datos anuales observados son:
- De los clientes de Aroma: 91 % permanecen en Aroma, 5 % pasan a Bodega y 4 % a Clover.
- De los clientes de Bodega: 95 % permanecen en Bodega, 4 % pasan a Aroma y 1 % a Clover.
- De los clientes de Clover: 92 % permanecen en Clover, 6 % pasan a Aroma y 2 % a Bodega.
Sea T la matriz de transición anual (constante en el tiempo), donde las columnas representan el estado actual y las filas el estado al año siguiente, en el orden (A, B, C).
- Escribe la matriz de transición T. [3]
- Determina el porcentaje de clientes de Clover que se espera que estén en Aroma tras 5 años. [4]
- Halla el vector de estado estacionario de T. [2]
- En consecuencia, indica el porcentaje de clientes de Clover que se espera que estén en Aroma a largo plazo. [1]
- Se quiere aumentar el porcentaje anual C → A (de Clover a Aroma) para que, a largo plazo, al menos el 40 % de los clientes estén en Aroma. Se mantienen iguales los demás porcentajes anuales y se ajusta C → C en consecuencia. Determina el mínimo porcentaje entero al que hay que elevar C → A para lograrlo, justificando tu respuesta. [3]
- ¿Se beneficiaría la gerente de Bodega si Aroma atrae más clientes de Clover (según tu elección del apartado anterior)? Explica. [2]
- Da una razón contextual por la que estos porcentajes anuales probablemente no sean constantes de un año a otro. [1]
- Ashley se muda a una nueva tienda, Dusk. La 1.ª semana tiene 600 clientes y cada semana aumentan en 30. Modeliza el número de clientes con una sucesión aritmética (Modelo 1). Calcula los clientes esperados en la 10.ª semana. [2]
- Tras la 5.ª semana, Ashley lanza un programa de fidelización y anticipa que los nuevos clientes semanales crecerán un 12 % sobre los nuevos de la semana anterior (Modelo 2). Muestra que los clientes de la 6.ª semana, según el Modelo 2, son 753.6. [2]
- Usa el Modelo 2 para hallar los clientes esperados en la 10.ª semana. [3]
- Comparando los dos modelos, determina la primera semana en la que la diferencia esperada sea de al menos 500 clientes. [6]
(a) Con el orden (A, B, C) por columnas (estado actual) y filas (siguiente año):
De A: A 0.91, B 0.05, C 0.04; de B: A 0.04, B 0.95, C 0.01; de C: A 0.06, B 0.02, C 0.92.
Así,
\[ T = \begin{pmatrix} 0.91 & 0.04 & 0.06 \\ 0.05 & 0.95 & 0.02 \\ 0.04 & 0.01 & 0.92 \end{pmatrix}. \]
(b) Con calculadora, eleva la matriz: \(T^5\). El porcentaje buscado es la entrada fila A, columna C de \(T^5\).
\[ T^5 \approx \begin{pmatrix} 0.659 & 0.156 & 0.219 \\ 0.196 & 0.792 & 0.101 \\ 0.146 & 0.051 & 0.680 \end{pmatrix}. \]
Luego, desde C a A tras 5 años: \(0.219\Rightarrow\) \(21.9 \%\).
(c) El estado estacionario \(\boldsymbol{\pi}\) satisface \(T\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}\) y \(\pi_A+\pi_B+\pi_C=1\). Con calculadora:
\[ \boldsymbol{\pi} \approx (0.342,\; 0.432,\; 0.225). \]
Respuesta: \((0.342,\;0.432,\;0.225)\).
(d) A largo plazo, cualquier cliente (incluido uno que hoy está en C) estará en A con probabilidad \(\pi_A\). Por tanto: \(34.2 \%\).
(e) Sea \(x\) el nuevo porcentaje anual de \(C\to A\) (en forma decimal). Se mantiene \(C\to B=0.02\) y se ajusta \(C\to C=0.98-x\) para que la columna de C sume 1. El nuevo \(T(x)\) tiene la única diferencia en la 3.ª columna: \((x,\;0.02,\;0.98-x)^\top\).
Calcula \(\boldsymbol{\pi}(x)\) y exige \(\pi_A(x)\ge 0.40\). Probando enteros cercanos con calculadora:
- Para \(x=0.12\) (12 %), \(\pi_A\approx 0.394\) (no alcanza).
- Para \(x=0.13\) (13 %), \(\pi_A\approx 0.401\) (alcanza).
Por tanto, el mínimo porcentaje entero requerido es \(13 \%\).
(f) Con \(x=13\%\), el estado estacionario cambia y Bodega pasa de \(\pi_B\approx 0.432\) a \(\pi_B\approx 0.459\). Como 0.459 > 0.432, Bodega sí se beneficia.
(g) Razón contextual: pueden abrir nuevas tiendas o cambiar la publicidad/promociones de alguna, alterando los flujos de clientes entre años.
(h) Sucesión aritmética: \(u_n=600+(n-1)\cdot 30\). Para \(n=10\): \(u_{10}=600+9\cdot 30=870\). 870.
(i) Hasta la 5.ª semana: \(u_5=600+4\cdot 30=720\). Desde la 6.ª, los nuevos crecen geométricamente con razón \(1.12\). En la 6.ª, nuevos = \(30\cdot 1.12=33.6\). Total: \(720+33.6=\) 753.6.
(j) De la 6.ª a la 10.ª hay 5 términos geométricos: \(30(1.12+1.12^2+\cdots+1.12^5)\). Luego
\[ N_{10}=720+30\,\frac{1.12(1-1.12^5)}{1-1.12}\approx 720+213.455=933.455\ldots \]
Clientes esperados (entero más cercano): 933.
(k) Modelo 1 (AS): \(A_n=600+30(n-1)\). Modelo 2 (GS, para \(n\ge 6\)): \(G_n=720+30\sum_{k=1}^{n-5}1.12^k=720+30\,\dfrac{1.12(1-1.12^{\,n-5})}{1-1.12}\).
Busca el primer \(n\) con \(G_n-A_n\ge 500\). Con calculadora, resolviendo la inecuación (o listando valores), se obtiene el primer \(n\) que cumple: 18.