4.7 – Distribución normal

a) El área sombreada a la derecha de \(80\) es exactamente la probabilidad pedida.

\(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}80)=0.24\)

b) Como la media es \(70\), la mitad derecha de la curva tiene área \(0.5\).

\[P(70\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}80)=0.5-0.24\]

\(0.26\)

c) Los valores \(60\) y \(80\) están a la misma distancia de la media, así que por simetría:

\(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}60)=0.24\)

a) El área sombreada entre \(115\) y \(145\) es el valor pedido.

\(P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=0.4\)

b) Por simetría, la mitad izquierda hasta la media tiene área \(0.5\), y la mitad de la región central tiene área \(0.2\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=0.5+0.2\]

\(0.7\)

c) Usamos probabilidad condicional.

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}115\mid X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=\frac{P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}145)}{P(X\mathrel{\unicode{x003C}}145)}\]

\[=\frac{0.4}{0.7}\]

\(\frac47\approx0.571\)

a) La región sombreada aparece debajo como medio visual.

b) Usamos la distribución \(X\sim N(60,8^2)\).

\[P(40\leq X\leq65)=\Phi\left(\frac{65-60}{8}\right)-\Phi\left(\frac{40-60}{8}\right)\]

\(P(40\leq X\leq65)\approx0.728\)

c) Si \(P(X\geq k)=0.20\), entonces \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}k)=0.80\).

\[k=\operatorname{invNorm}(0.80,60,8)\]

\(k\approx66.7\)

a) \(a\) es el primer cuartil y \(b\) es el tercer cuartil de \(N(205,24.5^2)\).

\[a=\operatorname{invNorm}(0.25,205,24.5)\approx188.5\]

\[b=\operatorname{invNorm}(0.75,205,24.5)\approx221.5\]

\(a\approx188.5,\quad b\approx221.5\)

b) El rango intercuartil es \(b-a\).

\[221.5-188.5\approx33.0\]

\(IQR\approx33.0\)

c) El \(20\%\) superior empieza en el percentil \(80\).

\[\operatorname{invNorm}(0.80,205,24.5)\approx225.6\]

Como \(230\mathrel{\unicode{x003E}}225.6\), Carla sí accederá a la universidad.

a) Sabemos que \(P(V\mathrel{\unicode{x003E}}1050)=0.15\), así que \(1050\) corresponde al percentil \(85\).

\[1050=1000+z_{0.85}\sigma\]

\[\sigma=\frac{50}{z_{0.85}}\approx48.2\]

\(\sigma\approx48.2\text{ ml}\)

b) Usamos \(V\sim N(1000,48.2^2)\).

\[P(850\leq V\leq1100)\approx0.980\]

\(0.980\)

c) Primero calculamos \(P(V\mathrel{\unicode{x003C}}995)\) y luego elevamos al cubo porque se eligen \(3\) botellas independientes.

\[P(\text{las 3}\mathrel{\unicode{x003C}}995)=P(V\mathrel{\unicode{x003C}}995)^3\]

\(\approx0.0965\)

a) El diagrama aparece debajo como medio visual.

b) Estandarizamos \(125.5\).

\[z=\frac{125.5-130}{4.5}=-1\]

\[P(V\mathrel{\unicode{x003C}}125.5)=P(Z\mathrel{\unicode{x003C}}-1)\]

\(0.159\)

c) El número esperado en \(40\) coches es:

\[40(0.1587)=6.35\]

\(6\text{ coches}\)

a) Usamos \(W\sim N(2500,500^2)\).

\[P(1500\mathrel{\unicode{x003C}}W\mathrel{\unicode{x003C}}3000)\approx0.819\]

\[640(0.819)\approx523.9\]

\(524\text{ melones}\)

b) El \(8\%\) superior empieza en el percentil \(92\).

\[\operatorname{invNorm}(0.92,2500,500)\approx3202.5\]

\(3203\text{ g}\)

a) Usamos \(T\sim N(115,14^2)\).

\[P(99\mathrel{\unicode{x003C}}T\mathrel{\unicode{x003C}}112)\approx0.289\]

\(0.289\)

b) Primero calculamos \(P(T\mathrel{\unicode{x003C}}96)\), y luego multiplicamos por \(18\).

\[18P(T\mathrel{\unicode{x003C}}96)\approx1.57\]

\(1.57\text{ ocasiones}\)

c) Sea \(Y\sim B(20,p)\), donde \(p=P(T\mathrel{\unicode{x003E}}101)\).

\[p\approx0.841\]

\[P(Y\geq6)=1-P(Y\leq5)\]

\(\approx1.000\)

El rango intercuartil es \(Q_3-Q_1\).

\[Q_1=\operatorname{invNorm}(0.25,240,30)\approx219.8\]

\[Q_3=\operatorname{invNorm}(0.75,240,30)\approx260.2\]

\[IQR=260.2-219.8\]

\(IQR\approx40.5\)

a) Usamos \(X\sim N(60,8.5^2)\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}70)\approx0.880\]

\(0.880\)

b) Si \(P(n\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}70)=0.3\), entonces:

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}n)=P(X\mathrel{\unicode{x003C}}70)-0.3\]

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}n)\approx0.5803\]

\[n=\operatorname{invNorm}(0.5803,60,8.5)\]

\(n\approx61.7\)

a) Las probabilidades deben sumar \(1\).

\[m+0.96+0.02=1\]

