Acceso ilimitado

Matemáticas AE NS

Prueba 2 Mayo 2025 TZ2

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 22 horas

12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 2

Duración: 2 horas
Se permite calculadora
Sección A y Sección B
Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o correctas a tres cifras significativas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1Sección A

Acceso ilimitado

La siguiente tabla muestra las horas semanales de juego, x, y de sueño, y, de seis niños.

Juego (x)	11	13	14	17	22	24
Sueño (y)	62	65	68	75	84	87

La recta de regresión de y sobre x es y = ax + b.

Halla a y b.
Usa la recta para estimar el tiempo de sueño si el tiempo de juego es 20 horas semanales.

Enunciado trabajado.

La siguiente tabla muestra las horas semanales de juego, x, y de sueño, y, de seis niños.

Juego (x)	11	13	14	17	22	24
Sueño (y)	62	65	68	75	84	87

La recta de regresión de y sobre x es y = ax + b.

Halla a y b.
Usa la recta para estimar el tiempo de sueño si el tiempo de juego es 20 horas semanales.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Con calculadora gráfica se obtiene la recta de regresión de y sobre x.

Resultado: \(a \approx 1.98\), \(b \approx 40.2\). Así, \(\;y = 1.98x + 40.2\).

(b) Sustituimos \(x=20\):

\[ y = 1.98(20) + 40.2 = 39.6 + 40.2 = 79.8. \]

Estimación: \(79.8 h\).

Pregunta 2Sección A

Acceso ilimitado

Una pirámide recta de base cuadrada tiene vértice V(1, 7, 0). El centro de la base ABCD es X(−3, 4, 2).

(a) Halla \(VX\).

La base cuadrada tiene lado de 5 cm.

(b) Halla \(AC\).

Pirámide recta de base cuadrada V-ABCD con X como centro de la base.

Enunciado trabajado.

Una pirámide recta de base cuadrada tiene vértice V(1, 7, 0). El centro de la base ABCD es X(−3, 4, 2).

(a) Halla \(VX\).

La base cuadrada tiene lado de 5 cm.

(b) Halla \(AC\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(VX = \|\overrightarrow{VX}\|\) con \(\overrightarrow{VX} = X – V = (-4, -3, 2)\).

\[ VX = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{29} = 5.385\ldots \Rightarrow \; 5.39. \]\(5.39\)

(b) La diagonal de un cuadrado de lado 5 es \(AC = 5\sqrt{2} \approx 7.07\text{ cm}\)\(7.07\text{ cm}\).

(c) En la pirámide recta, \(\overline{VX}\) es perpendicular a la base. En el triángulo rectángulo \(\triangle VXC\), \(\tan\theta = \dfrac{VX}{XC}\). Como \(XC\) es la semidiagonal de la base, \(XC = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{\sqrt{2}}\).

\[ \tan\theta = \frac{\sqrt{29}}{5/\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{58}{25}}. \]

Entonces \(\theta \approx 56.7^\circ\) (\(0.990\) rad). Respuesta: \(56.7°\).

Pregunta 3Sección A

Acceso ilimitado

La derivada de una función f es \(f'(x) = 4 + 2x – 3e^{x}\), con \(x \in \mathbb{R}\).

Halla los valores de x para los que f es decreciente.
Halla los valores de x para los que la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

Enunciado trabajado.

La derivada de una función f es \(f'(x) = 4 + 2x – 3e^{x}\), con \(x \in \mathbb{R}\).

Halla los valores de x para los que f es decreciente.
Halla los valores de x para los que la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) f es decreciente cuando \(f'(x) \mathrel{\unicode{x003C}} 0\):

\[ 4 + 2x – 3e^{x} \mathrel{\unicode{x003C}} 0. \]

Resolvemos con GDC hallando las raíces de \(4 + 2x – 3e^{x} = 0\): \(x_1 \approx -1.7355\), \(x_2 \approx 0.5180\). Como el término \(−3e^{x}\) domina para \(x\) muy grande, \(f’\) es negativa fuera del intervalo entre las raíces.

