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Matemáticas AE NS

Prueba 2 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 22 horas

12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Superior — Prueba 2

Duración: 2 horas
Se permite calculadora
Sección A y Sección B
Salvo indicación contraria, da respuestas exactas o correctas a tres cifras significativas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1Sección A

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En el triángulo ABC se tiene AB = 7, AC = 12 y ∠BÂC = 116°.

(a) Halla BC.

(b) Halla ∠AĈB.

Triángulo ABC con AB=7, AC=12 y ángulo BAC=116 grados.

Enunciado trabajado.

En el triángulo ABC se tiene AB = 7, AC = 12 y ∠BÂC = 116°.

(a) Halla BC.

(b) Halla ∠AĈB.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Regla del coseno en el ángulo A:

\[BC^2 = 7^2 + 12^2 – 2(7)(12)\cos(116^\circ).\]

Como \(\cos 116^\circ \mathrel{\unicode{x003C}} 0\),

\[BC^2 = 193 – 168\cos(116^\circ) \approx 193 + 73.648 = 266.648.\]

\[BC \approx 16.329 \Rightarrow \; 16.3 (u.).\]\(16.3\)

(b) Regla del seno para el ángulo en C:

\[\frac{\sin \angle ACB}{AB} = \frac{\sin \angle A}{BC} = \frac{\sin 116^\circ}{16.329}.\]

Entonces \(\sin \angle ACB = 7\cdot \frac{\sin 116^\circ}{16.329} \approx 0.385\),

\[\angle ACB \approx \arcsin(0.385) \approx 22.7^\circ.\]\(22.7^\circ\)

Pregunta 2Sección A

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Sea \(f(x)=2x^4-6x^3+px^2+qx-2\), con \(p,q\in\mathbb{R}\). Se sabe que \((x-1)\) es un factor de \(f\) y que el resto al dividir \(f(x)\) por \((x-3)\) es \(-2\). Halla \(p\) y \(q\).

Enunciado trabajado.

Sea \(f(x)=2x^4-6x^3+px^2+qx-2\), con \(p,q\in\mathbb{R}\). Se sabe que \((x-1)\) es un factor de \(f\) y que el resto al dividir \(f(x)\) por \((x-3)\) es \(-2\). Halla \(p\) y \(q\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Por el teorema del factor y del resto:

\[f(1)=0 \Rightarrow 2-6+p+q-2=0 \Rightarrow p+q=6.\]

\[f(3)=-2 \Rightarrow 2\cdot 81-6\cdot 27+9p+3q-2=-2 \Rightarrow 9p+3q=0.\]

Del sistema \(p+q=6\) y \(3p+q=0\): restando, \(2p=-6\Rightarrow p=-3\), y entonces \(q=9\).

Respuesta: \(p=-3,\; q=9\).

Pregunta 3Sección A

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Un supermercado analiza las visitas semanales X de sus clientes. La distribución es:

x	1	2	3	4	5	≥ 6
P(X=x)	1.5a	2a	0.281	a	0.026	0

Halla a.
Escribe la moda de X.

(b) Halla la media de X.

(c) El gerente encuesta a los primeros 50 clientes que llegan en un día. Identifica el método de muestreo (elige uno): Aleatorio simple / Sistemático / Conveniencia / Cuotas / Estratificado.

Enunciado trabajado.

Un supermercado analiza las visitas semanales X de sus clientes. La distribución es:

x	1	2	3	4	5	≥ 6
P(X=x)	1.5a	2a	0.281	a	0.026	0

Halla a.
Escribe la moda de X.

(b) Halla la media de X.

(c) El gerente encuesta a los primeros 50 clientes que llegan en un día. Identifica el método de muestreo (elige uno): Aleatorio simple / Sistemático / Conveniencia / Cuotas / Estratificado.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) Suma de probabilidades = 1:

\[1.5a+2a+0.281+a+0.026=1 \Rightarrow 4.5a=0.693 \Rightarrow a= 0.154.\]\(0.154\)

(a)(ii) La moda es el x con mayor probabilidad: \(2a=0.308\) es la mayor. \(2\).