\(m=0.02\)

b) La distribución normal es simétrica respecto a la media. Como \(P(l\mathrel{\unicode{x003C}}15.6)=0.02\) y \(P(l\mathrel{\unicode{x003E}}24.4)=0.02\), los valores \(15.6\) y \(24.4\) están a la misma distancia de la media.

\[\mu=\frac{15.6+24.4}{2}\]

\(\mu=20\text{ cm}\)

a) El \(4.9\%\) inferior corresponde a \(P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)=0.049\).

\[p=\operatorname{invNorm}(0.049,7,1.1)\]

\(p\approx5.18\text{ g}\)

b) Buscamos una probabilidad condicional dentro de las cápsulas pequeñas.

\[P(P\geq4.2\mid P\mathrel{\unicode{x003C}}p)=\frac{P(4.2\leq P\mathrel{\unicode{x003C}}p)}{P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)}\]

\[=\frac{P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)-P(P\mathrel{\unicode{x003C}}4.2)}{0.049}\]

\(\approx0.889\)

a) i) Alto significa medir más de \(12\) m.

\[P(H\mathrel{\unicode{x003E}}12)=1-P(H\leq12)\]

\(0.159\)

a) ii) Usamos probabilidad condicional.

\[P(H\mathrel{\unicode{x003E}}15\mid H\mathrel{\unicode{x003E}}12)=\frac{P(H\mathrel{\unicode{x003E}}15)}{P(H\mathrel{\unicode{x003E}}12)}\]

\(\approx0.0391\)

b) Para dos árboles independientes:

\[P(\text{ambos altos})=(0.1587)^2\]

\(\approx0.0252\)

c) i) Sea \(Y\sim B(300,0.1587)\).

\[P(Y\geq50)\approx0.376\]

\(0.376\)

c) ii) El número esperado es:

\[300(0.1587)=47.6\]

\(47.6\text{ árboles}\)

a) La media divide una distribución normal en dos mitades iguales.

\(P(L\mathrel{\unicode{x003E}}17.5)=0.5\)

b) i) Si \(P(L\mathrel{\unicode{x003E}}19.6)=0.065\), entonces \(P(L\mathrel{\unicode{x003C}}19.6)=0.935\).

\[19.6=17.5+z_{0.935}\sigma\]

\[\sigma=\frac{2.1}{z_{0.935}}\]

\(\sigma\approx1.39\text{ cm}\)

b) ii) Usamos \(L\sim N(17.5,1.39^2)\).

\[P(L\mathrel{\unicode{x003C}}16)\approx0.140\]

\(0.140\)

Convertimos los dos porcentajes en ecuaciones con puntuaciones típicas.

\[\frac{21-\mu}{\sigma}=z_{0.06}\]

\[\frac{66-\mu}{\sigma}=z_{0.75}\]

Con \(z_{0.06}\approx-1.555\) y \(z_{0.75}\approx0.674\):

\[21=\mu-1.555\sigma\]

\[66=\mu+0.674\sigma\]

Restamos las ecuaciones para hallar \(\sigma\).

\[45=2.229\sigma\]

\(\sigma\approx20.2\)

Sustituimos para hallar \(\mu\).

\[\mu=66-0.674(20.2)\]

\(\mu\approx52.4\)

a) Usamos \(X\sim N(1016,24^2)\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}1000)\approx0.252\]

\(0.252\)

b) Si \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}V)=0.366\), entonces \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}V)=0.634\).

\[V=\operatorname{invNorm}(0.634,1016,24)\]

\(V\approx1024\text{ ml}\)

c) Usamos probabilidad condicional.

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1040\mid X\mathrel{\unicode{x003E}}1000)=\frac{P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1040)}{P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1000)}\]

\(\approx0.212\)

d) Dentro de dos desviaciones típicas de la media corresponde aproximadamente a \(0.9545\) de las botellas.

\[300(0.9545)\approx286.35\]

\(286\text{ botellas}\)

e) Sea \(Y\sim B(20,p)\), donde \(p=P(X\mathrel{\unicode{x003C}}990)\).

\[P(Y\geq4)\approx0.301\]

\(0.301\)

a) Usamos \(X\sim N(142,33^2)\).

\[P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}160)\approx0.501\]

\(50.1\%\)

b) Primero calculamos \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160)\), y multiplicamos por \(300\).

\[300P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160)\approx87.8\]

\(88\text{ naranjas}\)

c) Sea \(Y\sim B(300,P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160))\).

\[P(Y\geq90)\approx0.412\]

\(0.412\)

a) i) Usamos la normal \(N(28.4,9.1^2)\).

\[P(33\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}43)\approx0.252\]

\(0.252\)

a) ii)

\[P(X\geq35)\approx0.234\]

\(0.234\)

b) i) El \(10\%\) superior empieza en el percentil \(90\).

\[\operatorname{invNorm}(0.90,28.4,9.1)\approx40.1\]

\(40.1\text{ m}\)

b) ii) El \(15\%\) inferior termina en el percentil \(15\).

\[\operatorname{invNorm}(0.15,28.4,9.1)\approx19.0\]

\(19.0\text{ m}\)

c) Hay \(\binom42=6\) formas de elegir cuáles son muy altos y cuáles pequeños.

\[P=6(0.10)^2(0.15)^2\]

\(0.00135\)

d) i) Ninguno muy alto en \(20\) edificios:

\[(0.9)^{20}\]

\(0.122\)

d) ii) Sea \(Y\sim B(20,0.10)\).

\[P(Y\geq3)=1-P(Y\leq2)\]

\(0.323\)