Por tanto, \(f\) decrece para \(x \le -1.74 y x \ge 0.518\) (aprox.).

(b) \(f»(x) = 2 – 3e^{x}\). La concavidad hacia arriba exige \(f»(x) \mathrel{\unicode{x003E}} 0\):

\[ 2 – 3e^{x} \mathrel{\unicode{x003E}} 0 \;\Longleftrightarrow\; e^{x} \mathrel{\unicode{x003C}} \tfrac{2}{3} \;\Longleftrightarrow\; x \mathrel{\unicode{x003C}} \ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right) \approx -0.405. \]

Así, cóncava hacia arriba para \(x \mathrel{\unicode{x003C}} -0.405\).

Pregunta 4Sección A

Acceso ilimitado

Alex compra un coche por €30 000. Su valor se deprecia un 15% anual.

Halla el valor del coche tras 10 años (a 2 decimales).

Alex invierte €50 000 en una cuenta con interés compuesto del 1.5% mensual. La inflación es 0.8% mensual.

Halla el número de meses necesario para que el valor real supere por primera vez €55 000.

Enunciado trabajado.

Alex compra un coche por €30 000. Su valor se deprecia un 15% anual.

Halla el valor del coche tras 10 años (a 2 decimales).

Alex invierte €50 000 en una cuenta con interés compuesto del 1.5% mensual. La inflación es 0.8% mensual.

Halla el número de meses necesario para que el valor real supere por primera vez €55 000.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Depreciación geométrica: \(V = 30000(0.85)^{10}\).

\[ V = 30000(0.85)^{10} = 5906.232\ldots \Rightarrow \; \text{€}5906.23. \]\(\text{€}5906.23\)

(b) Tasa real mensual multiplicativa: \(r = \dfrac{1.015}{1.008} = 1.00694\ldots\).

Buscamos \(n\) tal que \(50000\, r^{\,n} \mathrel{\unicode{x003E}} 55000\). Con logaritmos:

\[ n \mathrel{\unicode{x003E}} \frac{\ln(1.1)}{\ln(1.015/1.008)} = 13.77\ldots \Rightarrow \; 14 meses. \]\(14 meses\)

Pregunta 5Sección A

Acceso ilimitado

Una partícula P se mueve en línea recta con velocidad \(v(t) = e^{-\sin t}\cos(2t)\) m s\(^{-1}\), para \(0 \le t \le 5\).

Halla la velocidad máxima (módulo) de P.
Halla la distancia total recorrida por P.
Halla la aceleración cuando P cambia de sentido por segunda vez.

Enunciado trabajado.

Una partícula P se mueve en línea recta con velocidad \(v(t) = e^{-\sin t}\cos(2t)\) m s\(^{-1}\), para \(0 \le t \le 5\).

Halla la velocidad máxima (módulo) de P.
Halla la distancia total recorrida por P.
Halla la aceleración cuando P cambia de sentido por segunda vez.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) La rapidez máxima ocurre cuando \(|v|\) es máximo. El factor \(e^{-\sin t}\) es máximo cuando \(\sin t = -1\) (\(t = 3\pi/2\)), y \(|\cos(2t)| = 1\) allí. Por tanto, \(|v|_{\max} = e^{-(-1)} = e \approx 2.72\,\text{m s}^{-1}\)\(e \approx 2.72\,\text{m s}^{-1}\).

(b) Distancia total: \(\displaystyle \int_0^5 |v(t)|\,dt\). Con GDC (integral de valor absoluto):

\(3.85 m\) (aprox.).

(c) Cambio de sentido cuando \(v=0\). Aquí \(\cos(2t)=0 \Rightarrow 2t=\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2},\ldots\). El segundo cambio en \(t = \tfrac{3\pi}{4}\).

