Prueba 2 Noviembre 2024

(a) Sustituimos.

(i) \(f(0)=11\sqrt{0}-2\cdot 0-11=-11\). Respuesta: -11.

(ii) \(f(20)=11\sqrt{20}-2\cdot 20-11=11\cdot4{,}4721-51\approx-1{,}8065\). Respuesta: -1,81.

(b) Resolvemos \(11\sqrt{x}-2x-11=0\). Sea \(t=\sqrt{x}\;(t\ge 0)\). Entonces \(11t-2t^2-11=0\Rightarrow 2t^2-11t+11=0\).

\[t=\frac{11\pm\sqrt{121-88}}{4}=\frac{11\pm\sqrt{33}}{4}\]

Como \(x=t^2\): \[x_1=\left(\frac{11-\sqrt{33}}{4}\right)^2\approx1{,}726\,,\quad x_2=\left(\frac{11+\sqrt{33}}{4}\right)^2\approx17{,}524.\] Respuesta: 1,73 y 17,5 (3 c.s.).

(c) Rasgos clave para el esbozo en \([0,20]:\) \(f(0)=-11\), \(f(20)\approx-1{,}81\), intersecciones con el eje \(x\) en \(x\approx1{,}73\) y \(x\approx17{,}52\). El máximo local se obtiene con \(f'(x)=\tfrac{11}{2\sqrt{x}}-2=0\Rightarrow \sqrt{x}=\tfrac{11}{4}\Rightarrow x=7{,}5625\). Entonces \(f(7{,}5625)=11\cdot2{,}75-2\cdot7{,}5625-11=4{,}125\approx4{,}1\). Dibuje una curva suave creciente desde \((0,-11)\) hasta el máximo cerca de \((7{,}6,4{,}1)\) y luego decreciente hasta \((20,-1{,}81)\).

Usamos el término general: \(\binom{9}{r}(2x)^{9-r}(-5)^r\). Para \(x^6\) se requiere \(9-r=6\Rightarrow r=3\).

Coeficiente: \(\binom{9}{3}\cdot 2^6\cdot(-5)^3=84\cdot64\cdot(-125)=-672000\).

Respuesta: -672000.

(a) Integramos término a término:

\[\int(e^{4x}+6)\,dx=\frac{1}{4}e^{4x}+6x+C.\]

(b) Como \(h'(x)=e^{4x}+6\), entonces \(h(x)=\frac{1}{4}e^{4x}+6x+C\). Usamos \(h(1{,}5)=105\):

\[\tfrac14 e^{6}+6(1{,}5)+C=105\;\Rightarrow\;C=105-\tfrac14 e^{6}-9=\tfrac{96-e^{6}}{4}.\]

Por tanto,

\[h(x)=\frac{1}{4}e^{4x}+6x+\frac{96-e^{6}}{4}.\]

Respuesta: \(h(x)=\tfrac{1}{4}e^{4x}+6x+\tfrac{96-e^{6}}{4}\).

(a) La suma de probabilidades es 1:

\[\frac{k}{20}(3+5+8+11)=1\;\Rightarrow\;\frac{27k}{20}=1\;\Rightarrow\;k=\frac{20}{27}\approx0{,}741.\]

Respuesta: \(\frac{20}{27}\).

(b) \[E(X)=\sum x\Pr(X=x)=\sum x\cdot\frac{kx}{20}=\frac{k}{20}\sum x^2.\]

\(\sum x^2=9+25+64+121=219\). Con \(k=20/27\):

\[E(X)=\frac{\tfrac{20}{27}}{20}\cdot219=\frac{219}{27}=\frac{73}{9}\approx8{,}11.\]

Respuesta: \(\frac{73}{9}\;\approx\;8{,}11\).

(a) La pendiente \(\tfrac{7}{12}\) indica razón vertical:horizontal. El ángulo con la vertical cumple \(\tan\widehat{BAE}=\tfrac{12}{7}\).

\[\widehat{BAE}=\arctan\!\left(\tfrac{12}{7}\right)\approx59{,}74^\circ.\] Respuesta: 59,7°.

(b)(i) Por simetría, \(DE=\tfrac{DF}{2}=350\,\text{cm}\). En el triángulo rectángulo con ángulo en \(A/E\) de \(59{,}74^\circ\), \(\sin(59{,}74^\circ)=\tfrac{DE}{CE-DC}\). Equivalentemente, \(DE= (CE-DC)\sin(59{,}74^\circ)\), y entonces

\[CE-50=\frac{350}{\sin(59{,}74^\circ)}\;\Rightarrow\;CE\approx405{,}20+50=455{,}20\,\text{cm}.\]

Respuesta: \(455\,\text{cm}\) (3 c.s.).

(b)(ii) Usando la razón \(\tfrac{7}{12}\) en el pequeño triángulo de alero, \(\tan\widehat{BAE}=\tfrac{7}{12}=\tfrac{x}{30}\Rightarrow x=17{,}5\,\text{cm}.\) Por tanto, \(BA\approx CE+x\approx455{,}20+17{,}5=472{,}70\,\text{cm}.\)

Respuesta: \(473\,\text{cm}\) (redondeado a cm).

Para que \(h\) esté definida para todo \(x\), se requiere \(4x^2-rx+r-1>0\;\forall x\). Como el coeficiente principal es positivo, basta con que el discriminante sea negativo (sin cortas reales):

\[\Delta=r^2-4\cdot4\cdot(r-1)=r^2-16r+16<0.\]

Resolvemos la inecuación cuadrática: las raíces son \(r=8\pm4\sqrt{3}\). Por tanto,

\[\boxed{\;8-4\sqrt{3}<r<8+4\sqrt{3}\;}\approx\;1,07<r<14,9.\]1,07

(a) Usuarios ≥45: \(17{,}3+3{,}7=21{,}0\) millones. Porcentaje: \(\tfrac{21{,}0}{93{,}6}\times100\approx22{,}4\%\). Respuesta: 22,4 %.

