1.10 – Inducción: derivación e integración

Enunciado: Demuestra por inducción que si f(x) = xⁿ, entonces f'(x) = nxⁿ⁻¹ para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\frac{d}{dx}(x)=1=x^0\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\frac{d}{dx}(x^k)=kx^{k-1}\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}(x^{k+1})=(k+1)x^k\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que ∫2xⁿ dx = 2xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para todo entero n ≥ 0.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\int 2\,dx=2x+C=\frac{2x^{0+1}}{0+1}+C\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\int 2x^k\,dx=\frac{2x^{k+1}}{k+1}+C\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^{k+2}}{k+2}\right)=2x^{k+1}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que si f(x) = 3xⁿ, entonces f'(x) = 3nxⁿ⁻¹ para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\frac{d}{dx}(3x)=3=3(1)x^0\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\frac{d}{dx}(3x^k)=3kx^{k-1}\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}(3x^{k+1})=3(k+1)x^k\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que ∫4xⁿ dx = 4xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para todo entero n ≥ 0.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\int 4\,dx=4x+C=\frac{4x^{0+1}}{0+1}+C\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\int 4x^k\,dx=\frac{4x^{k+1}}{k+1}+C\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{4x^{k+2}}{k+2}\right)=4x^{k+1}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que si f(x) = 5xⁿ, entonces f'(x) = 5nxⁿ⁻¹ para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\frac{d}{dx}(5x)=5=5(1)x^0\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\frac{d}{dx}(5x^k)=5kx^{k-1}\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}(5x^{k+1})=5(k+1)x^k\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para todo entero n ≥ 0.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\int 1\,dx=x+C=\frac{x^{0+1}}{0+1}+C\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\int x^k\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{k+2}}{k+2}\right)=x^{k+1}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que si f(x) = 2xⁿ, entonces f'(x) = 2nxⁿ⁻¹ para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\frac{d}{dx}(2x)=2=2(1)x^0\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\frac{d}{dx}(2x^k)=2kx^{k-1}\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}(2x^{k+1})=2(k+1)x^k\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que ∫3xⁿ dx = 3xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para todo entero n ≥ 0.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\int 3\,dx=3x+C=\frac{3x^{0+1}}{0+1}+C\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\int 3x^k\,dx=\frac{3x^{k+1}}{k+1}+C\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^{k+2}}{k+2}\right)=3x^{k+1}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que si f(x) = 4xⁿ, entonces f'(x) = 4nxⁿ⁻¹ para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\frac{d}{dx}(4x)=4=4(1)x^0\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\frac{d}{dx}(4x^k)=4kx^{k-1}\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}(4x^{k+1})=4(k+1)x^k\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que ∫5xⁿ dx = 5xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para todo entero n ≥ 0.

a)

Caso base: comprobamos el primer valor permitido de n.

\[\int 5\,dx=5x+C=\frac{5x^{0+1}}{0+1}+C\]

Hipótesis inductiva: suponemos válida la regla para n = k.

\[\int 5x^k\,dx=\frac{5x^{k+1}}{k+1}+C\]

Relacionamos el caso siguiente con la regla de derivación correspondiente para justificar la forma del resultado.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{5x^{k+2}}{k+2}\right)=5x^{k+1}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{regla demostrada}}\)

Resumen final:

a) La regla queda demostrada por inducción.