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Matemáticas AE NM

Prueba 1 Noviembre 2023

Práctica de Prueba 1 sin calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 11 h 30 min

9preguntas

Estudio de caso

Instrucciones

No utilice calculadora.
Sección A: conteste todas las preguntas en las casillas provistas.
Sección B: conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas (una página nueva por respuesta) y adjúntelo al cuestionario.
Salvo indicación en contrario, dé respuestas exactas o aproximadas a tres cifras significativas.
Se proporciona un cuadernillo de fórmulas sin anotaciones.
Puntuación máxima: 80 puntos.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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Considere la función $f(x)=a\cos(bx)$, donde $a,b\in \mathbb{Z}^+$. La figura muestra una parte del gráfico de $f$.

(a) Escriba el valor de $a$.

(b) (i) Escriba el período de $f$.
(ii) A partir de lo anterior, halle el valor de $b$.

Gráfico de la función coseno f con ejes y marcas en múltiplos de pi

(a) La amplitud del coseno es el valor máximo del gráfico. Por la figura, el máximo es 5, luego $a=5$.

(b) (i) La distancia entre máximos consecutivos en el eje x (por la figura) es $\pi$, por lo que el período es $T=\pi$.

(ii) Para $f(x)=a\cos(bx)$, $T=\dfrac{2\pi}{b}$. Con $T=\pi$: $\dfrac{2\pi}{b}=\pi\Rightarrow b=2$.

(c) $f\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=5\cos\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=5\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=5\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}$. $\tfrac{5}{2}$

Pregunta 2

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Considere $f(x)=x-3$ y $g(x)=x^2+k^2$, con $k\in\mathbb{R}$.

(a) Escriba una expresión para $(g\circ f)(x)$.

(b) Sabiendo que $(g\circ f)(2)=10$, halle los posibles valores de $k$.

(a) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=(x-3)^2+k^2 = x^2-6x+9+k^2$.

(b) Sustituimos $x=2$: $(2-3)^2+k^2=10\Rightarrow 1+k^2=10\Rightarrow k^2=9$. Por tanto, $k=\pm 3$.

Pregunta 3

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Para los sucesos $A$ y $B$: $P(A)=0{,}65$, $P(B)=0{,}75$ y $P(A\cap B)=0{,}6$.

(a) Halle $P(A\cup B)$.

(b) A partir de lo anterior o de otro modo, halle $P(A’\cap B’)$.

(a) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}65+0{,}75-0{,}6=0{,}80$. 0,80

(b) $P(A’\cap B’)=1-P(A\cup B)=1-0{,}80=0{,}20$. 0,20

Pregunta 4

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La suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética es $S_n=pn^2-qn$, con $p,q>0$. Se sabe que $S_4=40$ y $S_5=65$.

(a) Halle $p$ y $q$.

(b) Halle el valor de $u_5$.

(a) De $S_4=16p-4q=40\Rightarrow 4p-q=10$. De $S_5=25p-5q=65\Rightarrow 5p-q=13$. Restando: $(5p-q)-(4p-q)=13-10\Rightarrow p=3$. Luego $4p-q=10\Rightarrow 12-q=10\Rightarrow q=2$. $p=3,\ q=2$

(b) $u_5=S_5-S_4=65-40=\,\,25$25.

Pregunta 5

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En el triángulo $ABC$, $AB=6$ cm, $AC=10$ cm y $\cos\widehat{BAC}=\tfrac{1}{5}$. Halle el área del triángulo $ABC$. (La figura no está a escala.)

Triángulo ABC con lados raíz de 6 cm y 10 cm y ángulo en A

Del dato $\cos A=\tfrac{1}{5}$, se tiene $\sin^2A=1-\cos^2A=1-\tfrac{1}{25}=\tfrac{24}{25}$, por lo que $\sin A=\tfrac{\sqrt{24}}{5}=\tfrac{2\sqrt{6}}{5}$.

El área con los lados que encierran el ángulo $A$ es $\dfrac{1}{2}\,AB\,AC\,\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5}=\dfrac{60\cdot 2\sqrt{6}}{10}=\,\,12\sqrt{6}\text{ cm}^2$$12\sqrt{6}\text{ cm}^2$.