(b) Sea \(X\sim\mathrm{Bin}(n=1000,\;p=0{,}224358…)\). Se pide \(\Pr(X<200)=\Pr(X\le 199)\). Con GDC: \(\Pr(X<200)\approx\)0,0285.

(c) Condicionada: \[\Pr(\text{≥65}\mid\text{≥45})=\frac{3{,}7}{17{,}3+3{,}7}=\frac{3{,}7}{21{,}0}\approx\;0,176.\]0,176

(d) Marcas de clase: 15,5; 21,5; 35; 55; 75.

(e) Con marcas \(m_i\) y frecuencias \(f_i\) (en millones):

\(\bar a=\dfrac{\sum f_im_i}{\sum f_i}=\dfrac{5{,}5\cdot15{,}5+23{,}6\cdot21{,}5+43{,}5\cdot35+17{,}3\cdot55+3{,}7\cdot75}{93{,}6}\approx\)\(35,7\text{ años}\).

Varianza poblacional estimada: \(\sigma^2=\dfrac{\sum f_im_i^2}{\sum f_i}-\bar a^{\,2}\approx\)\(205\text{ años}^2\).

(f) MyLife tiene mayor media (≈35,7) y mayor varianza (≈205) que SmallTalk (29,9; 137). (i) La figura que muestra dos distribuciones con diferentes medias y MyLife más dispersa corresponde a C. (ii) En esa figura, la línea continua representa MyLife (mayor media y más ancha).

(a)(i) Con GDC (regresión lineal): \(a=0{,}358\), \(b=30{,}5\) (valores exactos según la salida: \(a=0{,}358\), \(b\approx30{,}52\)).

(ii) \(a\) es el ritmo medio anual de crecimiento: 0,358 millones de habitantes por año.

(b) 2030 (\(t=30\)) está fuera del rango de datos (\(0\le t\le20\)): es extrapolación; predicción poco fiable.

(c)(i) \(B(100)=33{,}5(1{,}005)^{100}\approx\)55,2 millones.

(ii) \(1{,}005\) indica un crecimiento del 0,5% anual (factor multiplicativo por año).

(d) \(C(100)=\dfrac{62}{1+e^{-2}}\approx\)54,6 millones.

(e) Maximizamos \(|B(t)-C(t)|\) en \([25,100]\) con GDC (función diferencia y cálculo de máximo): \(t\approx58{,}63\Rightarrow\) año 2058 (acepte 2059).

(f) (i) \(B'(t)=33{,}5\ln(1{,}005)\,(1{,}005)^t\Rightarrow B'(75)\approx\)0,243 (millones/año).

(ii) \(C'(t)=\dfrac{62\cdot0{,}02\,e^{-0{,}02t}}{(1+e^{-0{,}02t})^2}\Rightarrow C'(75)\approx\)0,185 (millones/año).

(g) Como \(B'(75)>C'(75)\), en 2075 el modelo de Benoit predice un crecimiento poblacional más rápido que el de Cecilia.

(a) (i) La amplitud es el coeficiente de \(\cos\): 6.

(ii) Para \(\cos(px)\), el período es \(\dfrac{2\pi}{p}\). (Más adelante, al hallar \(p=\pi\), el período será 2.)

(b) Sumamos en forma de amplitud-fase: \(6\cos(px)-8\sin(px)=R\cos(px-\varphi)\), con \(R=\sqrt{6^2+8^2}=10\) y \(\tan\varphi=\tfrac{8}{6}=\tfrac{4}{3}\).

Por tanto, (i) \(a=10\). (ii) \(b=p\). Del gráfico (o del contexto posterior) se obtiene \(p=\pi\), así que \(b=\pi\).

(iii) Queremos \(a\cos\big(b(x-c)\big)=R\cos(px-\varphi)\). Con \(b=p=\pi\), el menor \(c>0\) es \(c=\dfrac{2\pi-\varphi}{\pi}\approx\dfrac{2\pi-\arctan(4/3)}{\pi}=1{,}7048\). Respuesta: \(c\approx1{,}70\).

(c) En \(v(t)=-4{,}5\cos\big(\tfrac{\pi}{19}(t-4)\big)+10{,}5\), el máximo ocurre cuando \(\cos(\cdot)=-1\):

\[\tfrac{\pi}{19}(t-4)=\pi\;\Rightarrow\;t-4=19\;\Rightarrow\;\boxed{\,t=23\,\text{s}\,}.\]

(d) Los mínimos (paso por badén) cuando \(\cos(\cdot)=1\): \(\tfrac{\pi}{19}(t-4)=2k\pi\Rightarrow t=38k+4\). En \([0,120]\): \(t=4,42,80,118\) → 4 badenes.

(e) (i) Derivada por regla de la cadena:

\[v'(t)=\frac{4{,}5\pi}{19}\,\sin\!\left(\tfrac{\pi}{19}(t-4)\right)\approx0{,}744\,\sin\!\left(\tfrac{\pi}{19}(t-4)\right).\]

(ii) La aceleración máxima es la amplitud de \(v’\): \(\dfrac{4{,}5\pi}{19}\approx0{,}744\;\text{m s}^{-2}\).

(f) La distancia entre dos badenes consecutivos es el desplazamiento en un período \(T=\dfrac{2\pi}{\pi/19}=38\) s:

\[\int_{t_0}^{t_0+38}v(t)\,dt=\int_{t_0}^{t_0+38}\big(-4{,}5\cos(\cdot)+10{,}5\big)dt=10{,}5\cdot38=\boxed{399\,\text{m}}.\]