(b) Media \(\mathbb{E}[X]=\sum x\,P(X=x)\):

\[1(1.5a)+2(2a)+3(0.281)+4(a)+5(0.026)\big|_{a=0.154}\]

\[=0.231+0.616+0.843+0.616+0.130= 2.44.\]\(2.44\)

Pregunta 4Sección A

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En la circunferencia de centro O, los puntos A, B y C están sobre la circunferencia. El área del triángulo AOB es 26 cm² y ∠AÔB = 2.51 rad. Halla la longitud del arco ACB (arco mayor).

Circunferencia con centro O y puntos A, B y C.

Enunciado trabajado.

En la circunferencia de centro O, los puntos A, B y C están sobre la circunferencia. El área del triángulo AOB es 26 cm² y ∠AÔB = 2.51 rad. Halla la longitud del arco ACB (arco mayor).

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Área de un triángulo con lados radio: \(\dfrac12 r^2\sin\theta=26\) con \(\theta=2.51\).

\[\tfrac12 r^2\sin(2.51)=26 \Rightarrow r^2=\frac{52}{\sin(2.51)}.\]

\[r\approx 9.3846\,\text{cm}.\]

Arco mayor: \(s=r(2\pi-\theta)=r(2\pi-2.51)\).

\[s\approx 9.3846\times 3.77319= 35.4\ \text{cm}.\]\(35.4\ \text{cm}\)

Pregunta 5Sección A

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Sea \(f(x)=\dfrac{(2x+a)^3}{(x+5)^2}\), con \(x\neq -5\) y \(a\in\mathbb{R}^+\).

(a) Halla una expresión para \(f'(x)\) en términos de \(a\).

(b) Cuando \(x=1\), la tangente forma un ángulo de 70° con la horizontal. Halla los dos posibles valores de \(a\).

Enunciado trabajado.

Sea \(f(x)=\dfrac{(2x+a)^3}{(x+5)^2}\), con \(x\neq -5\) y \(a\in\mathbb{R}^+\).

(a) Halla una expresión para \(f'(x)\) en términos de \(a\).

(b) Cuando \(x=1\), la tangente forma un ángulo de 70° con la horizontal. Halla los dos posibles valores de \(a\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Escribimos \(f(x)=(2x+a)^3(x+5)^{-2}\) y derivamos (regla del producto):

\[f'(x)=6(2x+a)^2(x+5)^{-2}-2(2x+a)^3(x+5)^{-3}.\]

Factorizando,

\[f'(x)=2(2x+a)^2(x+5)^{-3}\,\big(3(x+5)-(2x+a)\big)=\frac{2(2x+a)^2\,(x-a+15)}{(x+5)^3}.\]

(b) Pendiente de la tangente en \(x=1\): \(f'(1)=\tan 70^\circ\).

\[\frac{2(2+a)^2\,(16-a)}{6^3}=\tan 70^\circ.\]

Resolvemos la cúbica numéricamente (GDC):

\[a\approx 2.73 \quad \text{o} \quad a\approx 15.0.\]\(2.73\)\(15.0\)

Pregunta 6Sección A

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Sean los vectores \(\mathbf{a}=(-5,\,7)\), \(\mathbf{b}=(-8,\,9)\) y \(\mathbf{c}=(p,\,-6)\), con \(p\in\mathbb{R}\).

a) Halla, en términos de \(p\):

\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\)
\(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\).

(b) El ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{c}\) es igual al ángulo entre \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\). Halla \(p\).

Enunciado trabajado.

Sean los vectores \(\mathbf{a}=(-5,\,7)\), \(\mathbf{b}=(-8,\,9)\) y \(\mathbf{c}=(p,\,-6)\), con \(p\in\mathbb{R}\).

a) Halla, en términos de \(p\):

\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\)
\(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\).