La aceleración \(a=v’\). Como \(v = e^{-\sin t}\cos(2t)\),

\[ v'(t) = e^{-\sin t}\big(-\cos t\,\cos(2t) – 2\sin(2t)\big). \]

En \(t=3\pi/4\), \(\cos(2t)=0\) y \(\sin(2t)=-1\), así

\[ a = e^{-\sin(3\pi/4)}\cdot 2 = 2e^{-\sqrt{2}/2} \approx 0.986\,\text{m s}^{-2}. \]\(0.986\,\text{m s}^{-2}\)

Pregunta 6Sección A

Acceso ilimitado

En la figura, O es el centro de una circunferencia de radio r cm. Los puntos A y B están en la circunferencia y \(\angle A\hat{O}B = \theta\) rad. El sector OAB se divide en un segmento sombreado P y un triángulo Q. El área de P es 12.8 cm\(^2\) y las áreas de P:Q están en razón 3:5. Halla r.

Sector OAB dividido en segmento sombreado P y triángulo Q.

Enunciado trabajado.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Como \(P:Q = 3:5\), el sector total es 8 partes y \(\text{área}(P) = \tfrac{3}{8}\,\text{área}(\text{sector})\).

Fórmulas: \(\text{sector} = \tfrac{1}{2}r^2\theta\), \(\text{segmento} = \tfrac{1}{2}r^2(\theta – \sin\theta)\).

Entonces \(\theta – \sin\theta = \tfrac{3}{8}\,\theta\;\Rightarrow\; \tfrac{5}{8}\,\theta = \sin\theta\). Resolvemos numéricamente: \(\theta \approx 1.59934\,\text{rad}\).

Usamos el área del segmento: \(\tfrac{1}{2}r^2(\theta – \sin\theta) = 12.8\). Sustituyendo \(\theta\):

\[ \tfrac{1}{2}r^2(1.59934 – \sin 1.59934) = 12.8 \;\Rightarrow\; r \approx 6.53\,\text{cm}. \]\(6.53\,\text{cm}\)

Pregunta 7Sección A

Acceso ilimitado

Una sucesión geométrica tiene primer término 80 y cuarto término 0.74088.

Halla el segundo término.

Los dos primeros términos de esta geométrica son, respectivamente, el primer y el undécimo término de una sucesión aritmética. Sea \(S_n\) la suma de los primeros n términos de la aritmética.

Halla el mayor valor de \(S_n\) (da tu respuesta a 2 decimales).

Enunciado trabajado.

Una sucesión geométrica tiene primer término 80 y cuarto término 0.74088.

Halla el segundo término.

Los dos primeros términos de esta geométrica son, respectivamente, el primer y el undécimo término de una sucesión aritmética. Sea \(S_n\) la suma de los primeros n términos de la aritmética.

Halla el mayor valor de \(S_n\) (da tu respuesta a 2 decimales).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(u_1 = 80\), \(u_4 = 80r^3 = 0.74088\) ⇒ \(r^3 = 0.009261\) ⇒ \(r = 0.21\). Segundo término: \(u_2 = 80\cdot 0.21 = 16.8.\)\(16.8\)

(b) En la aritmética: \(a_1 = 80\), \(a_{11} = 16.8\). Entonces \(a_{11} = a_1 + 10d\) ⇒ \(16.8 = 80 + 10d\) ⇒ \(d = -6.32\).

Como los términos decrecen, \(S_n\) es máximo mientras \(a_n \mathrel{\unicode{x003E}} 0\):

\[ a_n = 80 + (n-1)(-6.32) \mathrel{\unicode{x003E}} 0 \;\Rightarrow\; n \mathrel{\unicode{x003C}} 13.658\ldots \Rightarrow n_{\max} = 13. \]

\[ S_{13} = \frac{13}{2}\big(2\cdot 80 + 12\cdot (-6.32)\big) = 547.04. \]\(547.04\)

Pregunta 8Sección A

Acceso ilimitado

Las calificaciones de un test se resumen así, donde \(p, q \in \mathbb{Z}^+\):

Nota	20	35	p
Frecuencia	12	q	8

La media es 31 y la varianza es 124. Halla p y q.

