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Matemáticas AE NM

Prueba 2 Mayo 2024 TZ1

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 hora 30 minutos

9preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Medio — Prueba 2

En esta prueba es necesario usar una calculadora de pantalla gráfica. Conteste todas las preguntas. Salvo que se indique lo contrario, dé respuestas exactas o aproximadas con tres cifras significativas. Se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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En un estudio se analizó el uso del teléfono móvil, un día concreto, por parte de una muestra aleatoria de diez estudiantes. A continuación se detalla el tiempo (t horas) que estuvieron utilizando el teléfono estos diez estudiantes.

0,7 1,2 1,9 4,0 4,4 4,5 4,9 5,7 6,5 11,7

(a) Para estos datos, halle: (i) la mediana; (ii) el rango intercuartil. [3]

Un valor atípico es aquel que es menor que Q1 − 1,5 × RIC o mayor que Q3 + 1,5 × RIC.

(b) Muestre que 11,7 es un valor atípico. [3]

Ordenados ya están: 0,7; 1,2; 1,9; 4,0; 4,4; 4,5; 4,9; 5,7; 6,5; 11,7.

(a) Con 10 datos, la mediana es el promedio del 5.º y 6.º: \(\text{Mediana} = \frac{4{,}4 + 4{,}5}{2} = 4{,}45\,\text{h}\).
Para los cuartiles, tome las mitades inferior y superior (5 datos cada una):

Q1 = mediana de 0,7; 1,2; 1,9; 4,0; 4,4 → \(Q_1 = 1{,}9\).
Q3 = mediana de 4,5; 4,9; 5,7; 6,5; 11,7 → \(Q_3 = 5{,}7\).

Rango intercuartil: \(\text{RIC} = Q_3 – Q_1 = 5{,}7 – 1{,}9 = 3{,}8\).

Respuestas: mediana 4,45 h; RIC 3,8 h.

(b) Cotas para atípicos: \(Q_3 + 1{,}5\,\text{RIC} = 5{,}7 + 1{,}5\times 3{,}8 = 5{,}7 + 5{,}7 = 11{,}4\). Como \(11{,}7 > 11{,}4\), el valor 11,7 es un atípico (y por debajo no hay ninguno, pues \(Q_1 – 1{,}5\,\text{RIC} = 1{,}9 – 5{,}7 = -3{,}8\)).

Pregunta 2

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Las funciones \(f\) y \(g\) se definen ambas para \(-1 \le x \le 0\) y vienen dadas por \(f(x)=1-x^2\) y \(g(x)=\mathrm e^{2x}\). Los gráficos de \(f\) y \(g\) se cortan en \(x=a\) y \(x=b\), donde \(a<b\).

(a) Halle el valor de \(a\) y el valor de \(b\). [3]

(b) Halle el área de la región que está delimitada por los gráficos de \(f\) y \(g\). [3]

(a) Intersecciones: resolver \(1 – x^2 = \mathrm e^{2x}\) en \([-1,0]\). Se observa una raíz en \(x=0\) y otra en \((-1,0)\). Con GDC:

\(a \approx -0{,}917\), \(b = 0\). Respuesta: \(a \approx -0,917;\; b = 0\).

(b) En \([a,b]\), \(f(x) \ge g(x)\). Área \(A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx = \int_a^b \big(1 – x^2 – \mathrm e^{2x}\big)\,dx\).

Una primitiva es \(F(x)= x – \tfrac{x^3}{3} – \tfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}\). Entonces

\[A = F(b) – F(a) = \Big(0 – \tfrac12\Big) – \Big(a – \tfrac{a^3}{3} – \tfrac12\mathrm e^{2a}\Big) = -\tfrac12 – a + \tfrac{a^3}{3} + \tfrac12\mathrm e^{2a}.\]

Sustituyendo \(a \approx -0{,}9168\): \(A \approx 0{,}240\;\text{u}^2\). Respuesta: 0,240.