(b) El ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{c}\) es igual al ángulo entre \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\). Halla \(p\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

a) Productos escalares:

\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=(-5)p+7(-6)= -5p-42\).
\(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=(-8)p+9(-6)= -8p-54\).

(b) Igualamos cosenos de los ángulos:

\[\frac{-5p-42}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{c}\rVert}=\frac{-8p-54}{\lVert\mathbf{b}\rVert\,\lVert\mathbf{c}\rVert}.\]

Como \(\lVert\mathbf{c}\rVert\neq 0\), se cancela:

\[\frac{-5p-42}{\sqrt{74}}=\frac{-8p-54}{\sqrt{145}}.\]

Resolviendo, \(p\approx 4.787\Rightarrow p=4.79 (3 c.s.).\)\(p=4.79\)

Pregunta 7Sección A

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En el desarrollo de \((q – x^2)^{-\tfrac{1}{2}}\), donde \(q\in\mathbb{Q}^+\), el coeficiente de \(x^6\) es 5120. Halla \(q\).

Enunciado trabajado.

En el desarrollo de \((q – x^2)^{-\tfrac{1}{2}}\), donde \(q\in\mathbb{Q}^+\), el coeficiente de \(x^6\) es 5120. Halla \(q\).

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Reescribimos usando binomial general:

\[(q-x^2)^{-1/2}=q^{-1/2}\big(1-\tfrac{x^2}{q}\big)^{-1/2}.\]

Sabemos que \((1-u)^{-1/2}=1+\tfrac12 u+\tfrac{3}{8}u^2+\tfrac{5}{16}u^3+\cdots\).

El término en \(x^6\) proviene de \(u^3\) con \(u=\tfrac{x^2}{q}\):

Coef. de \(x^6\): \[q^{-1/2}\cdot \frac{5}{16}\cdot q^{-3}=\frac{5}{16}\,q^{-7/2}.\]

Igualamos a 5120:

\[\frac{5}{16}\,q^{-7/2}=5120 \;\Rightarrow\; q^{7/2}=\frac{5}{16\cdot 5120}=\frac{1}{16384}=2^{-14}.\]

Entonces \(q=2^{-4}= \tfrac{1}{16} = 0.0625.\)\(\tfrac{1}{16}\)

Pregunta 8Sección A

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En una clase, cada estudiante debe jugar dos veces contra cada otro estudiante (partidas individuales de tres en raya). Stephen abandonó tras solo 7 partidas; todas las demás partidas (sin Stephen) se jugaron. En total se jugaron 513 partidas. Determina cuántos estudiantes había originalmente en la clase.

Enunciado trabajado.

Aplicamos el método correspondiente del enunciado y calculamos cada cantidad antes de encuadrar la respuesta.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

Sin bajas, el total sería \(2\binom{n}{2}=n(n-1)\).

Stephen debía jugar \(2(n-1)\) partidas; jugó 7, así que faltaron \(2(n-1)-7\).

Jugadas realmente: \[n(n-1)-\big(2(n-1)-7\big)=513.\]

\[n^2-3n+9=513 \Rightarrow n^2-3n-504=0.\]

\[n=\frac{3+\sqrt{2025}}{2}=\frac{3+45}{2}= 24.\]\(24\)

Pregunta 9Sección A

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Un avión P vuela a 6 km de altura sobre terreno horizontal y se aproxima a la pista [AB] de longitud 2 km. Sea G el punto del suelo bajo el avión. Cuando GA = x km, el ángulo de visión de la pista es \(\theta=\angle AP\hat{\ }B\).

(a) Demuestra que \(\displaystyle \theta=\arctan\!\big(\tfrac{x+2}{6}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{x}{6}\big)\).

(b) Cuando \(\theta=0.178\) rad, el ángulo crece a razón de 12.5 rad/h. Halla la velocidad del avión.

Diagrama del avión P, el punto G y la pista AB.

Enunciado trabajado.

(a) Demuestra que \(\displaystyle \theta=\arctan\!\big(\tfrac{x+2}{6}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{x}{6}\big)\).

