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Matemáticas AE NM

Prueba 2 Noviembre 2023

Práctica de Prueba 2 con calculadora, con preguntas de examen y soluciones desarrolladas.

Prueba 21 hora 30 minutos

9preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Análisis y Enfoques — Nivel Medio — Prueba 2 — 31 de octubre de 2023. En esta prueba es necesario usar una calculadora de pantalla gráfica. Sección A: conteste todas las preguntas en el cuestionario. Sección B: conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas. Salvo indicación en contrario, exprese las respuestas numéricas de forma exacta o aproximadas a tres cifras significativas.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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Considere la función $f(x)=x^2-8x$. El gráfico de $f$ pasa por el punto $A(3,-15)$.

(a) (i) Halle la pendiente de la tangente al gráfico de $f$ en el punto $A$.
(ii) A partir de lo anterior, escriba la pendiente de la normal al gráfico de $f$ en el punto $A$.

(b) Escriba la ecuación de la normal al gráfico de $f$ en el punto $A$.

La normal al gráfico de $f$ en el punto $A$ corta nuevamente al gráfico de $f$ en un segundo punto $B$.

(a) $f'(x)=2x-8$. En $x=3$: $f'(3)=2\cdot 3-8=-2$. La pendiente de la tangente es -2. La normal es perpendicular, por tanto su pendiente es $-\tfrac{1}{f'(3)}=\tfrac{1}{2}$; así, la pendiente de la normal es $\tfrac{1}{2}$.

(b) Ecuación punto–pendiente de la normal por $A(3,-15)$: \[y+15=\tfrac{1}{2}(x-3)\;\Rightarrow\;y=\tfrac{1}{2}x-16{,}5.\] Respuesta: $y=\tfrac{1}{2}x-16{,}5$.

(c) Intersección entre la curva y la normal: $x^2-8x=\tfrac{1}{2}x-16{,}5$. Esto da $x^2-8{,}5x+16{,}5=0$. El discriminante es $\Delta=8{,}5^2-4\cdot 16{,}5=6{,}25$, luego $x=\dfrac{8{,}5\pm 2{,}5}{2}\Rightarrow x=3$ (el punto $A$) o $x=5{,}5$. Para $B$ tomamos $x=5{,}5$: $y=f(5{,}5)=5{,}5^2-8\cdot 5{,}5=30{,}25-44=-13{,}75$. Así, $B(5{,}5,-13{,}75)$.

Pregunta 2

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La figura muestra una pirámide de vértice $V$ y base rectangular $OABC$. $B=(6,8,0)$, $C=(6,0,0)$, $V=(3,4,9)$.

(a) Halle $BV$.

(b) Halle el tamaño del ángulo $\widehat{BVC}$.

Pirámide de vértice V y base rectangular OABC en ejes 3D

(a) $\overrightarrow{BV}=V-B=(3-6,\,4-8,\,9-0)=(-3,-4,9)$. Por tanto, \[BV=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+9^2}=\sqrt{106}\approx\;10{,}3.\]10{,}3

(b) En el triángulo $BVC$: $BV=VC=\sqrt{106}$ y $BC=8$. Por el teorema del coseno, \[\cos\angle BVC=\frac{BV^2+VC^2-BC^2}{2\,BV\,VC}=\frac{106+106-8^2}{2\cdot 106}=\frac{148}{212}.\] Luego \[\angle BVC=\arccos\!\left(\frac{148}{212}\right)\approx\;0{,}798\,\text{rad}\;\;(\approx 45{,}7^\circ).\]$0{,}798\,\text{rad}$

Pregunta 3

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Considere $f(x)=e^x-3x-4$.

(a) En los ejes dados, dibuje aproximadamente el gráfico de $f$ para $-4\le x\le 3$.

La función $g$ viene dada por $g(x)=e^{2x}-6x-7$.

(b) El gráfico de $g$ se obtiene a partir del de $f$ mediante un estiramiento horizontal de razón $k$ seguido de una traslación vertical de $c$ unidades. Halle $k$ y $c$.

