1.3 – Exponentes y logaritmos

a) Tenemos \(\log_{10}(1000)\). Para evaluarlo, escribimos \(1000\) como una potencia de \(10\).

\[1000=10^3\]

\[\log_{10}(1000)=\log_{10}(10^3)=3\]

b) Tenemos \(\log_{10}(25)+\log_{10}(4)\). Usamos la propiedad de los logaritmos \(\log(a)+\log(b)=\log(ab)\).

\[\log_{10}(25)+\log_{10}(4)=\log_{10}(25\cdot4)\]

\[=\log_{10}(100)\]

\[=\log_{10}(10^2)=2\]

c) Tenemos \(\log_{10}(5)-\log_{10}(50)\). Usamos la propiedad \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\).

\[\log_{10}(5)-\log_{10}(50)=\log_{10}\left(\frac{5}{50}\right)\]

\[=\log_{10}\left(\frac{1}{10}\right)\]

\[=\log_{10}(10^{-1})=-1\]

\(a)\ 3,\quad b)\ 2,\quad c)\ -1\)

a) Tenemos \(\ln(20)\). Como \(20=4\cdot5\), podemos usar \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).

\[\ln(20)=\ln(4\cdot5)\]

\[=\ln(4)+\ln(5)\]

\[=x+y\]

b) Tenemos \(\ln(0.8)\). Primero escribimos \(0.8=\frac{4}{5}\). Luego usamos \(\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\).

\[\ln(0.8)=\ln\left(\frac{4}{5}\right)\]

\[=\ln(4)-\ln(5)\]

\[=x-y\]

c) Tenemos \(\ln(2)\). Como \(2=\sqrt{4}=4^{1/2}\), usamos \(\ln(a^n)=n\ln(a)\).

\[\ln(2)=\ln(4^{1/2})\]

\[=\frac{1}{2}\ln(4)\]

\[=\frac{x}{2}\]

\(a)\ x+y,\quad b)\ x-y,\quad c)\ \frac{x}{2}\)

a) Tenemos \(\log_{10}(10000)\). Escribimos \(10000\) como potencia de \(10\).

\[10000=10^4\]

\[\log_{10}(10000)=\log_{10}(10^4)=4\]

b) Tenemos \(\log_{10}(20)+\log_{10}(50)\). Usamos \(\log(a)+\log(b)=\log(ab)\).

\[\log_{10}(20)+\log_{10}(50)=\log_{10}(20\cdot50)\]

\[=\log_{10}(1000)\]

\[=\log_{10}(10^3)=3\]

c) Tenemos \(\log_{10}(8)-\log_{10}(800)\). Usamos \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\).

\[\log_{10}(8)-\log_{10}(800)=\log_{10}\left(\frac{8}{800}\right)\]

\[=\log_{10}\left(\frac{1}{100}\right)\]

\[=\log_{10}(10^{-2})=-2\]

\(a)\ 4,\quad b)\ 3,\quad c)\ -2\)

a) Tenemos \(\ln(15)\). Como \(15=3\cdot5\), usamos la propiedad del producto.

\[\ln(15)=\ln(3\cdot5)\]

\[=\ln(3)+\ln(5)\]

\[=r+s\]

b) Tenemos \(\ln(9)\). Escribimos \(9=3^2\) y usamos \(\ln(a^n)=n\ln(a)\).

\[\ln(9)=\ln(3^2)\]

\[=2\ln(3)\]

\[=2r\]

c) Tenemos \(\ln(75)\). Descomponemos \(75\) usando los números que aparecen en \(r\) y \(s\).

\[\ln(75)=\ln(3\cdot25)\]

\[=\ln(3)+\ln(25)\]

\[=\ln(3)+\ln(5^2)\]

\[=r+2s\]

\(a)\ r+s,\quad b)\ 2r,\quad c)\ r+2s\)

Para resolver \(2^{1-x^2}=\frac{1}{8}\), primero escribimos ambos lados con la misma base. Sabemos que \(8=2^3\), por tanto \(\frac{1}{8}=2^{-3}\).

\[2^{1-x^2}=2^{-3}\]

