Esta pregunta compara el desempeño académico de dos escuelas (A y B). A los 18 años, todo el alumnado realiza el mismo examen final. Augustin toma una muestra representativa de tamaño 6 de cada escuela y entrevista a cada estudiante.
- Indica una ventaja de aumentar el tamaño muestral.
- Indica una desventaja de aumentar el tamaño muestral.
En la Tabla 1 aparecen los porcentajes del examen final para los seis estudiantes muestreados de la escuela A. La media muestral de A es 51.7 (3 c.s.).
| N.º candidato | Examen final (%) |
|---|---|
| 10001 | 63.5 |
| 10003 | 52.5 |
| 10012 | 50.7 |
| 10045 | 42.8 |
| 10073 | 44.7 |
| 10090 | 56.1 |
(b) Calcula la desviación típica muestral \(s\) con corrección \(n-1\) para la muestra de A.
Para B se conoce \(s=7.66\) (3 c.s., con \(n-1\)). Augustin afirma: «La dispersión en A debe ser menor que en B».
(c) Haz una crítica a esa afirmación.
El organismo examinador afirma que, en cada escuela, los resultados del examen final se distribuyen aproximadamente normalmente (puedes asumirlo). Augustin decide usar una prueba t con varianza agrupada para comparar las medias de A y B.
- Indica la condición sobre las varianzas poblacionales requerida para usar la prueba t agrupada.
- Indica si debería usarse aquí; justifica.
Antes de recoger datos, Augustin creía que la media de B era mayor que la de A. Con sus datos, la media muestral de B es exactamente 60.
- Plantea las hipótesis nula y alternativa apropiadas (prueba t agrupada, unilateral).
- Halla el valor p.
- Con un \(\alpha=0.05\), concluye en contexto y justifica.
Todo el alumnado hizo el mismo examen de acceso a los 11 años. Augustin quiere determinar la evidencia de correlación entre el resultado de acceso y el final. Para los 12 estudiantes muestreados, el coeficiente de correlación de Pearson es \(r=0.876\) (3 c.s.). El valor crítico al 5% es 0.576.
- Suponiendo que se cumplen los requisitos, realiza la prueba al 5% (hipótesis y conclusión justificada).
- Si no se cumplen, indica una prueba alternativa.
El organismo usa el modelo \(\hat y=0.37x+37.6\) para predecir la nota final a partir de la nota de acceso.
(g) Interpreta, en contexto, la pendiente 0.37 del modelo.
Augustin define el «valor añadido» de la escuela como \(y-\hat y\) redondeado a 1 d.c. La Tabla 2 muestra los datos:
| N.º | Escuela | Acceso (x) | Final (y) | Valor añadido (y-\(\hat y\)) |
|---|---|---|---|---|
| 10001 | A | 53.2 | 63.5 | 6.2 |
| 10003 | A | 38.7 | 52.5 | q |
| 10012 | A | 32.0 | 50.7 | 1.3 |
| 10045 | A | 20.0 | 42.8 | -2.2 |
| 10073 | A | 23.2 | 44.7 | -1.5 |
| 10090 | A | 42.4 | 56.1 | 2.8 |
| 20004 | B | 72.0 | 60.8 | -3.4 |
| 20008 | B | 69.5 | 60.3 | -3.0 |
| 20023 | B | 52.3 | 47.1 | -9.9 |
| 20044 | B | 84.1 | 69.9 | 1.2 |
| 20061 | B | 74.7 | 64.6 | -0.6 |
| 20083 | B | 66.9 | 57.3 | -5.1 |
- Demuestra que \(q=0.6\).
- Suponiendo requisitos apropiados, usa una prueba t con varianza agrupada (5%) para decidir si el valor añadido medio es mayor en A que en B. Indica \(H_0, H_1\) y concluye con justificación.
(i) Con los resultados de Augustin, explica cómo cada escuela podría afirmar que rinde mejor que la otra.
(a) (i) Ventaja: con mayor \(n\), la muestra suele ser más representativa y la media muestral tiende más a la media poblacional.
