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Matemáticas AE NS

Prueba 3 Mayo 2025 TZ1

Práctica de Prueba 3 con investigación estructurada y soluciones desarrolladas.

Prueba 31 hora
2preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 3

  • Duración: 1 hora
  • Se permite calculadora
  • Responde todas las preguntas de investigación estructurada

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
Acceso ilimitado

1. Modelos polinomiales en probabilidad.
Se lanzan dos dados tetraédricos equilibrados (caras 1, 2, 3 y 4) y se registran las puntuaciones. Sea M el máximo de las dos puntuaciones. La distribución de M es:

m1234
P(M = m)1/163/165/167/16

(a) Halla E(M).

Una forma alternativa de representar la distribución de M es mediante el polinomio generador G, donde \(G(t) = \sum_{m=1}^{4} P(M=m)\, t^m\). Para esta distribución, \(G(t) = \tfrac{1}{16}t + \tfrac{3}{16}t^2 + \tfrac{5}{16}t^3 + \tfrac{7}{16}t^4\).

(b) Halla \(G(1)\).

c)
  1. Halla \(G'(t)\).
  2. Demuestra que \(G'(1) = E(M)\).

Ahora, una bolsa contiene dos bolas rojas y tres amarillas. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea X el número total de rojas extraídas. El polinomio generador de X se define como \(G_X(t) = \sum_{x=0}^{2} P(X=x)\, t^x\).

(d) Muestra que \(G_X(t) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{5}t + \tfrac{1}{10}t^2\), dejando claro cómo se obtienen los coeficientes.

Se lanzan una moneda equilibrada y una moneda sesgada. La probabilidad de cruz (tail) en la sesgada es p. Sea Y el número total de cruces.

e) El polinomio generador de Y es \(G_Y(t) = \sum_{y=0}^{2} P(Y=y)\, t^y\). Sabiendo que el coeficiente de \(t^2\) en \(G_Y(t)\) es \(\tfrac{1}{3}\), halla:
  1. el valor de p
  2. una expresión para \(G_Y(t)\).

Sea Z = X + Y. Su polinomio generador cumple \(G_Z(t) = G_X(t)\, G_Y(t)\).

(f) Para Z se tiene \(G’_Z(1) = E(Z)\). Usa este resultado para hallar \(E(Z)\).

Enunciado trabajado.

1. Modelos polinomiales en probabilidad.
Se lanzan dos dados tetraédricos equilibrados (caras 1, 2, 3 y 4) y se registran las puntuaciones. Sea M el máximo de las dos puntuaciones. La distribución de M es:

m1234
P(M = m)1/163/165/167/16

(a) Halla E(M).

Una forma alternativa de representar la distribución de M es mediante el polinomio generador G, donde \(G(t) = \sum_{m=1}^{4} P(M=m)\, t^m\). Para esta distribución, \(G(t) = \tfrac{1}{16}t + \tfrac{3}{16}t^2 + \tfrac{5}{16}t^3 + \tfrac{7}{16}t^4\).

(b) Halla \(G(1)\).

c)
  1. Halla \(G'(t)\).
  2. Demuestra que \(G'(1) = E(M)\).

Ahora, una bolsa contiene dos bolas rojas y tres amarillas. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea X el número total de rojas extraídas. El polinomio generador de X se define como \(G_X(t) = \sum_{x=0}^{2} P(X=x)\, t^x\).

(d) Muestra que \(G_X(t) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{5}t + \tfrac{1}{10}t^2\), dejando claro cómo se obtienen los coeficientes.

Se lanzan una moneda equilibrada y una moneda sesgada. La probabilidad de cruz (tail) en la sesgada es p. Sea Y el número total de cruces.

e) El polinomio generador de Y es \(G_Y(t) = \sum_{y=0}^{2} P(Y=y)\, t^y\). Sabiendo que el coeficiente de \(t^2\) en \(G_Y(t)\) es \(\tfrac{1}{3}\), halla:
  1. el valor de p
  2. una expresión para \(G_Y(t)\).

Sea Z = X + Y. Su polinomio generador cumple \(G_Z(t) = G_X(t)\, G_Y(t)\).