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales.

\[1-x^2=-3\]

\[-x^2=-4\]

\[x^2=4\]

Tomamos las dos raíces porque \(x^2=4\) tiene una solución positiva y una negativa.

\[x=2\quad\text{o}\quad x=-2\]

\(x=\pm2\)

Empezamos con la ecuación \(\log_3(x+1)-\log_3(9)=1+\log_3(2)\). En el lado izquierdo usamos la propiedad del cociente.

\[\log_3(x+1)-\log_3(9)=\log_3\left(\frac{x+1}{9}\right)\]

En el lado derecho escribimos \(1\) como \(\log_3(3)\), ya que \(\log_3(3)=1\).

\[1+\log_3(2)=\log_3(3)+\log_3(2)\]

\[=\log_3(3\cdot2)=\log_3(6)\]

Ahora los dos lados son logaritmos con la misma base, así que igualamos los argumentos.

\[\frac{x+1}{9}=6\]

\[x+1=54\]

\[x=53\]

\(x=53\)

Para resolver \(5^{12-x}=\frac{1}{125}\), escribimos el lado derecho como potencia de \(5\).

\[125=5^3\]

\[\frac{1}{125}=5^{-3}\]

Entonces la ecuación queda con la misma base en ambos lados.

\[5^{12-x}=5^{-3}\]

Igualamos los exponentes.

\[12-x=-3\]

\[-x=-15\]

\[x=15\]

\(x=15\)

a) Para \(\log_4(64)\), escribimos \(64\) como potencia de \(4\).

\[64=4^3\]

\[\log_4(64)=3\]

b) Para \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)\), escribimos \(\frac{1}{25}\) como potencia de \(5\).

\[\frac{1}{25}=5^{-2}\]

\[\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\]

c) Para \(\log_{49}(7)\), escribimos \(49\) como \(7^2\). Buscamos el exponente \(p\) tal que \((7^2)^p=7\).

\[(7^2)^p=7^1\]

\[2p=1\]

\[p=\frac12\]

d) Sustituimos los tres valores anteriores en la ecuación.

\[3+(-2)+\frac12=\log_{16}(x)\]

\[\frac32=\log_{16}(x)\]

Pasamos de forma logarítmica a forma exponencial.

\[x=16^{3/2}\]

\[x=(\sqrt{16})^3=4^3=64\]

\(a)\ 3,\quad b)\ -2,\quad c)\ \frac12,\quad d)\ 64\)

Partimos de \(\log_2(x)-\log_2(5)=3+\log_2(4)\). En el lado izquierdo usamos la propiedad del cociente.

\[\log_2(x)-\log_2(5)=\log_2\left(\frac{x}{5}\right)\]

En el lado derecho escribimos \(3\) como \(\log_2(8)\), porque \(2^3=8\).

\[3+\log_2(4)=\log_2(8)+\log_2(4)\]

\[=\log_2(8\cdot4)=\log_2(32)\]

Como los logaritmos tienen la misma base, igualamos los argumentos.

\[\frac{x}{5}=32\]

\[x=160\]

\(x=160\)

Empezamos con \(\log_{10}(2x-3)-\log_{10}(5)=2-\log_{10}(4)\). En el lado izquierdo juntamos los logaritmos.

\[\log_{10}(2x-3)-\log_{10}(5)=\log_{10}\left(\frac{2x-3}{5}\right)\]

En el lado derecho escribimos \(2\) como \(\log_{10}(100)\).

\[2-\log_{10}(4)=\log_{10}(100)-\log_{10}(4)\]

\[=\log_{10}\left(\frac{100}{4}\right)\]

\[=\log_{10}(25)\]

Igualamos los argumentos.

\[\frac{2x-3}{5}=25\]

\[2x-3=125\]

\[2x=128\]

\[x=64\]

\(x=64\)

La ecuación es \(\sqrt{3^{x^2+1}}=27\). Primero escribimos la raíz cuadrada como una potencia de exponente \(\frac12\).

\[\sqrt{3^{x^2+1}}=\left(3^{x^2+1}\right)^{1/2}\]

\[=3^{\frac{x^2+1}{2}}\]