Enunciado trabajado.

Las calificaciones de un test se resumen así, donde \(p, q \in \mathbb{Z}^+\):

Nota	20	35	p
Frecuencia	12	q	8

La media es 31 y la varianza es 124. Halla p y q.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Total de datos: \(N = 12 + q + 8 = 20 + q\).

Media 31:

\[ \frac{20\cdot 12 + 35q + p\cdot 8}{20 + q} = 31 \;\Rightarrow\; 4q + 8p = 380 \;\Rightarrow\; q + 2p = 95. \]

Varianza 124 usando \(E[X^2] – \mu^2\):

\[ \frac{12\cdot 20^2 + q\cdot 35^2 + 8p^2}{20+q} – 31^2 = 124. \]

Sustituimos \(q = 95 – 2p\) y resolvemos. Se obtiene \(p = 45\), y entonces \(q = 95 – 2\cdot 45 = 5\).

Respuesta: \(p = 45, q = 5\).

Pregunta 9Sección A

Acceso ilimitado

La recta L tiene ecuación vectorial \(\mathbf{r} = (0,0,2) + t(1,0,1)\), con \(t \in \mathbb{R}\). El plano P contiene a L y pasa por el punto \((2,1,5)\).

Muestra que la ecuación cartesiana de P es \(x + y – z = -2\).

Considera los tres planos:

\(\;P_1: x + y – z = -2\), \(\;P_2: 2x + by – z = 3\), \(\;P_3: x – y + 2z = d\), donde \(b, d \mathrel{\unicode{x003E}} 0\).

Se sabe que los tres planos se cortan en una recta. Halla b y d.

Enunciado trabajado.

La recta L tiene ecuación vectorial \(\mathbf{r} = (0,0,2) + t(1,0,1)\), con \(t \in \mathbb{R}\). El plano P contiene a L y pasa por el punto \((2,1,5)\).

Muestra que la ecuación cartesiana de P es \(x + y – z = -2\).

Considera los tres planos:

\(\;P_1: x + y – z = -2\), \(\;P_2: 2x + by – z = 3\), \(\;P_3: x – y + 2z = d\), donde \(b, d \mathrel{\unicode{x003E}} 0\).

Se sabe que los tres planos se cortan en una recta. Halla b y d.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Tomamos dos vectores directores en el plano: el de la recta \(\vec{v}_1 = (1,0,1)\) y \(\vec{v}_2 = (2,1,3)\) que une \((0,0,2)\) con \((2,1,5)\). Un vector normal es \(\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2\).

\[ \vec{n} = (1,0,1) \times (2,1,3) = ( -1,\, -1,\, 1 ) \sim (1,1,-1). \]

Con \(\vec{n}=(1,1,-1)\) y pasando por \((2,1,5)\):

\[ 1(x-2) + 1(y-1) – 1(z-5) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y – z = -2. \]

(b) Para que \(P_1,P_2,P_3\) se corten en una recta, sus normales deben ser coplanarios (determinante cero):

\[ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & b & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 3b – 4 = 0 \;\Rightarrow\; b = \tfrac{4}{3}. \]

Además, \(P_2\) debe ser combinación lineal de \(P_1\) y \(P_3\): sea \(P_2 = \alpha P_1 + \beta P_3\). De coeficientes, \(\alpha = 5/3\), \(\beta = 1/3\). En términos independientes:

\[ 3 = \alpha(-2) + \beta d = -\tfrac{10}{3} + \tfrac{d}{3} \;\Rightarrow\; d = 19, \quad b = \tfrac{4}{3}. \]\(19\)\(\tfrac{4}{3}\)

Pregunta 10Sección B

Acceso ilimitado

En el huerto Adam’s Apple Orchard los pesos de las manzanas, \(W\) (g), se distribuyen Normal\(\,(175, 8^2)\).