(b) Cuando \(\theta=0.178\) rad, el ángulo crece a razón de 12.5 rad/h. Halla la velocidad del avión.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) En los triángulos rectángulos: \(\tan\angle BPG=\tfrac{x+2}{6}\) y \(\tan\angle APG=\tfrac{x}{6}\). Como \(\theta=\angle BPG-\angle APG\),

\[\theta=\arctan\!\Big(\frac{x+2}{6}\Big)-\arctan\!\Big(\frac{x}{6}\Big).\]

(b) Sea \(\theta(x)=\arctan\big(\tfrac{x+2}{6}\big)-\arctan\big(\tfrac{x}{6}\big)\). Entonces

\[\frac{d\theta}{dx}=\frac{6}{(x+2)^2+36}-\frac{6}{x^2+36}.\]

Primero hallamos \(x\) cuando \(\theta=0.178\) (GDC): \(x\approx 4.6305\).

Evaluando, \(\tfrac{d\theta}{dx}\big|_{x}\approx -0.029420\;\text{rad/km}.\)

Por regla de la cadena, \(\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{d\theta}{dx}\dfrac{dx}{dt}\). Luego

\[12.5=\big(-0.029420\big)\,\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dx}{dt}\approx -424.88.\]

La rapidez es \(|dx/dt|\approx 425\ \text{km/h}.\)\(425\ \text{km/h}\)

Pregunta 10Sección B

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Dos atletas, Fiona y Lucy, compiten en 200 m rectos. Las velocidades (m/s) se modelan por:

\(v(t)=\dfrac{8.14\,t}{\sqrt{t^2+0.2}}\) y \(w(t)=\dfrac{8\,t}{\sqrt{t^2+0.3}}\), con \(t\ge 0\) (segundos).

Halla \(v(1)\).
Halla el instante cuando \(v=5\).

(b) Halla el instante cuando la aceleración de Fiona es 4 m/s².

Escribe \(\lim\limits_{t\to\infty} v(t)\).
Explica por qué ese valor no es válido en el contexto.

(d) Fiona termina la carrera antes que Lucy. Halla a cuánta distancia de la meta está Lucy cuando Fiona completa los 200 m.

Enunciado trabajado.

Dos atletas, Fiona y Lucy, compiten en 200 m rectos. Las velocidades (m/s) se modelan por:

\(v(t)=\dfrac{8.14\,t}{\sqrt{t^2+0.2}}\) y \(w(t)=\dfrac{8\,t}{\sqrt{t^2+0.3}}\), con \(t\ge 0\) (segundos).

Halla \(v(1)\).
Halla el instante cuando \(v=5\).

(b) Halla el instante cuando la aceleración de Fiona es 4 m/s².

Escribe \(\lim\limits_{t\to\infty} v(t)\).
Explica por qué ese valor no es válido en el contexto.

(d) Fiona termina la carrera antes que Lucy. Halla a cuánta distancia de la meta está Lucy cuando Fiona completa los 200 m.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a)(i) \(v(1)=\dfrac{8.14}{\sqrt{1.2}}\approx 7.43\ \text{m/s}.\)\(7.43\ \text{m/s}\)

(ii) \(\dfrac{8.14\,t}{\sqrt{t^2+0.2}}=5\Rightarrow \sqrt{t^2+0.2}=\dfrac{8.14}{5}t\).

Al cuadrar: \(t^2+0.2=\big(\tfrac{8.14}{5}\big)^2 t^2\Rightarrow t^2=\dfrac{0.2}{(8.14/5)^2-1}\approx 0.1212\),

\(t\approx 0.348\ \text{s}.\)\(0.348\ \text{s}\)

(b) \(a(t)=v'(t)=8.14\Big[(t^2+0.2)^{-1/2}-t^2(t^2+0.2)^{-3/2}\Big]=\dfrac{1.628}{(t^2+0.2)^{3/2}}\).

