Practica ejercicios del tema 1.4 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.
Expande \((2+3x)^4\) en potencias ascendentes de \(x\) y simplifique la respuesta.
Aplicamos el teorema del binomio, usando los coeficientes \(1,4,6,4,1\) para una potencia cuarta.
\[(2+3x)^4=2^4+4(2^3)(3x)+6(2^2)(3x)^2+4(2)(3x)^3+(3x)^4\]
Ahora simplificamos cada término por separado.
\[2^4=16,\quad 4(2^3)(3x)=96x,\quad 6(2^2)(3x)^2=216x^2\]
\[4(2)(3x)^3=216x^3,\quad (3x)^4=81x^4\]
\(16+96x+216x^2+216x^3+81x^4\)
Expande \((1-3x)^4\) en potencias ascendentes de \(x\) y simplifique la respuesta.
Usamos el teorema del binomio. Como la potencia es 4, los coeficientes son \(1,4,6,4,1\).
\[(1-3x)^4=1^4+4(1)^3(-3x)+6(1)^2(-3x)^2+4(1)(-3x)^3+(-3x)^4\]
Ahora simplificamos cada término, teniendo cuidado con los signos. Las potencias pares de \(-3x\) son positivas y las impares son negativas.
\[1^4=1\]
\[4(1)^3(-3x)=-12x\]
\[6(1)^2(-3x)^2=6\cdot9x^2=54x^2\]
\[4(1)(-3x)^3=4(-27x^3)=-108x^3\]
\[(-3x)^4=81x^4\]
Finalmente escribimos la expansión en potencias ascendentes de \(x\).
\(1-12x+54x^2-108x^3+81x^4\)
Expande \((3x^2+y)^3\) en potencias descendentes de \(x\) y simplifique la respuesta.
Aplicamos el teorema del binomio a \((3x^2+y)^3\). Para una potencia tercera, los coeficientes son \(1,3,3,1\).
\[(3x^2+y)^3=(3x^2)^3+3(3x^2)^2(y)+3(3x^2)(y)^2+y^3\]
Simplificamos cada término por separado.
\[(3x^2)^3=27x^6\]
\[3(3x^2)^2y=3(9x^4)y=27x^4y\]
\[3(3x^2)y^2=9x^2y^2\]
\[y^3=y^3\]
La respuesta ya está en potencias descendentes de \(x\).
\(27x^6+27x^4y+9x^2y^2+y^3\)
Considere la expansión \((x-3)^8\).
a) En una expansión binomial de la forma \((a+b)^n\), el número de términos es \(n+1\).
\[n=8\]
\(9\text{ términos}\)
b) Para encontrar el coeficiente de \(x^6\), usamos el término general de \((x-3)^8\).
\[T_{r+1}=\binom{8}{r}x^{8-r}(-3)^r\]
Queremos el término que contiene \(x^6\), por tanto igualamos el exponente de \(x\).
\[8-r=6\]
\[r=2\]
Sustituimos \(r=2\) en el término general.
\[T_3=\binom{8}{2}x^6(-3)^2\]
\[T_3=28\cdot9x^6=252x^6\]
El coeficiente de \(x^6\) es \(252\).
Considere la expansión \((5x+2)^7\).
a) La potencia de la expansión es 7, así que el número de términos es \(7+1\).
\(8\text{ términos}\)
b) Usamos el término general para \((5x+2)^7\).
\[T_{r+1}=\binom{7}{r}(5x)^{7-r}(2)^r\]
Queremos el término que contiene \(x^4\). Como el exponente de \(x\) viene de \((5x)^{7-r}\), tenemos:
\[7-r=4\]
\[r=3\]
Sustituimos \(r=3\) en el término general.
\[T_4=\binom{7}{3}(5x)^4(2)^3\]
\[T_4=35\cdot625x^4\cdot8\]
\[T_4=175000x^4\]
El coeficiente de \(x^4\) es \(175000\).
Considere la expansión \((2x+3y)^9\).
a) En \((2x+3y)^9\), la potencia es 9, así que hay \(9+1\) términos.
\(10\text{ términos}\)
b) El octavo término corresponde a \(T_8\). Como el término general es \(T_{r+1}\), necesitamos \(r+1=8\).
\[r=7\]
Escribimos el término general de la expansión.
\[T_{r+1}=\binom{9}{r}(2x)^{9-r}(3y)^r\]
Sustituimos \(r=7\).
\[T_8=\binom{9}{7}(2x)^2(3y)^7\]
\[T_8=36\cdot4x^2\cdot2187y^7\]
\[T_8=314928x^2y^7\]
El octavo término es \(314928x^2y^7\).
El tercer término, en potencias descendentes de \(x\) en la expansión de \((x+k)^4\), es \(96x^2\). Encuentre los posibles valores de \(k\).