Pregunta 3

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Considere el siguiente conjunto de datos bidimensionales, donde \(p, q \in \mathbb{Z}^+\).

x	5	6	6	8	10
y	9	13	p	q	21

La recta de regresión de y sobre x tiene por ecuación \(y=2{,}1875\,x+0{,}6875\). Esta recta de regresión pasa por el punto correspondiente a las medias \((\bar x,\bar y)\).

(a) Sabiendo que \(\bar x=7\), verifique que \(\bar y=16\). [1]

(b) Sabiendo que \(q-p=3\), halle el valor de \(p\) y el valor de \(q\). [4]

(a) En la recta de regresión, el punto medio verifica \(\bar y = 2{,}1875\,\bar x + 0{,}6875\). Con \(\bar x=7\):

\(\bar y = 2{,}1875\cdot 7 + 0{,}6875 = 15{,}3125 + 0{,}6875 = 16\). Verificado.

(b) De \(\bar y = 16\):

\[\frac{9+13+p+q+21}{5} = 16 \;\Rightarrow\; 43 + p + q = 80 \;\Rightarrow\; p+q = 37.\]

Con \(q-p=3\): sumando, \(2q=40\Rightarrow q=20\) y \(p=17\). Respuesta: p=17; q=20.

Pregunta 4

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El nivel acústico de un sonido (\(L\), en decibelios) está relacionado con su intensidad (\(I\) unidades) por \(L = 10\,\log_{10}\!(I\times 10^{12})\). Considere dos sonidos: \(S_1\) e \(S_2\). \(S_1\) tiene \(I=10^{-6}\) unidades y \(L=60\) dB. \(S_2\) tiene una intensidad doble que \(S_1\).

(a) Indique la intensidad de \(S_2\). [1]

(b) Determine el nivel acústico de \(S_2\). [2]

Durante una tormenta, el máximo nivel acústico de los truenos fue de 115 dB.

(a) Doble que \(10^{-6}\): \(2\times 10^{-6}\) unidades.

(b) \(L_2 = 10\log_{10}(2\times 10^{-6}\cdot 10^{12}) = 10\log_{10}(2\times 10^{6}) = 10(\log_{10}2 + 6) \approx 10(0{,}3010+6) = 63{,}01\,\text{dB}.\) Respuesta: 63{,}0 dB.

(c) Con \(L=115\): \(\log_{10}(I\times 10^{12})=11{,}5\Rightarrow I\times 10^{12}=10^{11{,}5}\Rightarrow I=10^{-0{,}5}\approx 0{,}316\). Respuesta: 0,316 unidades.

Pregunta 5

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Una partícula se mueve en línea recta de tal modo que su velocidad (\(v\), m s\(^{-1}\)) en el instante \(t\) segundos viene dada por \(v(t)=1+\mathrm e^{-t}-\mathrm e^{-\sin(2t)}\) para \(0\le t\le 2\).

(a) Halle la velocidad de la partícula en el instante \(t=2\). [1]

(b) Halle la velocidad máxima de la partícula. [2]

(a) Sustituir \(t=2\) (radianes): \(\sin(4)\approx -0{,}7568\Rightarrow \mathrm e^{-\sin(4)}=\mathrm e^{0{,}7568}\approx 2{,}131\). Además \(\mathrm e^{-2}\approx 0{,}1353\). Entonces

\(v(2)=1+0{,}1353-2{,}131\approx -0{,}996\). Respuesta: -0,996 m s\(^{-1}\).

(b) Máximo en \([0,2]\). Derivada:

\(v'(t) = -\mathrm e^{-t} + 2\cos(2t)\,\mathrm e^{-\sin(2t)}\).

Con GDC, \(v'(t)=0\) primero en \(t\approx 0{,}404\), donde \(v\approx 1{,}18\). Comparando con los extremos, el máximo es \(<span class=»exam-boxed-answer»>1,18 m s\(^{-1}\)\).

(c) Cambio de sentido cuando \(v(t)=0\). Con GDC, la primera raíz en \([0,2]\) es \(t\approx 1{,}657\). La aceleración es \(a(t)=v'(t)\). Evaluando:

\(a(1{,}657) = -\mathrm e^{-1{,}657} + 2\cos(3{,}314)\,\mathrm e^{-\sin(3{,}314)} \approx -0{,}191 – 2{,}34 \approx -2{,}53\,\text{m s}^{-2}.\)

Respuesta: -2,53 m s\(^{-2}\).