Pregunta 6

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En el desarrollo de $(1+kx)^n$ aparece: $1+12x+28k^2x^2+\dots+k^n x^n$, donde $n\in\mathbb{Z}^+$ y $k\in\mathbb{Q}$. Halle $n$ y $k$.

Coeficiente de $x$: $\binom{n}{1}k = nk = 12$ $\Rightarrow$ (1)

Coeficiente de $x^2$: $\binom{n}{2}k^2 = 28k^2$ $\Rightarrow$ $\binom{n}{2}=28$. Así, $\dfrac{n(n-1)}{2}=28\Rightarrow n^2-n-56=0\Rightarrow n=8$ (por ser positivo).

De (1): $8k=12\Rightarrow k=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$.

$n=8$, $k=\dfrac{3}{2}$

Pregunta 7

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Una compañía de ballet hizo 60 actuaciones en un teatro de aforo máximo 800. La tabla muestra el número de entradas vendidas $(n)$ en cada actuación.

Número de entradas vendidas (n)	Número de actuaciones
0 < n $\leq$ 200	3
200 < n $\leq$ 400	p
400 < n $\leq$ 600	18
600 < n $\leq$ 800	30

(a) (i) Halle $p$. (ii) Escriba la clase modal.

Los mismos datos se representan en una curva de frecuencias acumuladas.

(b) Utilice la curva para estimar: (i) la mediana del número de entradas vendidas; (ii) el número de actuaciones con al menos el 80% de las entradas vendidas.

Tras una función, la compañía decide encuestar al público.

(c) (i) Indique una desventaja de encuestar solo al primer 5% de personas que salen del teatro.
(ii) Describa cómo recoger la opinión del 5% del público usando muestreo sistemático.
(iii) Indique el método de muestreo adecuado si se quiere que la encuesta sea representativa del número de niños y adultos.

El año pasado se vendieron 36 000 entradas.

(d) El siguiente diagrama de caja y bigotes muestra el dinero gastado en la tienda de souvenirs:
(i) Estime cuántas personas gastaron entre $3 y $25.
(ii) La mitad del público gastó menos de $$a$. Estime $a$.

Este año volverán a hacer 60 actuaciones y esperan vender 17 entradas adicionales en cada una.

(e) (i) Calcule la media esperada de entradas vendidas por actuación este año.
(ii) Indique el efecto (si lo hay) sobre la varianza del número de entradas por actuación.

Curva de frecuencias acumuladas frente a número de entradas vendidas

Diagrama de caja y bigotes del dinero gastado en souvenirs

(a) (i) Total de actuaciones: 60. Entonces $3+p+18+30=60\Rightarrow p=9$. 9

(ii) La clase con mayor frecuencia es $600<n\le 800$. $600 < n \le 800$

(b) (i) La mediana corresponde a la 30.ª acumulada. En la curva, se lee en $n\approx 600$. 600

(ii) El 80% de 800 es 640. En la curva, se estima el número de funciones con $n\ge 640$ como $60 – F(640)\approx 20$. 20 actuaciones

(c) (i) Desventaja: es una muestra sesgada por conveniencia (primeros en salir pueden ser de una misma zona, grupo o perfil), no representativa.

(ii) Elegir un inicio aleatorio entre 1 y 20 y, a partir de ahí, seleccionar cada 20.ª persona que salga hasta alcanzar el 5%.

(iii) Muestreo por cuotas (estratificado por niños y adultos para mantener la proporción).

(d) (i) Si el diagrama indica Q1=$3 y Q3=$25, entonces el 75% está entre $3 y $25. El 75% de 36 000 es $0{,}75\times 36\,000=\,\,27\,000\text{ personas}$$27\,000\text{ personas}$.

(ii) La mediana (Q2) se lee como $7. $a=7$

(e) (i) Media anterior = 36 000/60 = 600. La nueva media es $600+17=\,\,617\text{ entradas}$$617\text{ entradas}$.

