5.10 – Integración por partes y sustitución

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)² dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^2\,dx=\int u^2\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{3}}{3}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{3}}{3}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)³/3 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 13)⁸ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+13,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+13)^8\,dx=\int u^8\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+13)^{9}}{9}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+13)^{9}}{9}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 13)⁹/9 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)⁵ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^5\,dx=\int u^5\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{6}}{6}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{6}}{6}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)⁶/6 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 4)⁵ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+4,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+4)^5\,dx=\int u^5\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+4)^{6}}{6}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+4)^{6}}{6}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 4)⁶/6 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 9)³ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+9,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+9)^3\,dx=\int u^3\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+9)^{4}}{4}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+9)^{4}}{4}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 9)⁴/4 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 10)² dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+10,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+10)^2\,dx=\int u^2\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+10)^{3}}{3}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+10)^{3}}{3}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 10)³/3 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)³ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^3\,dx=\int u^3\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{4}}{4}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{4}}{4}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)⁴/4 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 6)⁵ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+6,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+6)^5\,dx=\int u^5\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+6)^{6}}{6}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+6)^{6}}{6}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 6)⁶/6 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 11)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+11,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+11)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+11)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+11)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 11)⁵/5 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 1)³ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+1,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\int u^3\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+1)^{4}}{4}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+1)^{4}}{4}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 1)⁴/4 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 4)⁶ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+4,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+4)^6\,dx=\int u^6\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+4)^{7}}{7}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+4)^{7}}{7}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 4)⁷/7 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 5)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+5,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+5)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+5)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+5)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 5)⁵/5 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 12)⁷ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+12,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+12)^7\,dx=\int u^7\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+12)^{8}}{8}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+12)^{8}}{8}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 12)⁸/8 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 4)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+4,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+4)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+4)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+4)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 4)⁵/5 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 5)⁸ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+5,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+5)^8\,dx=\int u^8\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+5)^{9}}{9}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+5)^{9}}{9}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 5)⁹/9 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 1)⁷ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+1,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+1)^7\,dx=\int u^7\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+1)^{8}}{8}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+1)^{8}}{8}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 1)⁸/8 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 2)⁵ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+2,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+2)^5\,dx=\int u^5\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+2)^{6}}{6}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+2)^{6}}{6}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 2)⁶/6 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 1)² dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+1,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+1)^2\,dx=\int u^2\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+1)^{3}}{3}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+1)^{3}}{3}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 1)³/3 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 14)⁷ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+14,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+14)^7\,dx=\int u^7\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+14)^{8}}{8}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+14)^{8}}{8}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 14)⁸/8 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 13)⁶ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+13,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+13)^6\,dx=\int u^6\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+13)^{7}}{7}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+13)^{7}}{7}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 13)⁷/7 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 10)⁶ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+10,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+10)^6\,dx=\int u^6\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+10)^{7}}{7}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+10)^{7}}{7}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 10)⁷/7 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)⁶ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^6\,dx=\int u^6\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{7}}{7}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{7}}{7}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)⁷/7 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)⁷ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^7\,dx=\int u^7\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{8}}{8}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{8}}{8}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)⁸/8 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 1)⁶ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+1,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+1)^6\,dx=\int u^6\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+1)^{7}}{7}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+1)^{7}}{7}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 1)⁷/7 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 3)⁵ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+3,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+3)^5\,dx=\int u^5\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+3)^{6}}{6}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+3)^{6}}{6}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 3)⁶/6 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 8)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+8,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+8)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+8)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+8)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 8)⁵/5 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 10)⁸ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+10,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+10)^8\,dx=\int u^8\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+10)^{9}}{9}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+10)^{9}}{9}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 10)⁹/9 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 7)⁸ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+7,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+7)^8\,dx=\int u^8\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+7)^{9}}{9}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+7)^{9}}{9}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 7)⁹/9 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 1)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+1,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+1)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+1)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+1)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 1)⁵/5 + C.

Enunciado: Calcula ∫ 2x(x² + 6)⁴ dx usando sustitución.

a)

Usamos sustitución porque la derivada de x²+a es 2x.

\[u=x^2+6,\ du=2x\,dx\]

Definimos u = x²+a y sustituimos du = 2x dx.

\[\int 2x(x^2+6)^4\,dx=\int u^4\,du\]

Integramos uⁿ y volvemos a la variable x.

\[\frac{(x^2+6)^{5}}{5}+C\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{\frac{(x^2+6)^{5}}{5}+C}\)

Resumen final:

a) La integral es (x² + 6)⁵/5 + C.