7 ejercicios

2.3 – Funciones racionales

Practica ejercicios del tema 2.3 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1Sin calculadora
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La función \(f\) viene dada por \(f(x)=\frac{ax+b}{4x+c}\), para \(x\ne-\frac{c}{4}\), donde \(a,b,c\in\mathbb{Z}\).

Dado que el gráfico de \(f(x)\) tiene asíntotas en \(x=2\) y \(y=4\), y que el punto \(P\left(1,-\frac{1}{4}\right)\) está en el gráfico, encuentre los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).

La asíntota vertical se produce cuando el denominador es cero. Como la asíntota vertical es \(x=2\), sustituimos \(x=2\) en \(4x+c=0\).

\[4(2)+c=0\]

\[8+c=0\]

\[c=-8\]

La asíntota horizontal de \(\frac{ax+b}{4x+c}\) se obtiene con el cociente de los coeficientes principales.

\[y=\frac{a}{4}=4\]

\[a=16\]

Ahora usamos el punto \(P\left(1,-\frac14\right)\), que pertenece al gráfico.

\[-\frac14=\frac{16(1)+b}{4(1)-8}\]

\[-\frac14=\frac{16+b}{-4}\]

\[16+b=1\]

\(a=16,\quad b=-15,\quad c=-8\)

Pregunta 2Sin calculadora
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La función \(f\) viene dada por \(f(x)=\frac{ax+b}{3x+c}\), para \(x\ne-\frac{c}{3}\), donde \(a,b,c\in\mathbb{Z}\).

Dado que el gráfico de \(f(x)\) tiene asíntotas en \(x=-3\) y \(y=2\), y que el punto \(P\left(2,\frac{2}{3}\right)\) está en el gráfico, encuentre los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).

La asíntota vertical es \(x=-3\), así que el denominador debe ser cero cuando \(x=-3\).

\[3(-3)+c=0\]

\[-9+c=0\]

\[c=9\]

La asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.

\[y=\frac{a}{3}=2\]

\[a=6\]

Sustituimos el punto \(P\left(2,\frac23\right)\) en la función.

\[\frac23=\frac{6(2)+b}{3(2)+9}\]

\[\frac23=\frac{12+b}{15}\]

\[12+b=10\]

\(a=6,\quad b=-2,\quad c=9\)

Pregunta 3Sin calculadora
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Una función racional viene dada por \(f(x)=a+\frac{b}{x+c}\), para \(x\ne-c\), donde \(a,b,c\in\mathbb{Z}\).

En la siguiente figura se muestra el gráfico de \(y=f(x)\).

  1. Escriba el valor de \(a\) y el valor de \(c\).
  2. Encuentre el valor de \(b\).
Gráfico de una función racional con asíntotas x igual 2 e y igual 2

a) En una función de la forma \(f(x)=a+\frac{b}{x+c}\), la asíntota horizontal es \(y=a\). Del gráfico se lee \(y=2\).

\[a=2\]

La asíntota vertical ocurre cuando \(x+c=0\). En el gráfico se ve \(x=2\), por lo que \(-c=2\).

\[c=-2\]

b) Usamos el punto marcado \(P(0,-1)\) para encontrar \(b\).

\[-1=2+\frac{b}{0-2}\]

\[-1=2-\frac{b}{2}\]

\[-3=-\frac{b}{2}\]

\(a=2,\quad c=-2,\quad b=6\)

Pregunta 4Sin calculadora
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Sea \(f(x)=\frac{2x-4}{x+1}\), para \(x\ne-1\).

  1. Para el gráfico de \(y=f(x)\), encuentre las coordenadas de:
    1. la intersección con el eje \(x\);
    2. la intersección con el eje \(y\).
  2. Para el gráfico de \(y=f(x)\), encuentre la ecuación de:
    1. la asíntota horizontal;
    2. la asíntota vertical.
  3. Haga un dibujo aproximado del gráfico de \(y=f(x)\).

a) i) La intersección con el eje \(x\) ocurre cuando \(y=0\). En una fracción racional, esto exige que el numerador sea cero.

\[2x-4=0\]

\[x=2\]

\((2,0)\)

a) ii) La intersección con el eje \(y\) se encuentra sustituyendo \(x=0\).

\[f(0)=\frac{2(0)-4}{0+1}=-4\]

\((0,-4)\)

b) i) Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.

\[y=\frac{2}{1}=2\]

b) ii) La asíntota vertical se obtiene haciendo cero el denominador.

\[x+1=0\]

\[x=-1\]

\(y=2,\quad x=-1\)

c) El gráfico debe acercarse a las asíntotas \(y=2\) y \(x=-1\), y pasar por las intersecciones \((2,0)\) y \((0,-4)\).