(f) Para Z se tiene \(G’_Z(1) = E(Z)\). Usa este resultado para hallar \(E(Z)\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Por definición, \(E(M)=\sum m\,P(M=m)\).

\[E(M)=1\cdot \tfrac{1}{16}+2\cdot \tfrac{3}{16}+3\cdot \tfrac{5}{16}+4\cdot \tfrac{7}{16} = \frac{1+6+15+28}{16}=\frac{50}{16}=\frac{25}{8}.\]

Respuesta: \(25/8\) (≈ 3.125).

(b) \(G(1)=\sum_{m=1}^4 P(M=m)\,1^m=1\), porque las probabilidades suman 1. Respuesta: \(1\).

(c)(i) Con \(G(t)=\tfrac{1}{16}t+\tfrac{3}{16}t^2+\tfrac{5}{16}t^3+\tfrac{7}{16}t^4\),

\[G'(t)=\tfrac{1}{16}+\tfrac{6}{16}t+\tfrac{15}{16}t^2+\tfrac{28}{16}t^3.\]

(c)(ii) En general, si \(G(t)=\sum_m P(M=m) t^m\), entonces \(G'(t)=\sum_m m\,P(M=m)\, t^{m-1}\). Evaluando en \(t=1\),

\[G'(1)=\sum_m m\,P(M=m)=E(M).\]

Con los valores de (a): \(G'(1)=\tfrac{50}{16}=\tfrac{25}{8}=E(M)\).

(d) Dos extracciones sin reemplazo de 2 rojas (R) y 3 amarillas (A). Total de formas: \(\binom{5}{2}=10\).

  • \(P(X=0)\): ambas A. \(\binom{3}{2}/\binom{5}{2}=\tfrac{3}{10}\).
  • \(P(X=1)\): una R y una A (en cualquier orden). \(\dfrac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}\).
  • \(P(X=2)\): ambas R. \(\binom{2}{2}/\binom{5}{2}=\tfrac{1}{10}\).

Luego \(G_X(t)=\tfrac{3}{10}+\tfrac{3}{5}t+\tfrac{1}{10}t^2\), como se pedía.

(e)(i) \(P(Y=2)=\) (cruz en equilibrada)×(cruz en sesgada) \(=\tfrac{1}{2}\,p\). Dado que el coeficiente de \(t^2\) en \(G_Y\) es \(\tfrac{1}{3}\),

\[\tfrac{1}{2}p=\tfrac{1}{3}\;\Rightarrow\; p=\tfrac{2}{3}.\]

Respuesta: \(p = 2/3\).

(e)(ii) Con \(p=\tfrac{2}{3}\):

  • \(P(Y=0)=\) cara en equilibrada y cara en sesgada \(=\tfrac{1}{2}(1-p)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}\).
  • \(P(Y=2)=\tfrac{1}{3}\) (ya dado).
  • \(P(Y=1)=1-\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}\).

Por tanto,

\[G_Y(t)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{3}t^2.\]

(f) Para sumas independientes, \(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t)\) y \(G’_Z(1)=E(Z)=E(X)+E(Y)\).

De \(G_X\): \(E(X)=0\cdot\tfrac{3}{10}+1\cdot\tfrac{3}{5}+2\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{4}{5}\).

De \(G_Y\): \(E(Y)=0\cdot\tfrac{1}{6}+1\cdot\tfrac{1}{2}+2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{6}\).

Entonces \(E(Z)=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{59}{30}\approx1.97\).

Respuesta: \(59/30\).

Pregunta 2
Acceso ilimitado

2. Curvatura de curvas.
Sea f una función dos veces derivable. La curvatura de su gráfica en x es

\[k(x)=\frac{|f»(x)|}{\big(1+[f'(x)]^2\big)^{3/2}}.\]

Considera la familia de rectas \(g(x)=mx+c\), con \(x\in\mathbb{R}\) y \(m,c\in\mathbb{R}\).

(a) Muestra que \(k(x)=0\) para esta familia.