Ejes de coordenadas para bosquejar f(x)=e^x-3x-4

(a) Rasgos clave para el bosquejo:
– Ordenada al origen: $f(0)=1-0-4=-3$.
– Mínimo cuando $f'(x)=e^x-3=0\Rightarrow x=\ln 3\approx 1{,}10$, con $f(\ln 3)\approx -4{,}30$.
– Raíces: una en $-2<x<-1$ y otra en $2<x<3$ (con calculadora).
– Extremos: $f(-4)\approx 8{,}02$, $f(3)\approx 7{,}09$. Dibuje una curva suave coherente con estos puntos.

(b) Se observa que $f(2x)=e^{2x}-6x-4$. Para obtener $g$: $g(x)=f(2x)-3$. Por tanto:
– $y=f(2x)$ es una compresión horizontal de razón $\tfrac{1}{2}$ (equivale a un estiramiento de razón $k=\tfrac{1}{2}$ según la convención del enunciado).
– Traslación vertical de $c=-3$.
Valores: $k=\tfrac{1}{2}$, $c=-3$.

Pregunta 4

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La letra “C” está formada por dos círculos concéntricos con centro en $O$: radio interior $r\,\text{cm}$ (con $r<10$) y radio exterior $10\,\text{cm}$. El ángulo cóncavo $\widehat{A\hat{O}B}$ mide $5{,}2$ radianes. La zona sombreada (la “C”) es el sector anular correspondiente.

(a) Muestre que el área de la “C” viene dada por $260-2{,}6r^2$.

El área de la “C” es igual a $64\,\text{cm}^2$.

(b) (i) Halle $r$.
(ii) Halle el perímetro de la “C”.

Sector anular de la letra C con centro O, puntos A y B y ángulo 5,2

(a) Área de un sector de ángulo $\theta$ y radio $R$: $\tfrac{1}{2}\,\theta R^2$. La “C” es la diferencia entre los sectores externo e interno (ambos de $\theta=5{,}2$):

\[A=\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}2\,(10^2-r^2)=2{,}6(100-r^2)=260-2{,}6r^2.\]

(b)(i) $260-2{,}6r^2=64\Rightarrow 2{,}6r^2=196\Rightarrow r^2=\dfrac{196}{2{,}6}=\dfrac{980}{13}.$ Así, \[r=\sqrt{\dfrac{980}{13}}=\dfrac{14\sqrt{65}}{13}\approx\;8{,}68\;\text{cm}.\]$8{,}68\;\text{cm}$

(ii) El perímetro es la suma de las longitudes de los dos arcos más los dos radios descubiertos: \[P=10\cdot 5{,}2 + r\cdot 5{,}2 + 2(10-r).\] Con $r\approx 8{,}68$: $P\approx 52+45{,}15+2{,}64=99{,}8\;\text{cm}.$$99{,}8\;\text{cm}$

Pregunta 5

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Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta. Su desplazamiento $s$ (en metros) respecto a un punto fijo $O$ tras $t$ segundos viene dado por una función trigonométrica impresa en el examen (utilice calculadora gráfica según sea necesario), con $0\le t\le 10$.

La partícula se detiene por primera vez transcurridos $q$ segundos.

(a) Halle el valor de $q$.

(b) Halle la distancia total que recorre la partícula en los primeros $q$ segundos.

(a) La partícula se detiene cuando su velocidad es cero. Sea $v(t)=\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$. Resolvemos con la calculadora la primera raíz positiva de $v(t)=0$. Se obtiene \[q\approx 5{,}735\;\text{s}.\]$q\approx 5{,}735\;\text{s}$

(b) En $[0,q]$ no hay cambio de sentido, así que la distancia recorrida coincide con $\int_0^q |v(t)|\,dt=\big|s(q)-s(0)\big|$. Usando la calculadora (integración/valor exacto en el mínimo), \[\text{distancia}\approx\;7{,}683\;\text{m}.\]$7{,}683\;\text{m}$

Pregunta 6

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La tabla muestra la distribución de probabilidad de una v.a. discreta $X$ (con $a,k\in\mathbb{R}^+$):

x	1	2	3	4
P(X=x)	k	k^2	a	k^3

Sabiendo que $\mathbb{E}(X)=2{,}3$, halle el valor de $a$.

Condiciones: $k+k^2+a+k^3=1$ y $\mathbb{E}(X)=1\cdot k+2\cdot k^2+3a+4\cdot k^3=2{,}3$.

