Acceso ilimitado

Matemáticas AE NS

Prueba 3 Mayo 2025 TZ2

Práctica de Prueba 3 con investigación estructurada y soluciones desarrolladas.

Prueba 31 h 15 min

2preguntas

Estudio de caso

Mathematics: Analysis and Approaches NS – Paper 3

Calculadora gráfica requerida. Da respuestas exactas o con 3 cifras significativas, salvo indicación contraria. Usa el folleto de fórmulas de AA (NS) limpio.

Marca máxima: [55]. Contesta todas las preguntas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Acceso ilimitado

Se estudia la familia de curvas dada por \(y=\dfrac{x(x^2-16)}{x^2+16}\).

1. Bosqueja la curva para \(-10\le x\le 10\).
2. Indica las coordenadas de los puntos de corte con el eje \(x\).
3. Indica las coordenadas del máximo local y del mínimo local.
Sea \(f(x)=\dfrac{x(x^2-16)}{x^2+16}\). Determina si \(f\) es impar, par o ninguna. Justifica.
Ahora considera la curva general \(y=\dfrac{x(x^2-A)}{x^2+A}\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(x\in\mathbb{R}\). Demuestra que \(f'(\sqrt{A})\) es independiente de \(A\).
1. Muestra que \(\displaystyle x-\frac{2Ax}{x^2+A}\equiv \frac{x(x^2-A)}{x^2+A}.\)
2. Deduce la ecuación de la asíntota oblicua de la curva.
3. Escribe las coordenadas de un punto de la curva donde la asíntota oblicua sea paralela a la tangente en ese punto.

Considera ahora la ecuación diferencial \(x\ne 0\), \(y\ne \pm x\):

\[x^2\,\frac{dy}{dx}=x- x\,y – y^2.\]

Usando la sustitución \(y=vx\), la EDO se escribe como \(x\,\dfrac{dv}{dx}=1-v^2\).

Usando fracciones parciales, muestra que \(\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+v}{1-v}\right|=\ln A\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\).
De ahí, muestra que una solución de la EDO original puede escribirse como \(\displaystyle x^2= A\,\frac{x+y}{x-y}\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\).
Considera solo el caso \(\dfrac{A}{x-y}\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Muestra que una solución de la EDO original es \(\displaystyle y=\frac{x(x^2-A)}{x^2+A}.\)

Enunciado trabajado.

Se estudia la familia de curvas dada por \(y=\dfrac{x(x^2-16)}{x^2+16}\).

1. Bosqueja la curva para \(-10\le x\le 10\).
2. Indica las coordenadas de los puntos de corte con el eje \(x\).
3. Indica las coordenadas del máximo local y del mínimo local.
Sea \(f(x)=\dfrac{x(x^2-16)}{x^2+16}\). Determina si \(f\) es impar, par o ninguna. Justifica.
Ahora considera la curva general \(y=\dfrac{x(x^2-A)}{x^2+A}\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(x\in\mathbb{R}\). Demuestra que \(f'(\sqrt{A})\) es independiente de \(A\).
1. Muestra que \(\displaystyle x-\frac{2Ax}{x^2+A}\equiv \frac{x(x^2-A)}{x^2+A}.\)
2. Deduce la ecuación de la asíntota oblicua de la curva.
3. Escribe las coordenadas de un punto de la curva donde la asíntota oblicua sea paralela a la tangente en ese punto.

Considera ahora la ecuación diferencial \(x\ne 0\), \(y\ne \pm x\):

\[x^2\,\frac{dy}{dx}=x- x\,y – y^2.\]

Usando la sustitución \(y=vx\), la EDO se escribe como \(x\,\dfrac{dv}{dx}=1-v^2\).

Usando fracciones parciales, muestra que \(\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+v}{1-v}\right|=\ln A\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\).
De ahí, muestra que una solución de la EDO original puede escribirse como \(\displaystyle x^2= A\,\frac{x+y}{x-y}\), con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\).
Considera solo el caso \(\dfrac{A}{x-y}\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Muestra que una solución de la EDO original es \(\displaystyle y=\frac{x(x^2-A)}{x^2+A}.\)

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) Rasgos clave del bosquejo: pasa por el origen, corta el eje \(x\) en \(x=\pm 4\), es impar (simetría rotacional de 180°), y tiene asíntota oblicua \(y=x\). Para \(|x|\) grande, \(y\to x\).

(a)(ii) Ceros del numerador: \(x(x^2-16)=0\Rightarrow x=0,\pm4\). Por tanto: \((-4,0),\ (0,0),\ (4,0)\).