Igualando a 4: \((t^2+0.2)^{3/2}=0.407\Rightarrow t^2+0.2=0.407^{2/3}\Rightarrow t\approx 0.591\ \text{s}.\)\(0.591\ \text{s}\)

(c)(i) \(\displaystyle \lim_{t\to\infty} v(t)= 8.14\ \text{m/s}.\)\(8.14\ \text{m/s}\)

(ii) La carrera dura un tiempo finito; el límite es asintótico y no describe una velocidad alcanzable dentro de la prueba.

(d) Distancia de Fiona hasta el tiempo \(t\):

\[s_F(t)=\int_0^t \frac{8.14\,u}{\sqrt{u^2+0.2}}\,du=8.14\sqrt{t^2+0.2}-8.14\sqrt{0.2}.\]

Imponiendo \(s_F(t_F)=200\): \(\sqrt{t_F^2+0.2}=\frac{200+8.14\sqrt{0.2}}{8.14}\Rightarrow t_F\approx 25.013\,\text{s}.\)

Distancia de Lucy en ese instante:

\[s_L(t_F)=\int_0^{t_F}\frac{8\,u}{\sqrt{u^2+0.3}}\,du=8\sqrt{t_F^2+0.3}-8\sqrt{0.3}\approx 195.772\,\text{m}.\]

Por tanto, distancia a meta de Lucy: \(200-195.772= 4.23\ \text{m}.\)\(4.23\ \text{m}\)

Pregunta 11Sección B

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Amanda introduce datos de encuestas. La probabilidad de error en una encuesta es 8% y los errores son independientes.

a) En un día introduce 50 encuestas.

Halla \(P(\text{a lo sumo 6 errores})\).
Dado que hubo a lo sumo 6 errores, halla \(P(\text{exactamente 4 errores} \mid \text{a lo sumo 6})\).

(b) En otro día introduce \(n\) encuestas. Se sabe que \(P(\text{a lo sumo 6 errores})\approx 0.367\). Halla \(n\).

Además, Bryce y Carmen también introducen encuestas con errores 6% y 11% respectivamente. De todas las encuestas, Amanda introduce 55%, Bryce 25% y Carmen 20%.

c) Halla

la probabilidad de que una encuesta tenga error
la probabilidad de que Amanda la haya introducido dado que tiene error.

Al año siguiente, las tasas de Amanda y Bryce no cambian, ni los porcentajes de reparto. La probabilidad de error de Carmen pasa a ser \(x\%\). La probabilidad de que una encuesta tenga error es ahora igual a la probabilidad de que Carmen se equivoque. (d) Halla \(x\).

Enunciado trabajado.

Amanda introduce datos de encuestas. La probabilidad de error en una encuesta es 8% y los errores son independientes.

a) En un día introduce 50 encuestas.

Halla \(P(\text{a lo sumo 6 errores})\).
Dado que hubo a lo sumo 6 errores, halla \(P(\text{exactamente 4 errores} \mid \text{a lo sumo 6})\).

(b) En otro día introduce \(n\) encuestas. Se sabe que \(P(\text{a lo sumo 6 errores})\approx 0.367\). Halla \(n\).

Además, Bryce y Carmen también introducen encuestas con errores 6% y 11% respectivamente. De todas las encuestas, Amanda introduce 55%, Bryce 25% y Carmen 20%.

c) Halla

la probabilidad de que una encuesta tenga error
la probabilidad de que Amanda la haya introducido dado que tiene error.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

a) Sea \(E\sim\mathrm{Bin}(50,0.08)\).