Sustituya $a=1-k-k^2-k^3$ en la esperanza:
$k+2k^2+3(1-k-k^2-k^3)+4k^3=2{,}3$ $\Rightarrow k^3-k^2-2k+0{,}7=0$.

Con la calculadora, $k\approx 0{,}315870$. Entonces $a=1-k-k^2-k^3\approx 1-0{,}315870-0{,}09976-0{,}03153\approx0{,}553$. Respuesta: $0{,}553$.

Pregunta 7

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Un sólido está formado por un cilindro de radio $x\,\text{cm}$ y altura $h\,\text{cm}$, y dos semiesferas que encajan en sus extremos.

El volumen del cilindro es $45\,\text{cm}^3$.

(a) Muestre que el área total de la superficie del sólido $(S\,\text{cm}^2)$ viene dada por $\displaystyle S=\frac{90}{x}+4\pi x^2$.

Se sabe que $S$ alcanza un máximo o mínimo local cuando $x=a$.

(b) (i) Halle $\dfrac{dS}{dx}$.
(ii) A partir de lo anterior, halle el valor exacto de $a$.

(c) (i) Halle $\dfrac{d^2S}{dx^2}$.
(ii) Justifique con la derivada segunda que $S$ alcanza un mínimo cuando $x=a$.
(iii) Halle el área mínima de la superficie del sólido.

(a) Volumen del cilindro: $\pi x^2 h=45\Rightarrow h=\dfrac{45}{\pi x^2}$. Área de la superficie: lateral del cilindro $2\pi xh$ y dos semiesferas (equivale al área de una esfera) $4\pi x^2$. Luego \[S=2\pi x\,\frac{45}{\pi x^2}+4\pi x^2=\frac{90}{x}+4\pi x^2.\]

(b)(i) \[\frac{dS}{dx}=-\frac{90}{x^2}+8\pi x.\]

(ii) En un extremo: $\dfrac{dS}{dx}=0\Rightarrow -\dfrac{90}{a^2}+8\pi a=0\Rightarrow 8\pi a^3=90\Rightarrow a^3=\dfrac{45}{4\pi}.$ Por tanto, $a=\sqrt[3]{\dfrac{45}{4\pi}}$.

(c)(i) \[\frac{d^2S}{dx^2}=\frac{180}{x^3}+8\pi.\]

(ii) Como $\dfrac{d^2S}{dx^2}>0$ para todo $x>0$, en particular en $x=a$, $S$ tiene un mínimo local en $x=a$.

(iii) $S_{\min}=\dfrac{90}{a}+4\pi a^2$ con $a^3=\dfrac{45}{4\pi}$. Con calculadora, $a\approx 1{,}528$ y $S_{\min}\approx 88{,}24\;\text{cm}^2.$$88{,}24\;\text{cm}^2$

Pregunta 8

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Daniela recibe pagos mensuales durante 3 años. Opción A: pagos constantes de $\$5500$. Opción B: primer pago $\$2000$; cada mes el pago es un 6% mayor que el del mes anterior.

(a) Halle la cantidad total que recibiría Daniela si escoge (i) la Opción A; (ii) la Opción B (redondee a 2 decimales).

Sorin invierte $\$120\,000$ a un 4% nominal anual, capitalizado mensualmente. Interés abonado el último día de cada mes.

(b) Escriba una expresión para el valor de la inversión de Sorin al cabo de $n$ años.

El 1 de enero de 2023, Daniela elige la Opción B (primer pago ese día) y Sorin invierte su herencia ese mismo día.

(c) (i) Halle el valor total (sumando pagos de Daniela e inversión de Sorin) el último día del sexto mes (redondee a 2 decimales).
(ii) Halle el número mínimo de meses completos para que ese total sea al menos $\$250\,000$.

Al finalizar los 3 años, Daniela invierte $\$40\,000$ durante 6 años en otra cuenta al $r\%$ nominal anual, capitalizado trimestralmente.

(d) Halle $r$ si el monto llega a $\$53\,000$ al cabo de 6 años (redondee a 2 decimales).

(a)(i) 36 pagos de $\$5500$: $36\cdot 5500=\$198\,000$. Respuesta: $\$198\,000$.

