1.9 – Inducción: series, divisibilidad e inecuaciones

Enunciado: Demuestra por inducción que 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[1=\frac{1(1+1)}{2}\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[1=1^2\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[1+3+\cdots+(2k-1)=k^2\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[k^2+(2k+1)=(k+1)^2\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[2=1(1+1)\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[2+4+\cdots+2k=k(k+1)\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ – 1 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[1=2^1-1\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[1+2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[2^k-1+2^k=2^{k+1}-1\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 3 + 6 + 9 + … + 3n = 3n(n + 1)/2 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[3=\frac{3(1)(1+1)}{2}\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[3+6+\cdots+3k=\frac{3k(k+1)}{2}\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[\frac{3k(k+1)}{2}+3(k+1)=\frac{3(k+1)(k+2)}{2}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 5 + 10 + 15 + … + 5n = 5n(n + 1)/2 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[5=\frac{5(1)(1+1)}{2}\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[5+10+\cdots+5k=\frac{5k(k+1)}{2}\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[\frac{5k(k+1)}{2}+5(k+1)=\frac{5(k+1)(k+2)}{2}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[1=\frac{1(2)(3)}{6}\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[1^2+2^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 5ⁿ – 1 es divisible por 4 para todo n ≥ 1 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[5^1-1=4\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[5^k-1=4m\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[5^{k+1}-1=5(5^k)-1=5(4m+1)-1=4(5m+1)\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 3ⁿ – 1 es divisible por 2 para todo n ≥ 1 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[3^1-1=2\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[3^k-1=2m\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[3^{k+1}-1=3(3^k)-1=3(2m+1)-1=2(3m+1)\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.

Enunciado: Demuestra por inducción que 4ⁿ – 1 es divisible por 3 para todo n ≥ 1 para todo entero n ≥ 1.

a)

Caso base: comprobamos n = 1 sustituyendo en ambos lados.

\[4^1-1=3\]

Paso inductivo: suponemos cierta la fórmula para n = k.

\[4^k-1=3m\]

Añadimos el término siguiente y simplificamos hasta obtener la fórmula para n = k+1.

\[4^{k+1}-1=4(4^k)-1=4(3m+1)-1=3(4m+1)\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\text{queda demostrada por inducción}}\)

Resumen final:

a) La fórmula queda demostrada por inducción.