\(P(E\le 6)=\text{binomcdf}(50,0.08,6)\approx 0.898.\)\(0.898\)
\(P(E=4\mid E\le 6)=\dfrac{P(E=4)}{P(E\le 6)}\approx \dfrac{0.203654}{0.898128}= 0.227.\)\(0.227\)

(b) Hallar \(n\) tal que \(\text{binomcdf}(n,0.08,6)\approx 0.367\). Con GDC: \( n=94.\)\(n=94\)

(c)(i) Por ley de la probabilidad total:

\[P(I)=0.55\cdot 0.08+0.25\cdot 0.06+0.20\cdot 0.11= 0.081.\]\(0.081\)

(ii) \(P(A\mid I)=\dfrac{P(A\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0.55\cdot 0.08}{0.081}= 0.543.\)\(0.543\)

(d) Ahora \(P(I)=0.55\cdot 0.08+0.25\cdot 0.06+0.20\cdot \tfrac{x}{100}\) y se iguala a \(\tfrac{x}{100}\):

\[\tfrac{x}{100}=0.059+0.2\tfrac{x}{100}\Rightarrow 0.8\tfrac{x}{100}=0.059\Rightarrow x= 7.38\%.\]\(7.38\%\)

Pregunta 12Sección B

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(a) Calcula \(\displaystyle \int (x^2-5)\,e^x\,dx\).

Considera la ecuación diferencial \(\dfrac{dy}{dx}+y=x^2-5\).

(b) Resolviendo la ecuación, muestra que su solución puede escribirse como \(y=x^2-2x-3+Ce^{-x}\).

(c) Dibuja la curva de la solución particular que pasa por \((-3,\,2)\) para \(-4\le x\le 4\), indicando las coordenadas de los máximos y mínimos locales.

(d) Considera la familia de soluciones. Para cada una se traza la tangente en \(x=-3\). Demuestra que todas esas tangentes se cortan en un punto común y da sus coordenadas.

Enunciado trabajado.

(a) Calcula \(\displaystyle \int (x^2-5)\,e^x\,dx\).

Considera la ecuación diferencial \(\dfrac{dy}{dx}+y=x^2-5\).

(b) Resolviendo la ecuación, muestra que su solución puede escribirse como \(y=x^2-2x-3+Ce^{-x}\).

(c) Dibuja la curva de la solución particular que pasa por \((-3,\,2)\) para \(-4\le x\le 4\), indicando las coordenadas de los máximos y mínimos locales.

(d) Considera la familia de soluciones. Para cada una se traza la tangente en \(x=-3\). Demuestra que todas esas tangentes se cortan en un punto común y da sus coordenadas.

Se resuelve por apartados, aplicando las fórmulas necesarias y justificando cada cálculo antes de dar la respuesta final.

(a) Por partes dos veces. Sea \(I=\int (x^2-5)e^x dx\). Toma \(u=x^2-5\), \(dv=e^x dx\):

\[I=(x^2-5)e^x-\int 2x\,e^x dx=(x^2-5)e^x-2\int x e^x dx.\]

De nuevo por partes en \(\int x e^x dx\): \(=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x\).

Entonces

\[I=(x^2-5)e^x-2(xe^x-e^x)=(x^2-2x-3)e^x+C.\]

(b) Ecuación lineal: \(y’+y=x^2-5\). Factor integrante \(\mu(x)=e^{\int 1 dx}=e^x\).

\[\frac{d}{dx}(e^x y)=(x^2-5)e^x \Rightarrow e^x y=\int (x^2-5)e^x dx=(x^2-2x-3)e^x+C.\]

\[\Rightarrow y=x^2-2x-3+Ce^{-x}.\]

\[2=9+6-3+Ce^{3}\Rightarrow C=-10e^{-3}\approx -0.498.\]

Así, \(y=x^2-2x-3-0.498e^{-x}\). Con GDC:

Máximo local en \((-2.70,\,2.28)\).
Mínimo local en \((0.899,\,-4.19)\).

(d) Para la familia \(y=x^2-2x-3+Ce^{-x}\), usando la E.D. \(y’=x^2-5-y\). En \(x=-3\) y \(y=p\): pendiente \(m_p=4-p\). Ecuación de la tangente: \(y-p=(4-p)(x+3)\). Para \(y=q\), \(y-q=(4-q)(x+3)\). Al resolver ambas,

\[x=-2,\quad y=4.\]

Luego todas las tangentes pasan por \((−2,\,4)\).