(a)(iii) Derivamos y resolvemos \(y’=0\) con calculadora para \(x\) en \((-4,4)\). Se obtiene máximo local en \((-1.94,\,1.20)\) y mínimo local en \((1.94,\,-1.20)\) (valores a 3 c.s.).

(b) \(f(-x)=\dfrac{-x\big(({-x})^2-16\big)}{({-x})^2+16}= -\dfrac{x(x^2-16)}{x^2+16}=-f(x)\). Luego, \(impar\).

(c) Sea \(f(x)=\dfrac{x(x^2-A)}{x^2+A}\) con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Usando cociente o producto, por ejemplo como cociente: \[f'(x)=\frac{(3x^2-A)(x^2+A)-2x\cdot x(x^2-A)}{(x^2+A)^2}.\] En \(x=\pm\sqrt{A}\) (donde \(x^2=A\)): \[f'(\sqrt{A})=\frac{(3A-A)(2A)-0}{(2A)^2}=\frac{(2A)(2A)}{(2A)^2}=1.\] Por tanto, \(f'(\sqrt{A})=1\), independiente de \(A\).

(d)(i) \[x-\frac{2Ax}{x^2+A}=\frac{x(x^2+A)-2Ax}{x^2+A}=\frac{x(x^2-A)}{x^2+A}.\]

(d)(ii) Como \(\dfrac{2Ax}{x^2+A}\to 0\) cuando \(|x|\to\infty\), la asíntota oblicua es \(y=x\).

(d)(iii) La recta tangente es paralela a \(y=x\) cuando \(y’=1\). Por (c), esto ocurre en \(x=\pm\sqrt{A}\). En la curva, allí \(y=0\). Un punto es \((\sqrt{A},\,0)\) (también vale \(({-}\sqrt{A},0)\)).

EDO con \(y=vx\): Con \(y=vx\), \(\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}\) y queda \(x\dfrac{dv}{dx}=1-v^2\).

(e) \(\displaystyle \int\!\frac{dv}{1-v^2}=\int\!\left(\frac{1}{2}\frac{1}{1+v}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-v}\right)dv=\frac12\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C=\ln A\) con \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Así, \(\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+v}{1-v}\right|=\ln A\).

(f) Separando variables: \(\dfrac{dv}{1-v^2}=\dfrac{dx}{x}\). Integrando, \(\tfrac12\ln\left|\dfrac{1+v}{1-v}\right|=\ln|x|+C\). Elevando, \(\dfrac{1+v}{1-v}=A x^{2}\). Con \(v=\dfrac{y}{x}\): \[\frac{x+y}{x-y}=A x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^2= A\,\frac{x+y}{x-y}.\] Forma pedida: \(x^{2}=A\dfrac{x+y}{x-y}\), \(A\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

(g) De \(x^2= A\dfrac{x+y}{x-y}\): \(x^2(x-y)=A(x+y)\Rightarrow x^3-x^2y=Ax+Ay\). Aislando \(y\): \(x(x^2-A)=y(x^2+A)\Rightarrow \displaystyle y=\frac{x(x^2-A)}{x^2+A}\). Luego \(y=\dfrac{x(x^2-A)}{x^2+A}\).

Pregunta 2

Acceso ilimitado

En un modelo plano, Nairobi está 6000 km al sur de Moscú y Bogotá está 12 500 km al oeste de Nairobi (diagrama).
Después, en un modelo esférico (radio terrestre 6000 km), con origen en el centro, polo norte \(P\) en el eje \(z\), y Nairobi \(N\) en el ecuador y sobre el eje \(y\), se dan los vectores de posición y ángulos como en los diagramas.

1. Halla la distancia de Bogotá a Moscú en el plano.
2. Halla el rumbo (bearing) de Moscú desde Bogotá, en grados.
En el modelo esférico con unidades en miles de km, \(\overrightarrow{OP}=\langle0,0,6\rangle\), \(\overrightarrow{ON}=\langle0,6,0\rangle\).
1. Usa producto escalar para hallar el ángulo entre \(\vec p\) y \(\vec n\).
2. Muestra que la longitud de arco de \(P\) a \(N\) es \(3000\pi\) km.
Sea \(A\) en el ecuador con \(\overrightarrow{OA}=\langle6,0,0\rangle\).
1. Calcula \(\,\vec a\times\vec p\,\).
2. Muestra que el ángulo en el vértice \(A\) del triángulo esférico \(PNA\) es 90°.
Moscú \(M\) tiene \(\overrightarrow{OM}=\langle 6\cos\theta,\,0,\,6\sin\theta\rangle\). La distancia esférica mínima de \(M\) a \(N\) es 6000 km. Muestra que \(\theta=57.3^\circ\) (3 c.s.).
Bogotá \(B\) está al oeste de Nairobi, con vector dado en el enunciado. Halla la distancia esférica mínima de \(B\) a \(M\).
El rumbo de \(B\) a \(M\) se define como el ángulo en \(B\) del triángulo esférico con \(B,M,P\). Usando el método de (c), halla dicho rumbo.