(ii) Desventaja: más costoso/consumidor de tiempo y más propenso a errores humanos logísticos.
(b) Con \(n=6\) y media \(\bar x=51.7\). Usamos \(s=\sqrt{\tfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}}\) (corrección \(n-1\)). Cálculo con GDC sobre los seis valores de la Tabla 1 da \(s\approx7.5975\). A 3 c.s.: 7.60.
(c) Crítica: los \(s\) muestrales son solo estimaciones y están muy próximos; la dispersión poblacional podría no ser menor en A.
(d) (i) Requisito: varianzas poblacionales iguales \((\sigma_A^2=\sigma_B^2)\).
(ii) Como \(s_A\approx7.60\) y \(s_B\approx7.66\) (muy similares) y normalidad asumida, la suposición es plausible; usar prueba t agrupada es razonable.
(e) (i) Unilateral (creencia de B mayor): \(H_0: \mu_A=\mu_B\). \(H_1: \mu_B\mathrel{\unicode{x003E}}\mu_A\) (equivalentemente \(\mu_A\mathrel{\unicode{x003C}}\mu_B\)).
(ii) Con \(n_A=n_B=6\), \(\bar x_A=51.7\), \(\bar x_B=60.0\), \(s_A=7.5975\), \(s_B=7.66\). Varianza agrupada: \[s_p=\sqrt{\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}}\approx\sqrt{\frac{5\cdot7.5975^2+5\cdot7.66^2}{10}}\approx7.63.\] Estadístico: \[t=\frac{\bar x_B-\bar x_A}{s_p\sqrt{\tfrac{1}{n_A}+\tfrac{1}{n_B}}}=\frac{8.3}{7.63\sqrt{\tfrac{1}{3}}}\approx1.88,\quad \text{gl}=10.\] Valor p (cola derecha): 0.0445 (aprox.).
(iii) Como \(p=0.0445\mathrel{\unicode{x003C}}0.05\), se rechaza \(H_0\). Hay evidencia de que la media poblacional de B es mayor que la de A (la creencia de Augustin se apoya).
(f) (i) Hipótesis: \(H_0: \rho=0\) (sin correlación poblacional), \(H_1: \rho\neq0\). Dado \(r=0.876\mathrel{\unicode{x003E}}0.576\) (crítico al 5%), se rechaza \(H_0\). Conclusión: evidencia significativa de correlación entre resultados de acceso y finales.
(ii) Alternativa no paramétrica: Spearman (rango de Spearman).
(g) Interpretación de la pendiente: por cada punto adicional en el examen de acceso, la predicción de la nota final aumenta en 0.37 puntos porcentuales, en promedio.
(h) (i) Para 10003, \(\hat y=0.37\cdot38.7+37.6=51.919\). Entonces \(y-\hat y=52.5-51.919=0.581\to\) redondeado a 1 d.c.: 0.6.
(ii) Valores añadidos en A: 6.2, 0.6, 1.3, -2.2, -1.5, 2.8 (media \(\bar v_A=1.2\)); en B: -3.4, -3.0, -9.9, 1.2, -0.6, -5.1 (media \(\bar v_B=-3.4667\)). Desv. típicas muestrales: \(s_A\approx3.06\), \(s_B\approx3.85\). Agrupando: \(s_p\approx3.48\), gl=10. Estadístico: \[t=\frac{\bar v_A-\bar v_B}{s_p\sqrt{\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}}}=\frac{4.6667}{3.48\sqrt{\tfrac{1}{3}}}\approx2.32.\] Prueba unilateral (\(H_0:\mu_A=\mu_B\), \(H_1:\mu_A\mathrel{\unicode{x003E}}\mu_B\)): valor p \(\approx\) 0.0213. Como \(p\mathrel{\unicode{x003C}}0.05\), se rechaza \(H_0\); hay evidencia de mayor valor añadido medio en A.
(i) La escuela A puede alegar mejor desempeño por su mayor valor añadido medio (h). La escuela B puede alegar mejor desempeño por su mayor media de resultados finales (e).
