5.6 – Integración y volúmenes

Enunciado: La región bajo y = 5, entre x = 0 y x = 7, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{7}5^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=25\pi[x]_0^{7}=549.78\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{175\pi\approx 549.78}\)

Resumen final:

a) El volumen es 175π unidades cúbicas, aproximadamente 549.78.

Enunciado: La región bajo y = 3, entre x = 0 y x = 5, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{5}3^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=9\pi[x]_0^{5}=141.37\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{45\pi\approx 141.37}\)

Resumen final:

a) El volumen es 45π unidades cúbicas, aproximadamente 141.37.

Enunciado: La región bajo y = 6, entre x = 0 y x = 3, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{3}6^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=36\pi[x]_0^{3}=339.29\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{108\pi\approx 339.29}\)

Resumen final:

a) El volumen es 108π unidades cúbicas, aproximadamente 339.29.

Enunciado: La región bajo y = 4, entre x = 0 y x = 7, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{7}4^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=16\pi[x]_0^{7}=351.86\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{112\pi\approx 351.86}\)

Resumen final:

a) El volumen es 112π unidades cúbicas, aproximadamente 351.86.

Enunciado: La región bajo y = 5, entre x = 0 y x = 3, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{3}5^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=25\pi[x]_0^{3}=235.62\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{75\pi\approx 235.62}\)

Resumen final:

a) El volumen es 75π unidades cúbicas, aproximadamente 235.62.

Enunciado: La región bajo y = 2, entre x = 0 y x = 4, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{4}2^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=4\pi[x]_0^{4}=50.27\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{16\pi\approx 50.27}\)

Resumen final:

a) El volumen es 16π unidades cúbicas, aproximadamente 50.27.

Enunciado: La región bajo y = 5, entre x = 0 y x = 6, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{6}5^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=25\pi[x]_0^{6}=471.24\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{150\pi\approx 471.24}\)

Resumen final:

a) El volumen es 150π unidades cúbicas, aproximadamente 471.24.

Enunciado: La región bajo y = 5, entre x = 0 y x = 4, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{4}5^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=25\pi[x]_0^{4}=314.16\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{100\pi\approx 314.16}\)

Resumen final:

a) El volumen es 100π unidades cúbicas, aproximadamente 314.16.

Enunciado: La región bajo y = 3, entre x = 0 y x = 7, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{7}3^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=9\pi[x]_0^{7}=197.92\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{63\pi\approx 197.92}\)

Resumen final:

a) El volumen es 63π unidades cúbicas, aproximadamente 197.92.

Enunciado: La región bajo y = 5, entre x = 0 y x = 5, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{5}5^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=25\pi[x]_0^{5}=392.70\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{125\pi\approx 392.70}\)

Resumen final:

a) El volumen es 125π unidades cúbicas, aproximadamente 392.70.

Enunciado: La región bajo y = 2, entre x = 0 y x = 3, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{3}2^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=4\pi[x]_0^{3}=37.70\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{12\pi\approx 37.70}\)

Resumen final:

a) El volumen es 12π unidades cúbicas, aproximadamente 37.70.

Enunciado: La región bajo y = 6, entre x = 0 y x = 6, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{6}6^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=36\pi[x]_0^{6}=678.58\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{216\pi\approx 678.58}\)

Resumen final:

a) El volumen es 216π unidades cúbicas, aproximadamente 678.58.

Enunciado: La región bajo y = 3, entre x = 0 y x = 3, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{3}3^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=9\pi[x]_0^{3}=84.82\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{27\pi\approx 84.82}\)

Resumen final:

a) El volumen es 27π unidades cúbicas, aproximadamente 84.82.

Enunciado: La región bajo y = 4, entre x = 0 y x = 4, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{4}4^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=16\pi[x]_0^{4}=201.06\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{64\pi\approx 201.06}\)

Resumen final:

a) El volumen es 64π unidades cúbicas, aproximadamente 201.06.

Enunciado: La región bajo y = 3, entre x = 0 y x = 6, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{6}3^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=9\pi[x]_0^{6}=169.65\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{54\pi\approx 169.65}\)

Resumen final:

a) El volumen es 54π unidades cúbicas, aproximadamente 169.65.

Enunciado: La región bajo y = 2, entre x = 0 y x = 6, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{6}2^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=4\pi[x]_0^{6}=75.40\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{24\pi\approx 75.40}\)

Resumen final:

a) El volumen es 24π unidades cúbicas, aproximadamente 75.40.

Enunciado: La región bajo y = 6, entre x = 0 y x = 5, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{5}6^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=36\pi[x]_0^{5}=565.49\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{180\pi\approx 565.49}\)

Resumen final:

a) El volumen es 180π unidades cúbicas, aproximadamente 565.49.

Enunciado: La región bajo y = 6, entre x = 0 y x = 7, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{7}6^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=36\pi[x]_0^{7}=791.68\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{252\pi\approx 791.68}\)

Resumen final:

a) El volumen es 252π unidades cúbicas, aproximadamente 791.68.

Enunciado: La región bajo y = 6, entre x = 0 y x = 4, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{4}6^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=36\pi[x]_0^{4}=452.39\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{144\pi\approx 452.39}\)

Resumen final:

a) El volumen es 144π unidades cúbicas, aproximadamente 452.39.

Enunciado: La región bajo y = 2, entre x = 0 y x = 7, gira alrededor del eje x. Halla el volumen generado.

a)

Usamos el método de discos: V = π∫[y]² dx.

\[V=\pi\int_0^b y^2\,dx\]

Como la función es constante, sustituimos y por el valor dado.

\[V=\pi\int_0^{7}2^2\,dx\]

Evaluamos la integral definida en el intervalo.

\[V=4\pi[x]_0^{7}=87.96\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{28\pi\approx 87.96}\)

Resumen final:

a) El volumen es 28π unidades cúbicas, aproximadamente 87.96.