Halla \(P(W \mathrel{\unicode{x003C}} 170)\).
Se sabe que el 20% pesa más de \(w\) gramos. Halla \(w\), a 4 cifras significativas.
Se considera “premium” si \(170 \le W \le 185\). Halla el porcentaje de manzanas premium.
Se llenan cajas con 40 manzanas al azar. Halla \(P(\text{al menos 30 premium})\).
Si se eligen 10 cajas al azar, halla la probabilidad de que exactamente 4 tengan al menos 30 premium.

En un huerto vecino, los pesos \(M\) (g) son Normal\((m, s^2)\). Se sabe que:

el 82% es premium;
el porcentaje con peso menor a 170 g es el doble del porcentaje mayor a 185 g.

Halla \(m\).

Enunciado trabajado.

En el huerto Adam’s Apple Orchard los pesos de las manzanas, \(W\) (g), se distribuyen Normal\(\,(175, 8^2)\).

Halla \(P(W \mathrel{\unicode{x003C}} 170)\).
Se sabe que el 20% pesa más de \(w\) gramos. Halla \(w\), a 4 cifras significativas.
Se considera “premium” si \(170 \le W \le 185\). Halla el porcentaje de manzanas premium.
Se llenan cajas con 40 manzanas al azar. Halla \(P(\text{al menos 30 premium})\).
Si se eligen 10 cajas al azar, halla la probabilidad de que exactamente 4 tengan al menos 30 premium.

En un huerto vecino, los pesos \(M\) (g) son Normal\((m, s^2)\). Se sabe que:

el 82% es premium;
el porcentaje con peso menor a 170 g es el doble del porcentaje mayor a 185 g.

Halla \(m\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) \(Z = \dfrac{W-175}{8}\). Para \(W=170\): \(z=-0.625\). Con GDC/tablas, \(P(W\mathrel{\unicode{x003C}}170)=0.266.\)\(0.266\)

(b) \(P(W\mathrel{\unicode{x003E}}w)=0.2 \Rightarrow P(W\le w)=0.8\). \(z_{0.8}=0.8416\). \(w=175+0.8416\cdot 8=181.7328\Rightarrow 181.7\,\text{g}\)\(181.7\,\text{g}\) (4 c.s.).

(c) \(P(170\le W\le 185)=\Phi(\tfrac{185-175}{8})-\Phi(\tfrac{170-175}{8})=\Phi(1.25)-\Phi(-0.625)\approx 0.628\; (62.8\%).\)\(0.628\; (62.8\%)\)

(d) \(X\sim\mathrm{Bin}(40, p)\) con \(p=0.628364\ldots\). \(P(X\ge 30)=1-\sum_{k=0}^{29}\binom{40}{k}p^k(1-p)^{40-k} \approx 0.0739.\)\(0.0739\)

(e) \(Y\sim\mathrm{Bin}(10, 0.073861\ldots)\). \(P(Y=4)=\binom{10}{4}(0.073861)^4(1-0.073861)^6\approx 0.00394.\)\(0.00394\)

(f) Sea A = \(P(M\mathrel{\unicode{x003C}}170)\), B = \(P(M\mathrel{\unicode{x003E}}185)\). Dado 82% premium: \(A + B = 0.18\). Además \(A = 2B\) ⇒ \(3B=0.18\Rightarrow B=0.06\), \(A=0.12\).