Pregunta 6

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Considere una variable aleatoria \(X\) tal que \(X\sim\mathrm B(n,0{,}25)\). Determine el menor valor de \(n\) para el que se cumple que \(\mathbb P(X\ge 1)>0{,}99\). [5]

\(\mathbb P(X\ge 1)=1-\mathbb P(X=0)=1-(0{,}75)^n>0{,}99\Rightarrow (0{,}75)^n<0{,}01\).

Tomando logaritmos: \(n\,\ln 0{,}75 < \ln 0{,}01\Rightarrow n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75}\approx \dfrac{-4{,}6052}{-0{,}2877}\approx 16{,}01\).

El menor entero que cumple es n = 17.

Pregunta 7

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En un lago, la longitud \((L\,\text{cm})\) de las carpas se modeliza por \(N(45{,}6,\,4{,}2^2)\).

Según este modelo, una carpa cuya longitud esté entre 41,4 cm y \(k\) cm se encuentra dentro de una desviación típica respecto de la media.

(a) Escriba el valor de \(k\). [2]

(b) Halle la probabilidad de que una carpa elegida al azar mida más de 48 cm. [2]

(d) Considere una muestra aleatoria de 100 carpas.

(i) Halle el número esperado de carpas con longitudes entre 40 cm y 56 cm. [2]

(ii) Halle la probabilidad de que, en esta muestra, haya exactamente 95 carpas con longitudes entre 40 cm y 56 cm. [3]

Ahora se anota la longitud redondeada al 0,1 cm más próximo.

(e) Halle la probabilidad de que, para una carpa elegida al azar, se haya anotado una longitud de 45,6 cm. [3]

(a) Una desviación típica: \([\mu-\sigma,\,\mu+\sigma]=[45{,}6-4{,}2,\,45{,}6+4{,}2]=[41{,}4,\,49{,}8]\). Así, k = 49,8.

(b) \(Z=\dfrac{48-45{,}6}{4{,}2}=0{,}5714\). \(\mathbb P(L>48)=1-\Phi(0{,}5714)\approx 0,284\)0,284.

(c) \(\mathbb P(L>x)=0{,}99\Rightarrow \mathbb P(L\le x)=0{,}01\Rightarrow z=\Phi^{-1}(0{,}01)\approx -2{,}326\). Entonces \(x=\mu+z\sigma=45{,}6-2{,}326\cdot 4{,}2\approx 35,8\,\text{cm}\)\(35,8\,\text{cm}\).

(d)(i) \(p=\mathbb P(40\le L\le 56)=\Phi\!\Big(\tfrac{56-45{,}6}{4{,}2}\Big)-\Phi\!\Big(\tfrac{40-45{,}6}{4{,}2}\Big)=\Phi(2{,}476)-\Phi(-1{,}333)\approx 0{,}993-0{,}092=0{,}902\). Esperado: \(np\approx 90,2\)90,2.

(d)(ii) Sea \(X\sim\mathrm B(100, p)\) con \(p\approx 0{,}902\). \[\mathbb P(X=95)=\binom{100}{95}p^{95}(1-p)^5\approx 0,0370\]0,0370 (valor GDC).

(e) Redondeo al 0,1 cm: se anota 45,6 si \(45{,}55\le L<45{,}65\). Entonces

\(\mathbb P=\Phi\!\Big(\tfrac{45{,}65-45{,}6}{4{,}2}\Big)-\Phi\!\Big(\tfrac{45{,}55-45{,}6}{4{,}2}\Big)=\Phi(0{,}0119)-\Phi(-0{,}0119)\approx 0{,}50475-0{,}49525= 0,00950\)0,00950.

Pregunta 8

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Una ventana se ha diseñado con forma de semicírculo unido a un rectángulo. Las dimensiones de la zona rectangular son \(2x\) metros por \(h\) metros (véase la figura). Sea \(A\) m\(^2\) el área y \(P\) m el perímetro.