También escribimos \(27\) como potencia de \(3\).

\[27=3^3\]

Ahora igualamos los exponentes.

\[\frac{x^2+1}{2}=3\]

\[x^2+1=6\]

\[x^2=5\]

Por tanto hay dos soluciones reales.

\[x=\sqrt5\quad\text{o}\quad x=-\sqrt5\]

\(x=\pm\sqrt{5}\)

La ecuación \(3^{x^2-1}=134\) no se puede resolver igualando potencias enteras, así que usamos logaritmos.

\[\log_3\left(3^{x^2-1}\right)=\log_3(134)\]

Como \(\log_3(3^a)=a\), el exponente baja directamente.

\[x^2-1=\log_3(134)\]

\[x^2=\log_3(134)+1\]

Tomamos la raíz positiva y negativa.

\[x=\pm\sqrt{\log_3(134)+1}\]

Si se quiere una aproximación decimal:

\[x\approx\pm2.34\]

\(x=\pm\sqrt{\log_3(134)+1}\approx\pm2.34\)

Tenemos \(3^x\cdot5^{2x}=150\). Primero reescribimos \(5^{2x}\) como \((5^2)^x\).

\[5^{2x}=(5^2)^x=25^x\]

Entonces los dos factores tienen el mismo exponente \(x\).

\[3^x\cdot25^x=(3\cdot25)^x\]

\[75^x=150\]

Aplicamos logaritmos para despejar \(x\).

\[\ln(75^x)=\ln(150)\]

\[x\ln(75)=\ln(150)\]

\[x=\frac{\ln(150)}{\ln(75)}\]

Aproximando con calculadora:

\[x\approx1.16\]

\(x=\frac{\ln(150)}{\ln(75)}\approx1.16\)

La ecuación es \(4^{x-1}+2^{x+2}=48\). Conviene escribir todo en términos de \(2^x\).

\[4^{x-1}=(2^2)^{x-1}=2^{2x-2}\]

\[2^{x+2}=2^x\cdot2^2=4\cdot2^x\]

Sea \(y=2^x\). Entonces \(2^{2x}=y^2\), por lo que \(2^{2x-2}=\frac{y^2}{4}\).

\[\frac{y^2}{4}+4y=48\]

\[y^2+16y=192\]

\[y^2+16y-192=0\]

Factorizamos el trinomio.

\[(y-8)(y+24)=0\]

\[y=8\quad\text{o}\quad y=-24\]

Como \(y=2^x\), debe ser positivo, así que \(y=-24\) no es válido.

\[2^x=8=2^3\]

\[x=3\]

\(x=3\)

La ecuación \(2^{4x}-2^{2x}-12=0\) tiene forma cuadrática si hacemos un cambio de variable.

Sea \(y=2^{2x}\). Entonces \(2^{4x}=(2^{2x})^2=y^2\).

\[y^2-y-12=0\]

Factorizamos.

\[(y-4)(y+3)=0\]

\[y=4\quad\text{o}\quad y=-3\]

Como \(y=2^{2x}\), no puede ser negativo, así que descartamos \(y=-3\).

\[2^{2x}=4\]

\[2^{2x}=2^2\]

\[2x=2\]

\[x=1\]

\(x=1\)

a) Para \(\log_2(32)\), escribimos \(32\) como potencia de \(2\).

\[32=2^5\]

\[\log_2(32)=5\]

b) Para \(\log_3\left(\frac{1}{9}\right)\), escribimos \(\frac{1}{9}\) como potencia de \(3\).

\[\frac{1}{9}=3^{-2}\]

\[\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2\]

c) Para \(\log_{16}(4)\), escribimos \(16=4^2\). Buscamos el exponente \(p\) tal que \(16^p=4\).

\[(4^2)^p=4^1\]

\[2p=1\]

\[p=\frac12\]

d) Sustituimos estos valores en la ecuación.

\[\log_{16}(4)+\log_2(32)=\log_8(x)-\log_3\left(\frac{1}{9}\right)\]

\[\frac12+5=\log_8(x)-(-2)\]

\[\frac{11}{2}=\log_8(x)+2\]

\[\log_8(x)=\frac{7}{2}\]