El tercer término de \((x+k)^4\) se obtiene usando el término general.
\[T_{r+1}=\binom{4}{r}x^{4-r}k^r\]
Como buscamos el tercer término, \(r+1=3\), por tanto \(r=2\).
\[T_3=\binom{4}{2}x^{4-2}k^2\]
\[T_3=6k^2x^2\]
El enunciado dice que este término es \(96x^2\). Igualamos los coeficientes de \(x^2\).
\[6k^2=96\]
\[k^2=16\]
\[k=\pm4\]
Los posibles valores son \(k=4\) y \(k=-4\).
El cuarto término, en potencias descendentes de \(y\) en la expansión de \((y+p)^5\), es \(160y^2\). Encuentre los posibles valores de \(p\).
El cuarto término de \((y+p)^5\), en potencias descendentes de \(y\), se obtiene con el término general.
\[T_{r+1}=\binom{5}{r}y^{5-r}p^r\]
Como se pide el cuarto término, tenemos \(r+1=4\).
\[r=3\]
Sustituimos \(r=3\) en el término general.
\[T_4=\binom{5}{3}y^{5-3}p^3\]
\[T_4=10p^3y^2\]
El enunciado dice que el cuarto término es \(160y^2\). Igualamos los coeficientes de \(y^2\).
\[10p^3=160\]
\[p^3=16\]
\[p=\sqrt[3]{16}\]
\(p=\sqrt[3]{16}\), equivalentemente \(p=2\sqrt[3]{2}\).
Considere la expansión \(\left(x^{3}+\frac{4}{x}\right)^{7}\).
a) En una expansión binomial de la forma \((a+b)^n\), el número de términos es \(n+1\). En este caso, \(n=7\).
\[7+1=8\]
\(8\ \text{términos}\)
b) Para encontrar el término en \(x^9\), usamos el término general de la expansión.
\[T_{r+1}=\binom{7}{r}(x^3)^{7-r}\left(\frac{4}{x}\right)^r\]
Simplificamos las potencias de \(x\).
\[(x^3)^{7-r}=x^{21-3r}\]
\[\left(\frac{4}{x}\right)^r=4^r x^{-r}\]
\[T_{r+1}=\binom{7}{r}4^r x^{21-4r}\]
Queremos que la potencia de \(x\) sea \(9\), por lo que igualamos el exponente a \(9\).
\[21-4r=9\]
\[12=4r\]
\[r=3\]
Sustituimos \(r=3\) en el término general.
\[T_4=\binom{7}{3}4^3x^9\]
\[=35\cdot64x^9\]
\[=2240x^9\]
\(2240x^9\)
Considere la expansión \(\left(3x+\frac{k}{x}\right)^{8}\), donde k > 0. El coeficiente del término x4 es igual al coeficiente de x6 encuentre el valor de k.
El término general de \(\left(3x+\frac{k}{x}\right)^8\) es:
\[T_{r+1}=\binom{8}{r}(3x)^{8-r}\left(\frac{k}{x}\right)^r\]
\[T_{r+1}=\binom{8}{r}3^{8-r}k^r x^{8-2r}\]
Para \(x^4\), \(8-2r=4\), así que \(r=2\). Para \(x^6\), \(r=1\).
\[\binom{8}{2}3^6k^2=\binom{8}{1}3^7k\]
\[20412k^2=17496k\]
Como \(k\mathrel{\unicode{x003E}}0\), dividimos por \(k\).
\(k=\frac{6}{7}\)
Considere la expansión \(\left(2x^{6}+\frac{x^{2}}{k}\right)^{10}\), donde k ≠ 0. El coeficiente del término x40 es 12 veces mayor que el al coeficiente de x36. Encuentre el valor de k.
El término general de \(\left(2x^6+\frac{x^2}{k}\right)^{10}\) es:
\[T_{r+1}=\binom{10}{r}(2x^6)^{10-r}\left(\frac{x^2}{k}\right)^r\]
\[T_{r+1}=\binom{10}{r}2^{10-r}k^{-r}x^{60-4r}\]
Para \(x^{40}\), \(60-4r=40\), así que \(r=5\). Para \(x^{36}\), \(r=6\).
\[\text{Coef. de }x^{40}=\binom{10}{5}2^5k^{-5}=\frac{8064}{k^5}\]
\[\text{Coef. de }x^{36}=\binom{10}{6}2^4k^{-6}=\frac{3360}{k^6}\]
El coeficiente de \(x^{40}\) es 12 veces el de \(x^{36}\).
\[\frac{8064}{k^5}=12\cdot\frac{3360}{k^6}\]
\[8064k=40320\]
\(k=5\)
