Sea f(x)=mx+c, con x,m,c \(\in\mathbb{R}\). Para n \(\in\mathbb{N}^+\), define \(f^{n}\) como la composición n-veces de f consigo misma.
- \(f^{2}(x)=m^{2}x+c(1+m)\).
- \(f^{3}(x)=m^{3}x+c(1+m+m^{2})\).
b) (i) Escribe una expresión para \(f^{4}(x)\).
(ii) Sugiere una expresión similar para \(f^{n}(x)\), \(n\in\mathbb{N}^+\).
(iii) Usando tu expresión del apartado (b)(ii), u otro método, encuentra \(f^{n}(x)\) cuando \(m=1\).
c) Para \(m\neq 1\), usa inducción matemática para probar que
\[f^{n}(x)=m^{n}x+c\,\frac{1-m^{n}}{1-m},\quad n\in\mathbb{N}^+.\]
d) Supón ahora que \(-1\mathrel{\unicode{x003C}}m\mathrel{\unicode{x003C}}1\). Al tender \(n\to\infty\), la familia de rectas \(y=f^{n}(x)\) se aproxima a una recta fija L. Determina la ecuación de L en términos de c y m.
- Muestra que \(f^{n}(x)=-x+c\) cuando n es impar.
- Encuentra una expresión para \(f^{n}(x)\) cuando n es par.
Enunciado trabajado.
Sea f(x)=mx+c, con x,m,c \(\in\mathbb{R}\). Para n \(\in\mathbb{N}^+\), define \(f^{n}\) como la composición n-veces de f consigo misma.
- \(f^{2}(x)=m^{2}x+c(1+m)\).
- \(f^{3}(x)=m^{3}x+c(1+m+m^{2})\).
b) (i) Escribe una expresión para \(f^{4}(x)\).
(ii) Sugiere una expresión similar para \(f^{n}(x)\), \(n\in\mathbb{N}^+\).
(iii) Usando tu expresión del apartado (b)(ii), u otro método, encuentra \(f^{n}(x)\) cuando \(m=1\).
c) Para \(m\neq 1\), usa inducción matemática para probar que
\[f^{n}(x)=m^{n}x+c\,\frac{1-m^{n}}{1-m},\quad n\in\mathbb{N}^+.\]
d) Supón ahora que \(-1\mathrel{\unicode{x003C}}m\mathrel{\unicode{x003C}}1\). Al tender \(n\to\infty\), la familia de rectas \(y=f^{n}(x)\) se aproxima a una recta fija L. Determina la ecuación de L en términos de c y m.
- Muestra que \(f^{n}(x)=-x+c\) cuando n es impar.
- Encuentra una expresión para \(f^{n}(x)\) cuando n es par.
Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.
(a)(i) Compón f consigo misma:
\[f^{2}(x)=f(f(x))=f(mx+c)=m(mx+c)+c=m^{2}x+cm+c=m^{2}x+c(1+m).\]
(a)(ii) De forma análoga,
\[f^{3}(x)=f(f^{2}(x))=f\big(m^{2}x+c(1+m)\big)=m\big(m^{2}x+c(1+m)\big)+c=m^{3}x+c(1+m+m^{2}).\]
(b)(i) Siguiendo el patrón,
\[f^{4}(x)=m^{4}x+c(1+m+m^{2}+m^{3}).\]
(b)(ii) Por inducción informal sobre el patrón,
\[f^{n}(x)=m^{n}x+c\,(1+m+m^{2}+\cdots+m^{n-1})=m^{n}x+c\,\frac{1-m^{n}}{1-m}\quad (m\neq 1).\]
(b)(iii) Si \(m=1\), entonces \(f(x)=x+c\) y al componer n veces se suma c n veces:
\[f^{n}(x)=x+nc.\] \(x+nc\)
(c) Prueba por inducción de \(f^{n}(x)=m^{n}x+c\,\dfrac{1-m^{n}}{1-m}\) para \(m\neq 1\).
Base (n=1): \(f^{1}(x)=mx+c\) coincide con la fórmula: \(m^{1}x+c\frac{1-m}{1-m}=mx+c\).
Paso inductivo: Supón cierto para n=k: \(f^{k}(x)=m^{k}x+c\,\dfrac{1-m^{k}}{1-m}\). Entonces
\[\begin{aligned}f^{k+1}(x)&=f\big(f^{k}(x)\big)=m\Big(m^{k}x+c\,\frac{1-m^{k}}{1-m}\Big)+c\\&=m^{k+1}x+\frac{cm(1-m^{k})}{1-m}+c=m^{k+1}x+c\,\frac{m(1-m^{k})+(1-m)}{1-m}\\&=m^{k+1}x+c\,\frac{1-m^{k+1}}{1-m}.\end{aligned}\]
Queda probado por inducción para todo \(n\in\mathbb{N}^+\).
(d) Si \(-1\mathrel{\unicode{x003C}}m\mathrel{\unicode{x003C}}1\), entonces \(m^{n}\to 0\) cuando \(n\to\infty\). Usando (c):
\[f^{n}(x)=m^{n}x+c\,\frac{1-m^{n}}{1-m}\longrightarrow 0+c\,\frac{1-0}{1-m}=\frac{c}{1-m}.\]
Por tanto, las rectas \(y=f^{n}(x)\) se aproximan a la recta horizontal \(y=\dfrac{c}{1-m}\). \(y=\dfrac{c}{1-m}\)
(e)(i) Con \(m=-1\), de (c):
\[f^{n}(x)=(-1)^{n}x+c\,\frac{1-(-1)^{n}}{1-(-1)}.\]
Si n es impar, \((-1)^{n}=-1\) y \(1-(-1)^{n}=2\). Entonces \(f^{n}(x)=-x+c\). \(f^{n}(x)=-x+c\)
(e)(ii) Si n es par, \((-1)^{n}=1\) y \(1-(-1)^{n}=0\). Luego \(f^{n}(x)=x\). \(f^{n}(x)=x\)