(a) Escriba \(A\) en función de \(x\) y \(h\). [2]

(b) Sabiendo que \(P=10\), muestre que \(h = 5 – x – \tfrac{\pi}{2}x\). [2]

La zona rectangular deja pasar 3 unidades de luz por m\(^2\) y la semicircular 1 unidad por m\(^2\).

(d) (i) Halle \(\dfrac{dL}{dx}\). (ii) Halle el valor de \(x\) para el cual la ventana deja pasar la máxima cantidad de luz y justifique que es un máximo. (iii) Halle el valor de \(h\) correspondiente. [7]

Ventana formada por un semicírculo sobre un rectángulo con medidas 2x y h

(a) Área = rectángulo + semicírculo. Radio del semicírculo \(r=x\). Entonces

\(A(x,h) = (2x)h + \tfrac{1}{2}\pi x^2\).

(b) El perímetro incluye dos lados verticales \(2h\), la base \(2x\) y el arco semicircular \(\pi x\): \(P=2h+2x+\pi x\). Si \(P=10\):

\(2h = 10 – (2+\pi)x \Rightarrow h = 5 – x – \tfrac{\pi}{2}x\).

(c) Luz total: \(L = 3\cdot(\text{área rect}) + 1\cdot(\text{área semicírculo}) = 3(2xh) + \tfrac{1}{2}\pi x^2 = 6xh + \tfrac{1}{2}\pi x^2\).

Sustituyendo \(h=5 – x – \tfrac{\pi}{2}x\):

\(L = 6x\big(5 – x – \tfrac{\pi}{2}x\big) + \tfrac{1}{2}\pi x^2 = 30x – 6x^2 – 3\pi x^2 + \tfrac{1}{2}\pi x^2 = 30x – 6x^2 – \tfrac{5}{2}\pi x^2\).

(d)(i) \(\dfrac{dL}{dx} = 30 – 12x – 5\pi x = 30 – (12+5\pi)\,x\).

(ii) Máximo cuando \(\tfrac{dL}{dx}=0\):

\(x = \dfrac{30}{12+5\pi} \approx \dfrac{30}{27{,}708} \approx 1,08\,\text{m}\)\(1,08\,\text{m}\).

\(L»(x) = -12 – 5\pi < 0\Rightarrow\) corresponde a un máximo.

(iii) \(h = 5 – x – \tfrac{\pi}{2}x = 5 – (1 + \tfrac{\pi}{2})x\). Con \(x\) óptimo, \(h \approx 5 – 2{,}5708\times 1{,}0828 \approx 2,22\,\text{m}\)\(2,22\,\text{m}\).

Pregunta 9

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Un aspersor giratorio se encuentra en el punto fijo \(S\). Riega todos los puntos que están dentro de y sobre una circunferencia de 20 m de radio. El punto \(S\) está a 14 m del borde de un sendero que discurre en dirección norte–sur. El borde del sendero corta a la circunferencia en los puntos \(A\) y \(B\) (véase la figura).

(a) Muestre que \(AB = 28{,}57\), redondeando a cuatro cifras significativas. [3]

El aspersor gira con velocidad constante de 1 revolución cada 16 s.

(b) Muestre que el aspersor gira un ángulo de \(\tfrac{\pi}{8}\) radianes en un segundo. [1]

Sea \(T\) segundos el tiempo que se está regando \([AB]\) en cada revolución.

En el instante \(t=0\), el agua pasa por el borde del sendero en \(A\). En el instante \(t\) s, el agua pasa por el borde del sendero en un punto móvil \(D\), a una distancia de \(d\) m al sur de \(A\). Sea \(\alpha = \angle A\hat{S}D\) y \(\beta = \angle S\hat{A}B\) (en radianes). Se sabe que \(\beta = 0{,}7754\).

(d) Escriba \(\alpha\) en función de \(t\). [1]

(e) Aplicando el teorema del seno a \(\triangle ASD\), muestre que

\[d(t) = \frac{20\,\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{8}\big)}{\sin\!\big(\,2{,}37 – \tfrac{\pi t}{8}\,\big)}.\] [3]

Una tortuga camina hacia el sur por el borde del sendero. En el instante \(t\) s, su distancia (\(g\) m al sur de \(A\)) se modeliza por \(g(t)=0{,}05t^2+1{,}1t+18\), \(t\ge 0\).