(ii) Progresión geométrica con $a_1=2000$, $r=1{,}06$, $n=36$: \[S_{36}=2000\,\frac{1-1{,}06^{36}}{1-1{,}06}=2000\,\frac{1{,}06^{36}-1}{0{,}06}\approx\$238\,241{,}73.\] Respuesta: $\$238\,241{,}73$.

(b) Valor tras $n$ años ($12n$ meses), con tipo mensual $0{,}04/12$: \[V(n)=120000\Big(1+\frac{0{,}04}{12}\Big)^{12n}.\]

(c)(i) A los 6 meses: \[V_S=120000\Big(1+\frac{0{,}04}{12}\Big)^6\approx \$122\,420{,}09.\] Pagos de Daniela (6 términos): \[S_6=2000\,\frac{1-1{,}06^6}{1-1{,}06}=2000\,\frac{1{,}06^6-1}{0{,}06}\approx \$13\,950{,}64.\] Total $\approx\$136\,370{,}73$. Respuesta: $\$136\,370{,}73$.

(ii) Sea $m$ el número de meses. Buscamos el mínimo $m$ tal que \[120000\Big(1+\tfrac{0{,}04}{12}\Big)^{m}+2000\,\frac{1{,}06^{m}-1}{0{,}06}\ge 250000.\] Con GDC: para $m=26$ el total $\approx\$249\,157$ y para $m=27$ $\approx\$258\,692$. Luego 27 meses.

(d) Interés nominal $r\%$ anual compuesto trimestralmente: 24 trimestres. \[40000\Big(1+\frac{r}{400}\Big)^{24}=53000.\] De aquí, $\displaystyle r=400\Big[(\tfrac{53}{40})^{1/24}-1\Big]\approx4{,}72\%$. Respuesta: $4{,}72\%$.

Pregunta 9

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La altura $H$ (cm) de cada planta de trigo se modeliza con $\mathcal{N}(m,\,s^2)$. Se sabe que $P(H<94{,}6)=0{,}288$ y $P(H>98{,}1)=0{,}434$.

(a) Halle $P(94{,}6<H<98{,}1)$.

(b) Halle $m$ y $s$.

Se miden 100 plantas independientes; las de altura superior a 98,1 cm están listas para la cosecha.

(c) Sea $X\sim\text{Bin}(100,p)$ el número de plantas listas.
(i) Halle $P(X=34)$.
(ii) Sabiendo que $X<49$, halle $P(X=34\mid X<49)$.

En otro terreno, las alturas $F$ siguen $\mathcal{N}(98{,}6,\,d^2)$ y el rango intercuartil es 4,82 cm.

(d) Halle $d$.

(a) \[P(94{,}6<H<98{,}1)=1-0{,}288-0{,}434=0{,}278.\]0{,}278

(b) Estandarizando: $z_1=\dfrac{94{,}6-m}{s}$ con $P(Z<z_1)=0{,}288\Rightarrow z_1\approx -0{,}559236$. Además, $P(H>98{,}1)=0{,}434\Rightarrow P(H<98{,}1)=0{,}566$, de modo que $z_2=\dfrac{98{,}1-m}{s}\approx 0{,}166199$. Restando: $\dfrac{3{,}5}{s}=z_2-z_1\approx 0{,}725435\Rightarrow s\approx 4{,}82468$. Luego $m=98{,}1-s\,z_2\approx 97{,}298$. Respuesta: $m\approx 97{,}3$, $s\approx 4{,}82$.

(c) Aquí $p=P(H>98{,}1)=0{,}434$.
(i) \[P(X=34)=\binom{100}{34}(0{,}434)^{34}(0{,}566)^{66}\approx0{,}0133.\]0{,}0133
(ii) \[P(X=34\mid X<49)=\frac{P(X=34)}{P(X<49)}\approx\frac{0{,}0133}{0{,}848218}=0{,}0157.\]0{,}0157

(d) En $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, el rango intercuartil es $Q_3-Q_1=2z_{0{,}75}\,\sigma$ con $z_{0{,}75}=0{,}674489$. Así, $4{,}82=2\cdot 0{,}674489\cdot d\Rightarrow d\approx3{,}57.$3{,}57