Enunciado trabajado.

1. Halla la distancia de Bogotá a Moscú en el plano.
2. Halla el rumbo (bearing) de Moscú desde Bogotá, en grados.
En el modelo esférico con unidades en miles de km, \(\overrightarrow{OP}=\langle0,0,6\rangle\), \(\overrightarrow{ON}=\langle0,6,0\rangle\).
1. Usa producto escalar para hallar el ángulo entre \(\vec p\) y \(\vec n\).
2. Muestra que la longitud de arco de \(P\) a \(N\) es \(3000\pi\) km.
Sea \(A\) en el ecuador con \(\overrightarrow{OA}=\langle6,0,0\rangle\).
1. Calcula \(\,\vec a\times\vec p\,\).
2. Muestra que el ángulo en el vértice \(A\) del triángulo esférico \(PNA\) es 90°.
Moscú \(M\) tiene \(\overrightarrow{OM}=\langle 6\cos\theta,\,0,\,6\sin\theta\rangle\). La distancia esférica mínima de \(M\) a \(N\) es 6000 km. Muestra que \(\theta=57.3^\circ\) (3 c.s.).
Bogotá \(B\) está al oeste de Nairobi, con vector dado en el enunciado. Halla la distancia esférica mínima de \(B\) a \(M\).
El rumbo de \(B\) a \(M\) se define como el ángulo en \(B\) del triángulo esférico con \(B,M,P\). Usando el método de (c), halla dicho rumbo.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) En el plano, triángulo rectángulo con catetos 6000 y 12 500. \[BM=\sqrt{6000^2+12500^2}=\sqrt{192\,250\,000}\approx 1.3865\times10^4\,\text{km}.\] \(13\,900 km\) (3 c.s.).

(a)(ii) Rumbo desde \(B\) (medido desde el norte, en el sentido horario). \[\tan\theta=\frac{\text{este}}{\text{norte}}=\frac{12500}{6000}\Rightarrow \theta\approx 64.4^\circ.\] \(064.4^\circ\).

(b)(i) \(\vec p\cdot\vec n=\langle0,0,6\rangle\cdot\langle0,6,0\rangle=0\Rightarrow\) ángulo 90°. \(90^\circ\).

(b)(ii) Arco de un cuarto de círculo máximo: \(s=r\,\theta=6000\cdot\tfrac{\pi}{2}=\) \(3000\pi\,\text{km}\).

(c)(i) \(\vec a\times\vec p=\langle6,0,0\rangle\times\langle0,0,6\rangle=\langle0,-36,0\rangle.\)

(c)(ii) \(\vec a\times\vec n=\langle6,0,0\rangle\times\langle0,6,0\rangle=\langle0,0,36\rangle\). Producto escalar \((\vec a\times\vec p)\cdot(\vec a\times\vec n)=0\Rightarrow\) ángulo recto. \(90^\circ\).

(d) Distancia geodésica \(MN=6000\,\text{km}=r\,\theta\Rightarrow \theta=\frac{6000}{6000}=1\,\text{rad}=\) \(57.3^\circ\) (3 c.s.).

(e) Sea \(\alpha=\angle BOM\). Usando vectores dados para \(\vec b\) y \(\vec m\) y \(\theta\) de (d): con producto escalar o la regla del coseno sobre el triángulo central, se obtiene \(\alpha\approx 105.673^\circ\) (\(1.84434\) rad). Distancia esférica: \[s= r\,\alpha=6000\times1.84434\approx 1.1066\times10^4\,\text{km}.\] \(1.11\times10^4\,\text{km}\) (≈ 11 100 km, 3 c.s.).

(f) Rumbo desde \(B\) a \(M\): ángulo en \(B\) del triángulo esférico \(B,M,P\). Usamos \[\cos\beta=\frac{(\vec b\times\vec m)\cdot(\vec b\times\vec p)}{\,\lVert\vec b\times\vec m\rVert\;\lVert\vec b\times\vec p\rVert\,} \] con \(\theta=57.3^\circ\). Evaluando con calculadora se obtiene \(\beta\approx 29.1^\circ\). Rumbo: \(029.1^\circ\).