Este ejercicio estudia cómo la evaluación del Índice de Calidad del Aire (AQI) para un colegio depende del método elegido.
La calidad del aire en un distrito se mide en tres estaciones de monitoreo situadas en coordenadas (km): A (0, 5), B (8, 9) y C (8, 1). Se construye un diagrama de Voronói con las tres estaciones como sitios.
(a) (i) Halla la ecuación de la mediatriz perpendicular de [BC]. [2]
(ii) Dado que la mediatriz perpendicular de [AB] es \(y = 15 – 2x\), halla las coordenadas del vértice \(V\). [2]
Un colegio, S, está en el punto (5, 6).
(b) Indica qué estación es la más cercana al colegio. [1]
El AQI < 50 indica buena calidad del aire. La directora solicita a la agencia ambiental el AQI de su colegio. Le informan el promedio de la estación más cercana al colegio.
(c) Escribe el tipo de interpolación que usa la agencia ambiental. [1]
La directora obtiene luego el promedio de AQI en cada estación:
| Estación | A | B | C |
|---|---|---|---|
| Promedio AQI | 132 | 49 | 125 |
(d) Explica por qué la directora podría no aceptar que el aire cerca del colegio se pueda clasificar como “bueno”. [1]
Para usar toda la información, decide aplicar el algoritmo de vecinos naturales. Etapa 1: crear un nuevo Voronói con S como sitio adicional (líneas discontinuas: diagrama previo). Etapa 2: estimar el AQI en el colegio, \(W\), con
\[ W = \frac{w_A\,a_A + w_B\,a_B + w_C\,a_C}{T} \]
donde \(a_A\), \(a_B\), \(a_C\) son las áreas arrebatadas al contorno previo de \(A, B, C\) (regiones P, Q, R, respectivamente) y \(w_A, w_B, w_C\) son sus promedios (de la tabla). \(T\) es el área total de la nueva celda alrededor de S.
(e) (i) Halla el punto medio de [SB]. [2]
(ii) Demuestra que la mediatriz perpendicular de [SB] es \(y = 14 – x\). [3]
(iii) En consecuencia, halla \(a_B\) (el área de la región Q). [5]
Se conocen \(a_A = 13.7\,\text{km}^2\) y \(a_C = 6.9\,\text{km}^2\).
(f) Usa el algoritmo de vecinos naturales para mostrar que \(W = 94.4\). [2]
La directora sospecha que este método subestima \(W\) porque el colegio está cerca de una intersección muy transitada. Recoge lecturas diarias \(x\) durante 60 días y obtiene: \(\bar{x} = 97.8\), \(s = 17.2\), \(n = 60\). Supón que los valores diarios son independientes y siguen una normal.
(g) Contrasta al 10 % la hipótesis de que la media de AQI en el colegio es mayor que 94.4. Indica \(H_0\), \(H_1\) y la conclusión en contexto. [6]
Supón ahora \(X \sim \mathcal{N}(97.8,\,17.2)\).
(h) Con este modelo, halla el número esperado de días por año (redondeado al día más cercano) en los que el AQI se clasifica como “bueno”. [3]
(a)(i) Segmento BC es vertical con extremos B(8,9) y C(8,1); su punto medio tiene \(y\) medio \(\tfrac{9+1}{2}=5\) y la mediatriz es horizontal. Por tanto, y = 5.
(ii) El vértice \(V\) es la intersección de las mediatrices de [AB] y [BC]. Sustituyendo \(y=5\) en \(y=15-2x\): \(5=15-2x\Rightarrow x=5\). Así, \(V=(5,\,5)\).
(b) Distancias al colegio S(5,6):
\(SA=\sqrt{(5-0)^2+(6-5)^2}=\sqrt{26}\approx5.10\), \(SB=\sqrt{(5-8)^2+(6-9)^2}=\sqrt{18}\approx4.24\), \(SC=\sqrt{(5-8)^2+(6-1)^2}=\sqrt{34}\approx5.83\). La más cercana es B.
(c) Interpolación del vecino más cercano.
(d) Aunque B da 49 (<50), es un promedio y el colegio también está relativamente cerca de A y C, con promedios altos (132 y 125), por lo que es plausible que con frecuencia el AQI supere 50 en el colegio.
(e)(i) Punto medio de [SB]: \(\big(\tfrac{5+8}{2},\tfrac{6+9}{2}\big)=(6.5,\,7.5)\). \((6.5,\,7.5)\).
(ii) Pendiente de SB: \(\dfrac{9-6}{8-5}=1\). La mediatriz tiene pendiente \(-1\) y pasa por (6.5,7.5): \(y-7.5=-1(x-6.5)\Rightarrow y=14-x\). y = 14 – x.
(iii) La región Q (asignada desde B) es un triángulo cuyos vértices clave se obtienen intersectando \(y=14-x\) con las rectas del diagrama previo: con \(y=5\) da \((9,5)\); con \(y=15-2x\) da \((1,13)\); y su base en el borde previo sobre \(y=5\) entre \((5,5)\) y \((9,5)\). Tomando como base el segmento horizontal de longitud 4 (de x=5 a x=9 en \(y=5\)) y altura 8 (distancia vertical de \((1,13)\) a la recta \(y=5\)), el área es \(\tfrac12\times4\times8=16\). Por tanto, \(a_B = 16\,\text{km}^2\).
(f) Con \(a_A=13.7\), \(a_B=16\), \(a_C=6.9\) y \(T=13.7+16+6.9=36.6\):
\[ W=\frac{132\cdot13.7+49\cdot16+125\cdot6.9}{36.6}=\frac{1808.4+784+862.5}{36.6}=\frac{3454.9}{36.6}\approx\,\,\,\, 94.4 \]94.4
(g) Contraste unilateral: \(H_0: \mu=94.4\), \(H_1: \mu\mathrel{\unicode{x003E}}94.4\). Estadístico t:
\[ t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{97.8-94.4}{17.2/\sqrt{60}}\approx\frac{3.4}{2.22}\approx1.53. \] Con \(df=59\), \(p\approx0.0655\). Como \(p\mathrel{\unicode{x003C}}0.10\), se rechaza \(H_0\). Conclusión: hay evidencia significativa al 10 % de que la media de AQI en el colegio es mayor que 94.4.
(h) Días con AQI “bueno” (\(X\mathrel{\unicode{x003C}}50\)) cuando \(X\sim\mathcal N(97.8,17.2)\):
\(z=\dfrac{50-97.8}{17.2}\approx-2.78\Rightarrow \mathbb P(X\mathrel{\unicode{x003C}}50)\approx0.00273\). Número esperado en 365 días: \(0.00273\times365\approx0.995\Rightarrow\) 1 día.