3.6 – Vectores, puntos y rectas

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,-3,5) y b = (3,5,3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{6}{6.164(6.557)}\right)=81.46^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{81.46^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 81.46°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,4,1) y b = (3,1,-1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=15\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{15}{5.745(3.317)}\right)=38.07^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{38.07^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 38.07°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,2,3) y b = (1,5,4).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=26\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{26}{5.385(6.481)}\right)=41.84^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{41.84^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 41.84°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,4,2) y b = (4,5,1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=38\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{38}{6.000(6.481)}\right)=12.24^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{12.24^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 12.24°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,-3,2) y b = (5,2,4).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=12\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{12}{4.123(6.708)}\right)=64.29^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{64.29^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 64.29°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,-3,5) y b = (5,3,0).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{6}{6.557(5.831)}\right)=80.97^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{80.97^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 80.97°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,2,3) y b = (2,1,0).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=10\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{10}{5.385(2.236)}\right)=33.85^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{33.85^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 33.85°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (1,2,5) y b = (2,2,-1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{1}{5.477(3.000)}\right)=86.51^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{86.51^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 86.51°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,3,2) y b = (1,2,-2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=5\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{4.690(3.000)}\right)=69.19^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{69.19^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 69.19°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,0,3) y b = (5,4,3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=19\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{19}{3.606(7.071)}\right)=41.82^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{41.82^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 41.82°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (1,4,1) y b = (5,3,-2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=15\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{15}{4.243(6.164)}\right)=55.00^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{55.00^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 55.00°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,-2,1) y b = (4,2,2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{6}{3.000(4.899)}\right)=65.91^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{65.91^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 65.91°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,1,2) y b = (2,5,-1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=7\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{7}{3.000(5.477)}\right)=64.79^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{64.79^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 64.79°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,4,4) y b = (3,1,0).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=10\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{10}{6.000(3.162)}\right)=58.19^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{58.19^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 58.19°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,1,4) y b = (1,4,-1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{2}{4.583(4.243)}\right)=84.10^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{84.10^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 84.10°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,-1,2) y b = (4,5,-1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=9\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{9}{4.583(6.481)}\right)=72.36^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{72.36^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 72.36°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,-1,4) y b = (5,2,-3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{6}{5.745(6.164)}\right)=80.25^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{80.25^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 80.25°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,0,1) y b = (2,2,2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{6}{2.236(3.464)}\right)=39.23^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{39.23^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 39.23°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,0,4) y b = (3,1,-2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{1}{5.000(3.742)}\right)=86.94^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{86.94^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 86.94°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,4,3) y b = (1,3,1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=17\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{17}{5.385(3.317)}\right)=17.86^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{17.86^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 17.86°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,4,1) y b = (1,3,3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=19\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{19}{5.745(4.359)}\right)=40.64^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{40.64^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 40.64°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,2,5) y b = (2,4,2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=24\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{24}{6.164(4.899)}\right)=37.37^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{37.37^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 37.37°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,-2,4) y b = (4,1,1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=18\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{18}{6.000(4.243)}\right)=45.00^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{45.00^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 45.00°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (1,2,3) y b = (2,3,3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=17\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{17}{3.742(4.690)}\right)=14.38^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{14.38^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 14.38°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,3,2) y b = (4,3,0).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=21\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{21}{4.690(5.000)}\right)=26.43^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{26.43^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 26.43°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (4,2,5) y b = (5,2,3).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=39\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{39}{6.708(6.164)}\right)=19.42^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{19.42^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 19.42°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (3,-3,1) y b = (2,3,1).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-2\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{-2}{4.359(3.742)}\right)=97.04^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{97.04^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 97.04°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,0,2) y b = (3,2,4).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=14\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{14}{2.828(5.385)}\right)=23.20^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{23.20^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 23.20°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (1,1,4) y b = (1,4,4).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=21\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{21}{4.243(5.745)}\right)=30.50^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{30.50^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 30.50°.

Enunciado: Halla el ángulo entre a = (2,-2,2) y b = (1,4,2).

a)

Usamos el producto escalar para relacionar los vectores con el coseno del ángulo.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\]

Calculamos el producto escalar y las magnitudes.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-2\]

Despejamos el ángulo con cos⁻¹.

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{-2}{3.464(4.583)}\right)=97.24^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{97.24^\circ}\)

Resumen final:

a) El ángulo es 97.24°.