Boceto del gráfico de la función racional con asíntotas x igual menos 1 e y igual 2
Pregunta 5Sin calculadora
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Sea \(f(x)=\frac{-3x-9}{x-1}\), para \(x\ne1\).

  1. Para el gráfico de \(y=f(x)\), encuentre las coordenadas de:
    1. la intersección con el eje \(x\);
    2. la intersección con el eje \(y\).
  2. Para el gráfico de \(y=f(x)\), encuentre la ecuación de:
    1. la asíntota horizontal;
    2. la asíntota vertical.
  3. Haga un dibujo aproximado del gráfico de \(y=f(x)\).

a) i) Para la intersección con el eje \(x\), hacemos que el numerador sea cero.

\[-3x-9=0\]

\[-3x=9\]

\[x=-3\]

\((-3,0)\)

a) ii) Para la intersección con el eje \(y\), sustituimos \(x=0\).

\[f(0)=\frac{-3(0)-9}{0-1}=9\]

\((0,9)\)

b) i) La asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.

\[y=\frac{-3}{1}=-3\]

b) ii) La asíntota vertical se obtiene haciendo cero el denominador.

\[x-1=0\]

\[x=1\]

\(y=-3,\quad x=1\)

c) El gráfico debe acercarse a las asíntotas \(y=-3\) y \(x=1\), y pasar por \((-3,0)\) y \((0,9)\).

Boceto del gráfico de la función racional con asíntotas x igual 1 e y igual menos 3
Pregunta 6Sin calculadora
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Una función racional viene dada por \(f(x)=a+\frac{b}{x-c}\), para \(x\ne c\), donde \(a,b,c\in\mathbb{Z}\).

En la siguiente figura se muestra el gráfico de \(y=f(x)\).

  1. Escriba el valor de \(a\) y el valor de \(c\).
  2. Encuentre el valor de \(b\).
Gráfico de una función racional con asíntotas x igual 1 e y igual 4

a) Para \(f(x)=a+\frac{b}{x-c}\), la asíntota horizontal es \(y=a\). Del gráfico se lee \(y=4\).

\[a=4\]

La asíntota vertical es \(x=c\). Del gráfico se lee \(x=1\).

\[c=1\]

b) Usamos el punto marcado \(P(0,-4)\).

\[-4=4+\frac{b}{0-1}\]

\[-4=4-b\]

\[-8=-b\]

\(a=4,\quad c=1,\quad b=8\)

Pregunta 7Sin calculadora
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Sea \(f(x)=\frac{5}{x+3}\), para \(x\ne-3\).

  1. Para el gráfico de \(f(x)\), encuentre:
    1. la intersección con el eje \(x\);
    2. la intersección con el eje \(y\);
    3. la ecuación de la asíntota vertical.
  2. Sea \(g(x)=x-1\), para \(x\in\mathbb{R}\). Los gráficos de \(f(x)\) y \(g(x)\) se intersectan en los puntos \(a\) y \(b\). Encuentre las coordenadas de \(a\) y \(b\).
  3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por \(a\) y \(b\), dando la respuesta en la forma \(y=mx+n\).
  4. Escriba la pendiente de la recta que es perpendicular a la recta que pasa por \(a\) y \(b\).

a) i) La función \(f(x)=\frac{5}{x+3}\) no corta el eje \(x\), porque el numerador nunca es cero.

\(\text{No hay intersección con el eje }x\)

a) ii) Para la intersección con el eje \(y\), sustituimos \(x=0\).

\[f(0)=\frac{5}{0+3}=\frac53\]

\(\left(0,\frac53\right)\)

a) iii) La asíntota vertical ocurre cuando el denominador es cero.

\[x+3=0\]

\[x=-3\]

b) En los puntos de intersección se cumple \(f(x)=g(x)\).

\[\frac{5}{x+3}=x-1\]

\[5=(x-1)(x+3)\]

\[5=x^2+2x-3\]

\[x^2+2x-8=0\]

\[(x+4)(x-2)=0\]

Por tanto, \(x=-4\) o \(x=2\). Sustituimos en \(g(x)=x-1\).

\[g(-4)=-5,\qquad g(2)=1\]

\(a=(-4,-5),\quad b=(2,1)\)

c) La recta que pasa por los dos puntos es precisamente \(g(x)\), porque ambos puntos están sobre \(g\).

\(y=x-1\)

d) La pendiente de esta recta es \(1\), por lo que la pendiente perpendicular es el recíproco negativo.

\(-1\)