(ii) Sumar una constante a todos los datos no cambia la varianza. No cambia

Pregunta 8

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Sean $f(x)=\ln(2x-9)$ (con $x>\tfrac{9}{2}$) y $g(x)=2\ln x-\ln d$ (con $x>0$, $d\in\mathbb{R}^+$).

(a) Indique la ecuación de la asíntota vertical del gráfico de $y=g(x)$.

Se sabe que las gráficas de $y=f(x)$ e $y=g(x)$ se cortan en dos puntos distintos.

(b) (i) Muestre que en los puntos de corte se cumple $x^2 – 2dx + 9d = 0$.
(ii) Deduzca que $d^2 – 9d > 0$.
(iii) Halle el intervalo de posibles valores de $d$.

La figura adjunta muestra una parte de ambas gráficas. Se cortan en $x=p$ y $x=q$ con $p<q$.

Gráficos de y=f(x) e y=g(x) con intersecciones p y q

(a) Para $g(x)=2\ln x-\ln d$, el dominio es $x>0$. La asíntota vertical es $x=0$.

(b) (i) En la intersección: $\ln(2x-9)=2\ln x-\ln d=\ln\!\left(\dfrac{x^2}{d}\right)$. Igualando argumentos: $2x-9=\dfrac{x^2}{d}\Rightarrow x^2-2dx+9d=0$.

(ii) Para dos intersecciones reales distintas, el discriminante debe ser positivo: $\Delta=(−2d)^2−4\cdot1\cdot 9d=4d^2−36d>0\Rightarrow d^2-9d>0$.

(iii) Resolviendo $d(d-9)>0$: como $d>0$, se obtiene $d>9$.

(c) Con $d=10$: $x^2-20x+90=0\Rightarrow x=\dfrac{20\pm\sqrt{400-360}}{2}=10\pm\sqrt{10}$. Por tanto, $q-p=(10+\sqrt{10})-(10-\sqrt{10})=2\sqrt{10}$. $2\sqrt{10}$

Pregunta 9

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Considere $f(x)=\dfrac{8x}{(x^2+1)^3}$, $x\in\mathbb{R}$. La figura muestra el gráfico de $f$.

(a) Muestre que $f'(x)=\dfrac{8(1-5x^2)}{(x^2+1)^4}$.

(b) Halle $\displaystyle \int f(x)\,dx$.

Sea $g$ una función definida para todo $x\in\mathbb{R}$ con $g'(x)=f'(x)$. Sea $R$ la región limitada por los gráficos de $f$ y $g$, y las rectas $x=0$ y $x=3$. Se sabe que el área de $R$ es $\dfrac{27}{2}$.

Gráfico de f(x)=8x/(x^2+1)^3 con ejes x e y

(a) Escribimos $f(x)=8x\,(x^2+1)^{-3}$. Derivamos con regla del producto y cadena:

$f'(x)=8\,(x^2+1)^{-3}+8x\cdot(-3)(x^2+1)^{-4}\cdot(2x)$

$=8(x^2+1)^{-4}\big[(x^2+1)-6x^2\big]=\dfrac{8(1-5x^2)}{(x^2+1)^4}$.

(b) Sustitución $u=x^2+1\Rightarrow du=2x\,dx$. Entonces

$\displaystyle \int \dfrac{8x}{(x^2+1)^3}\,dx=\int \dfrac{4}{u^3}\,du=-2u^{-2}+c=-\dfrac{2}{(x^2+1)^2}+c$. $-\dfrac{2}{(x^2+1)^2}+c$

(c) De $g'(x)=f'(x)$ se deduce $g(x)=f(x)+k$ para alguna constante $k$. El área entre $f$ y $g$ de 0 a 3 es $\int_0^3 |k|\,dx=3|k|=\dfrac{27}{2}\Rightarrow |k|=\dfrac{9}{2}$. Así,

$g(x)=\dfrac{8x}{(x^2+1)^3}+\dfrac{9}{2}$ y $g(x)=\dfrac{8x}{(x^2+1)^3}-\dfrac{9}{2}$.

Número de entradas vendidas (n)	Número de actuaciones
0 < n \(\leq\) 200	3
200 < n \(\leq\) 400	p
400 < n \(\leq\) 600	18
600 < n \(\leq\) 800	30