Estandarizando: \(\dfrac{170-m}{s}=z_{0.12}=-1.17499\), \(\dfrac{185-m}{s}=z_{0.94}=1.55477\). Restando: \(\dfrac{15}{s}=2.72976\Rightarrow s\approx 5.496\). Entonces \(m=185-1.55477\,s\approx 176\,\text{g}.\)\(176\,\text{g}\)

Pregunta 11Sección B

Acceso ilimitado

(a) En un grupo de 15 estudiantes se forman 3 equipos de 5, indistinguibles (solo importa la partición). ¿De cuántas formas puede hacerse?

Sea \(f(t) = k\, t\, e^{-3t}\) para \(0 \le t \le a\), con \(k\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(a\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

Usa integración por partes para mostrar que \(\displaystyle \int_0^a f(t)\,dt = \dfrac{k}{9}\big[1 – (3a+1)e^{-3a}\big]\).
1. Evalúa \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{3x+1}{e^{3x}}\).
2. Usando (b), halla \(k\) para que \(f\) sea una función de densidad de probabilidad en \([0,\infty)\).
Con ese valor de \(k\), encuentra la mediana \(m\) tal que \(\int_0^m f(t)\,dt = 0.5\). Da \(m\) en minutos (3 d.p.) y en segundos.

Enunciado trabajado.

(a) En un grupo de 15 estudiantes se forman 3 equipos de 5, indistinguibles (solo importa la partición). ¿De cuántas formas puede hacerse?

Sea \(f(t) = k\, t\, e^{-3t}\) para \(0 \le t \le a\), con \(k\mathrel{\unicode{x003E}}0\) y \(a\mathrel{\unicode{x003E}}0\).

Usa integración por partes para mostrar que \(\displaystyle \int_0^a f(t)\,dt = \dfrac{k}{9}\big[1 – (3a+1)e^{-3a}\big]\).
1. Evalúa \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{3x+1}{e^{3x}}\).
2. Usando (b), halla \(k\) para que \(f\) sea una función de densidad de probabilidad en \([0,\infty)\).
Con ese valor de \(k\), encuentra la mediana \(m\) tal que \(\int_0^m f(t)\,dt = 0.5\). Da \(m\) en minutos (3 d.p.) y en segundos.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Número de particiones: \(\dfrac{15!}{5!\,5!\,5!\,3!} = 126126.\)\(126126\)

(b) Por partes con \(u=t\), \(dv=e^{-3t}dt\) ⇒ \(du=dt\), \(v=-\tfrac{1}{3}e^{-3t}\):

\[ \int_0^a k\, t\, e^{-3t}dt = k\Big[ -\tfrac{t}{3}e^{-3t} \Big]_0^a + k\int_0^a \tfrac{1}{3}e^{-3t}dt = \frac{k}{9}\Big[1 – (3a+1)e^{-3a}\Big]. \]

(c)(i) \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{e^{3x}} = 0\) (exponencial domina al polinomio).

(ii) Para \([0,\infty)\): \(\int_0^{\infty} f(t)dt = \lim_{a\to\infty} \dfrac{k}{9}[1-(3a+1)e^{-3a}] = \dfrac{k}{9}\). Igualando a 1: \(k = 9.\)\(9\)

(d) Mediana \(m\): \(\dfrac{9}{9}[1-(3m+1)e^{-3m}] = 0.5\Rightarrow (3m+1)e^{-3m} = 0.5\). Con GDC, \(m \approx 0.559448\,\text{min}\). En segundos: \(0.559448\times 60 \approx 33.5669\,\text{s}\).

Respuesta: \(m = 0.559\,\text{min} \;\; (33.6\,\text{s})\).

Pregunta 12Sección B

Acceso ilimitado

Sea la curva \(C\) dada implícitamente por

\(4x^2 + y^2 – 24x + 4y + 20 = 0\).

Demuestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4(3-x)}{y+2}\).
Determina los valores de \(x\) para los que \(\dfrac{dy}{dx}\) no está definida en \(C\).
Sea \(A\) el punto de \(C\) con \(x=3\). Halla las coordenadas de \(A\).
Para qué valores de \(m\) la recta \(y = mx\) es tangente a \(C\).
La recta \(y = -4x\) corta a \(C\) en \(B\). Halla las coordenadas de \(B\).
Sea \(R\) la región delimitada por \(C\) y el eje \(y\) entre \(y=-4\) y el valor de \(y\) en \(A\). Calcula el volumen generado al girar \(R\) alrededor del eje \(y\). (Da tu respuesta a 3 s.f.)

Enunciado trabajado.

Sea la curva \(C\) dada implícitamente por

\(4x^2 + y^2 – 24x + 4y + 20 = 0\).

Demuestra que \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4(3-x)}{y+2}\).
Determina los valores de \(x\) para los que \(\dfrac{dy}{dx}\) no está definida en \(C\).
Sea \(A\) el punto de \(C\) con \(x=3\). Halla las coordenadas de \(A\).
Para qué valores de \(m\) la recta \(y = mx\) es tangente a \(C\).
La recta \(y = -4x\) corta a \(C\) en \(B\). Halla las coordenadas de \(B\).
Sea \(R\) la región delimitada por \(C\) y el eje \(y\) entre \(y=-4\) y el valor de \(y\) en \(A\). Calcula el volumen generado al girar \(R\) alrededor del eje \(y\). (Da tu respuesta a 3 s.f.)

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Diferenciando implícitamente:

\[ 8x + 2y\,\frac{dy}{dx} – 24 + 4\,\frac{dy}{dx} = 0 \;\Rightarrow\; (2y+4)\frac{dy}{dx} = 24 – 8x. \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{24-8x}{2y+4} = \frac{4(3-x)}{y+2}. \]

(b) \(\dfrac{dy}{dx}\) indefinida cuando \(y+2=0\Rightarrow y=-2\). En la curva, \(y=-2\) da

\[ 4x^2 + (-2)^2 – 24x + 4(-2) + 20 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 – 6x + 4 = 0, \]

cuyas soluciones son \(x = 3 \pm \sqrt{5}\). Por tanto, \(3-\sqrt{5} \le x \le 3+\sqrt{5}\).

(c) Con \(x=3\): \(4(3)^2 + y^2 – 24(3) + 4y + 20 = 0 \Rightarrow y^2 + 4y – 16 = 0\). Así, \(y = -2 \pm 2\sqrt{5}\). El punto superior

\(A(3,\, -2 + 2\sqrt{5}) \approx (3,\,2.47)\).

(d) Sustituyendo \(y=mx\) en la ecuación de \(C\): \((4+m^2)x^2 + (4m – 24)x + 20 = 0\). Para tangencia, discriminante cero:

\[ (4m-24)^2 – 4(4+m^2)\cdot 20 = 0 \;\Rightarrow\; m = -4 \text{ o } 1. \]\(-4 \text{ o } 1\)

(e) Con \(y=-4x\): \(4x^2 + 16x^2 – 24x – 16x + 20 = 0 \Rightarrow 20x^2 – 40x + 20 = 0\) ⇒ \(x=1\), y entonces \(y=-4\). \(B(1, -4)\).

(f) Reescribimos \(x\) como función de \(y\). De

\[ 4(x-3)^2 + (y+2)^2 = 20 \;\Rightarrow\; x = 3 \pm \tfrac{1}{2}\sqrt{16 – 4y – y^2}. \]

El radio del disco respecto al eje \(y\) es la rama derecha (radio positivo): \(x_{\text{der}} = 3 – \tfrac{1}{2}\sqrt{16 – 4y – y^2}\) en el intervalo \(y\in[-4,\, -2+2\sqrt{5}]\).

Volumen por discos: \(\displaystyle V = \pi \int_{-4}^{-2+2\sqrt{5}} \big(x_{\text{der}}(y)\big)^2\,dy\). Con GDC,

\(V \approx 29.7\) (unid. cúbicas).