Pasamos a forma exponencial.

\[x=8^{7/2}\]

\[x=(\sqrt8)^7=1024\sqrt2\]

\(a)\ 5,\quad b)\ -2,\quad c)\ \frac12,\quad d)\ 1024\sqrt2\)

Antes de resolver, revisamos el dominio. En \(\log_2(x-3)\), necesitamos \(x-3\mathrel{\unicode{x003E}}0\), por tanto \(x\mathrel{\unicode{x003E}}3\). Además, \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), que será positivo si \(x\mathrel{\unicode{x003E}}3\).

\[\log_2(x^2-6x+9)=1+\log_2(x-3)\]

\[\log_2((x-3)^2)=1+\log_2(x-3)\]

Escribimos \(1\) como \(\log_2(2)\).

\[1+\log_2(x-3)=\log_2(2)+\log_2(x-3)\]

\[=\log_2(2(x-3))\]

Igualamos los argumentos.

\[(x-3)^2=2(x-3)\]

\[(x-3)^2-2(x-3)=0\]

\[(x-3)((x-3)-2)=0\]

\[(x-3)(x-5)=0\]

Las soluciones algebraicas son \(x=3\) y \(x=5\). Por el dominio \(x\mathrel{\unicode{x003E}}3\), descartamos \(x=3\).

\(x=5\)

Primero revisamos el dominio. En \(\log_5(x-1)\), necesitamos \(x\mathrel{\unicode{x003E}}1\). También debe cumplirse \(2x^2-9x+7\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

Escribimos \(2\) como \(\log_5(25)\).

\[2+\log_5(x-1)=\log_5(25)+\log_5(x-1)\]

\[=\log_5(25(x-1))\]

La ecuación se convierte en:

\[\log_5(2x^2-9x+7)=\log_5(25(x-1))\]

Igualamos argumentos.

\[2x^2-9x+7=25(x-1)\]

\[2x^2-9x+7=25x-25\]

\[2x^2-34x+32=0\]

\[x^2-17x+16=0\]

\[(x-1)(x-16)=0\]

Obtenemos \(x=1\) o \(x=16\). Como \(x=1\) no cumple \(x\mathrel{\unicode{x003E}}1\), se descarta.

\(x=16\)

Primero analizamos el dominio. En \(\log_2(x-3)\), necesitamos \(x\mathrel{\unicode{x003E}}3\). Por tanto, cualquier solución final debe ser mayor que \(3\).

Escribimos \(1\) como \(\log_2(2)\).

\[1+\log_2(x-3)=\log_2(2)+\log_2(x-3)\]

\[=\log_2(2(x-3))\]

La ecuación queda:

\[\log_2(3x^2-10x+3)=\log_2(2(x-3))\]

Igualamos los argumentos.

\[3x^2-10x+3=2(x-3)\]

\[3x^2-10x+3=2x-6\]

\[3x^2-12x+9=0\]

\[x^2-4x+3=0\]

\[(x-1)(x-3)=0\]

Las soluciones algebraicas son \(x=1\) y \(x=3\). Ninguna cumple el dominio \(x\mathrel{\unicode{x003E}}3\).

\(\text{No hay solución real}\)

La ecuación es \(x^{2/5}+x^{1/5}=6\). Usamos el cambio de variable \(y=x^{1/5}\).

Entonces:

\[x^{2/5}=(x^{1/5})^2=y^2\]

\[x^{1/5}=y\]

Sustituimos en la ecuación original.

\[y^2+y=6\]

\[y^2+y-6=0\]

\[(y+3)(y-2)=0\]

\[y=-3\quad\text{o}\quad y=2\]

Volvemos a la variable original usando \(y=x^{1/5}\).

\[x^{1/5}=-3\quad\text{o}\quad x^{1/5}=2\]

Elevamos ambos lados a la quinta potencia.

\[x=(-3)^5\quad\text{o}\quad x=2^5\]

\[x=-243\quad\text{o}\quad x=32\]

\(x=32\quad\text{o}\quad x=-243\)