Considera ahora la familia de cuadráticas \(h(x)=ax^2+bx+c\), con \(a\in\mathbb{R}\), \(a\neq 0\), y \(b,c\in\mathbb{R}\). Para esta familia, se da que

\[k(x)=\frac{2|a|}{\big(1+(2ax+b)^2\big)^{3/2}}.\]

Sea \(k_{\max}\) el valor máximo de \(k(x)\).

b)
  1. Resolviendo \(k'(x)=0\), halla la abscisa donde ocurre \(k_{\max}\). (No es necesario justificar que es un máximo.)
  2. Determina una expresión de \(k_{\max}\) en función de \(a\) solamente.
  3. Indica el valor de \(\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)\) y explica brevemente su significado.
  4. Considera \(p(x)=-2x^2+2x-10\) y \(q(x)=2x^2+5x+25\). Indica cuál de las siguientes es verdadera y justifica:
    A. \(k_{\max}\) de p > \(k_{\max}\) de q; B. \(k_{\max}\) de p < \(k_{\max}\) de q; C. \(k_{\max}\) de p = \(k_{\max}\) de q.

Considera \(v(x)=\ln x\), con \(x\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Para \(v\), se da que

\[k(x)=\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.\]

c)
  1. Determina el valor exacto de x donde se alcanza \(k_{\max}\). (No es necesario justificar que es un máximo.)
  2. Demuestra que \(k_{\max}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.\)

Considera \(w(x)=e^x\). Para \(w\), se da que

\[k(x)=\frac{e^x}{\big(1+e^{2x}\big)^{3/2}}.\]

d)
  1. Demuestra que \(k_{\max}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.\)
  2. Sugiere una razón por la que \(v\) y \(w\) tienen el mismo \(k_{\max}\).

Considera la familia de curvas \(y=\sqrt{r^2-x^2}\), con \(-r\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}r\), \(y\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) constante.

e)
  1. Muestra que \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{r^2}{y^3}\).
  2. En consecuencia, muestra que la curvatura \(k\) es constante para esta familia.

Enunciado trabajado.

2. Curvatura de curvas.
Sea f una función dos veces derivable. La curvatura de su gráfica en x es

\[k(x)=\frac{|f»(x)|}{\big(1+[f'(x)]^2\big)^{3/2}}.\]

Considera la familia de rectas \(g(x)=mx+c\), con \(x\in\mathbb{R}\) y \(m,c\in\mathbb{R}\).

(a) Muestra que \(k(x)=0\) para esta familia.

Considera ahora la familia de cuadráticas \(h(x)=ax^2+bx+c\), con \(a\in\mathbb{R}\), \(a\neq 0\), y \(b,c\in\mathbb{R}\). Para esta familia, se da que

\[k(x)=\frac{2|a|}{\big(1+(2ax+b)^2\big)^{3/2}}.\]

Sea \(k_{\max}\) el valor máximo de \(k(x)\).

b)
  1. Resolviendo \(k'(x)=0\), halla la abscisa donde ocurre \(k_{\max}\). (No es necesario justificar que es un máximo.)
  2. Determina una expresión de \(k_{\max}\) en función de \(a\) solamente.
  3. Indica el valor de \(\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)\) y explica brevemente su significado.
  4. Considera \(p(x)=-2x^2+2x-10\) y \(q(x)=2x^2+5x+25\). Indica cuál de las siguientes es verdadera y justifica:
    A. \(k_{\max}\) de p > \(k_{\max}\) de q; B. \(k_{\max}\) de p < \(k_{\max}\) de q; C. \(k_{\max}\) de p = \(k_{\max}\) de q.

Considera \(v(x)=\ln x\), con \(x\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Para \(v\), se da que

\[k(x)=\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.\]

c)
  1. Determina el valor exacto de x donde se alcanza \(k_{\max}\). (No es necesario justificar que es un máximo.)
  2. Demuestra que \(k_{\max}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.\)

Considera \(w(x)=e^x\). Para \(w\), se da que

\[k(x)=\frac{e^x}{\big(1+e^{2x}\big)^{3/2}}.\]

d)
  1. Demuestra que \(k_{\max}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.\)
  2. Sugiere una razón por la que \(v\) y \(w\) tienen el mismo \(k_{\max}\).