(f) En el instante \(t=0\), indique a qué distancia al sur de \(A\) está la tortuga. [1]

(g) (i) Escriba una expresión para la distancia \(w\) entre la tortuga y \(D\) en función de \(t\). (ii) A partir de lo anterior, halle en qué instante y en qué lugar del sendero alcanza el agua a la tortuga por primera vez. [4]

Aspersor S, círculo de radio 20 m, sendero y puntos A y B

Modelo del aspersor con ángulos alfa y beta, punto D y distancia d

(a) La distancia perpendicular de \(S\) a la recta del borde es \(d=14\). La cuerda \(\overline{AB}\) a distancia \(d\) del centro de un círculo de radio \(r=20\) tiene longitud \(2\sqrt{r^2-d^2}\):

\(AB = 2\sqrt{20^2-14^2} = 2\sqrt{400-196} = 2\sqrt{204} \approx 28{,}5657 \Rightarrow 28,57\,\text{m}\)\(28,57\,\text{m}\).

(b) En 16 s recorre \(2\pi\) rad, por segundo recorre \(\omega = \dfrac{2\pi}{16} = \tfrac{\pi}{8}\,\text{rad s}^{-1}\)\(\tfrac{\pi}{8}\,\text{rad s}^{-1}\).

(c) El ángulo central que subtiende la cuerda \(AB\) es \(2\theta\) con \(\cos\theta=\tfrac{14}{20}=0{,}7\Rightarrow \theta=\arccos(0{,}7)\approx 0{,}7954\,\text{rad}\). Tiempo regando el tramo: \(T=\dfrac{2\theta}{\omega}=\dfrac{2\cdot 0{,}7954}{\pi/8}\approx 4,05\,\text{s}\)\(4,05\,\text{s}\).

(d) Rotación uniforme: \(\alpha(t)=\omega t = \tfrac{\pi t}{8}\)\(\tfrac{\pi t}{8}\).

(e) En \(\triangle ASD\): lados \(AS=20\), \(AD=d\). Ángulos: en \(A\), \(\angle SAD = \beta\); en \(S\), \(\angle ASD = \alpha\); en \(D\), \(\pi – (\alpha+\beta)\). Por el seno:

\(\dfrac{d}{\sin\alpha} = \dfrac{20}{\sin(\pi – (\alpha+\beta))} = \dfrac{20}{\sin(\alpha+\beta)}\Rightarrow d=\dfrac{20\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\).

Como \(\pi-\beta \approx 3{,}1416-0{,}7754=2{,}3662\approx 2{,}37\) y \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\big((\pi-\beta)-\alpha\big)\), se obtiene

\(d(t)=\dfrac{20\sin(\tfrac{\pi t}{8})}{\sin\big(2{,}37-\tfrac{\pi t}{8}\big)}\), como se pedía.

(f) \(g(0)=0{,}05\cdot 0^2 + 1{,}1\cdot 0 + 18 = 18\,\text{m}\)\(18\,\text{m}\) al sur de \(A\).

(g)(i) La distancia entre la tortuga y \(D\) (midiendo hacia el sur desde \(A\)) es \(w(t)=|g(t)-d(t)|\). Antes del encuentro, \(g(t)>d(t)\), así que \(w(t)=g(t)-d(t)\).

(g)(ii) Primer alcance cuando \(g(t)=d(t)\). Resolver numéricamente

\(0{,}05t^2+1{,}1t+18 = \dfrac{20\sin(\tfrac{\pi t}{8})}{\sin\big(2{,}366 – \tfrac{\pi t}{8}\big)}\).

Con GDC se obtiene la primera solución en \(t \approx 3{,}34\,\text{s}\). La posición es \(g(3{,}34) \approx 0{,}05(3{,}34)^2+1{,}1(3{,}34)+18 \approx 22,2\,\text{m al sur de A}\)\(22,2\,\text{m al sur de A}\).