5.5 – Derivación implícita

Enunciado: En la curva x² + y² = 61, halla dy/dx en el punto (5, 6) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{6}=-0.833\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.833}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.833.

Enunciado: En la curva x² + y² = 100, halla dy/dx en el punto (6, 8) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{8}=-0.750\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.750}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.750.

Enunciado: En la curva x² + y² = 106, halla dy/dx en el punto (5, 9) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{9}=-0.556\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.556}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.556.

Enunciado: En la curva x² + y² = 45, halla dy/dx en el punto (3, 6) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{6}=-0.500\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.500}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.500.

Enunciado: En la curva x² + y² = 65, halla dy/dx en el punto (7, 4) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{7}{4}=-1.750\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.750}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.750.

Enunciado: En la curva x² + y² = 25, halla dy/dx en el punto (3, 4) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}=-0.750\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.750}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.750.

Enunciado: En la curva x² + y² = 41, halla dy/dx en el punto (5, 4) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{4}=-1.250\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.250}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.250.

Enunciado: En la curva x² + y² = 74, halla dy/dx en el punto (5, 7) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{7}=-0.714\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.714}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.714.

Enunciado: En la curva x² + y² = 89, halla dy/dx en el punto (8, 5) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{5}=-1.600\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.600}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.600.

Enunciado: En la curva x² + y² = 52, halla dy/dx en el punto (4, 6) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{6}=-0.667\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.667}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.667.

Enunciado: En la curva x² + y² = 34, halla dy/dx en el punto (3, 5) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{5}=-0.600\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.600}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.600.

Enunciado: En la curva x² + y² = 117, halla dy/dx en el punto (6, 9) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{9}=-0.667\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.667}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.667.

Enunciado: En la curva x² + y² = 72, halla dy/dx en el punto (6, 6) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{6}=-1.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.000}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.000.

Enunciado: En la curva x² + y² = 74, halla dy/dx en el punto (7, 5) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{7}{5}=-1.400\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.400}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.400.

Enunciado: En la curva x² + y² = 100, halla dy/dx en el punto (8, 6) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{6}=-1.333\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.333}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.333.

Enunciado: En la curva x² + y² = 90, halla dy/dx en el punto (3, 9) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{9}=-0.333\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.333}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.333.

Enunciado: En la curva x² + y² = 73, halla dy/dx en el punto (3, 8) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{8}=-0.375\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.375}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.375.

Enunciado: En la curva x² + y² = 61, halla dy/dx en el punto (6, 5) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{5}=-1.200\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-1.200}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -1.200.

Enunciado: En la curva x² + y² = 80, halla dy/dx en el punto (4, 8) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{8}=-0.500\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.500}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.500.

Enunciado: En la curva x² + y² = 97, halla dy/dx en el punto (4, 9) usando derivación implícita.

a)

Derivamos ambos lados respecto a x.

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]

Al derivar y² usamos la regla de la cadena, por eso aparece dy/dx.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\]

Despejamos dy/dx y sustituimos el punto dado.

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{9}=-0.444\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{-0.444}\)

Resumen final:

a) La pendiente es -0.444.