Considera la familia de curvas \(y=\sqrt{r^2-x^2}\), con \(-r\mathrel{\unicode{x003C}}x\mathrel{\unicode{x003C}}r\), \(y\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(r\mathrel{\unicode{x003E}}0\) constante.

e)
  1. Muestra que \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{r^2}{y^3}\).
  2. En consecuencia, muestra que la curvatura \(k\) es constante para esta familia.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Curvatura: \(k(x)=\dfrac{|f»(x)|}{\big(1+[f'(x)]^2\big)^{3/2}}\).

(a) Para \(g(x)=mx+c\): \(g'(x)=m\) y \(g»(x)=0\). Así, \(k(x)=0/(1+m^2)^{3/2}=0\). La curvatura de una recta es nula.

(b)(i) Con \(h(x)=ax^2+bx+c\) y \(k(x)=\dfrac{2|a|}{\big(1+(2ax+b)^2\big)^{3/2}}\), define \(u(x)=2ax+b\). Entonces \(k(x)=2|a|\,(1+u^2)^{-3/2}\) y \(u'(x)=2a\). Derivando,

\[k'(x)=-3|a|\,(1+u^2)^{-5/2}\,u\,u'(x)\propto u(x).\]

Por tanto, \(k'(x)=0\iff u(x)=0\iff 2ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}.\)

(b)(ii) En \(x=-\tfrac{b}{2a}\), se tiene \(u=0\). Luego

\[k_{\max}=\frac{2|a|}{(1+0)^{3/2}}=2|a|.\]

(b)(iii) \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}k(x)=0\), ya que el denominador crece como \(|2ax+b|^3\). Significado: para \(x\) grandes, una cuadrática se aproxima localmente a una recta (curvatura casi nula).

(b)(iv) En \(p\), \(a=-2\Rightarrow |a|=2\). En \(q\), \(a=2\Rightarrow |a|=2\). Así, \(k_{\max}=2|a|=4\) en ambos casos. Opción correcta: C.

(c)(i) Para \(v(x)=\ln x\), \(k(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}\). Derivando: \(k'(x)=(1+x^2)^{-3/2}-3x^2(1+x^2)^{-5/2}=(1+x^2)^{-5/2}(1-2x^2)\). Por tanto, \(k'(x)=0\iff 1-2x^2=0\iff x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) (con \(x\mathrel{\unicode{x003E}}0\)). Respuesta: \(x = 1/\sqrt{2}\).

(c)(ii) En \(x=1/\sqrt{2}\):

\[k_{\max}=\frac{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}{\big(1+\tfrac{1}{2}\big)^{3/2}}=\frac{1/\sqrt{2}}{(3/2)^{3/2}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.\]

Resultado: \(2\sqrt{3}/9\).

(d)(i) Para \(w(x)=e^x\), \(k(x)=\dfrac{e^x}{(1+e^{2x})^{3/2}}\). Derivando y anulando: \(k'(x)=0\iff e^{2x}=\tfrac{1}{2}\iff x=-\tfrac{1}{2}\ln 2\). En este punto,

\[k_{\max}=\frac{e^{-\frac{1}{2}\ln 2}}{\big(1+e^{-\ln 2}\big)^{3/2}}=\frac{2^{-1/2}}{(1+1/2)^{3/2}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.\]

Resultado: \(2\sqrt{3}/9\).

(d)(ii) \(v\) y \(w\) son funciones inversas y sus gráficas son reflejos respecto de \(y=x\); comparten el mismo valor máximo de curvatura.

(e)(i) Con \(y=\sqrt{r^2-x^2}\), \(y\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Primero,

\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(r^2-x^2)^{-1/2}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}=-\frac{x}{y}.\]

Luego, usando cociente/producto o diferenciación implícita,

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{x}{y}\Big)=-\frac{y – x\,y’}{y^2}=-\frac{y – x(-x/y)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{r^2}{y^3}.\]

(e)(ii) La curvatura es

\[k=\frac{|y»|}{\big(1+(y’)^2\big)^{3/2}}=\frac{r^2/y^3}{\Big(1+(x/y)^2\Big)^{3/2}}=\frac{r^2/y^3}{\Big((x^2+y^2)/y^2\Big)^{3/2}}=\frac{r^2/y^3}{(r^2/y^2)^{3/2}}=\frac{1}{r}.\]

Así, \(k\) es constante (independiente de \(x\)) e igual a \(1/r\).