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Matemáticas AI NS

Prueba 1 Mayo 2025 TZ2

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 12 h

10preguntas

Preguntas y soluciones

Pregunta 1

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Da todas las respuestas de esta pregunta con dos decimales.

Pierre invierte 1500 euros (EUR) al final de cada mes durante 10 años en un plan de ahorro con una tasa nominal anual del 3.6% capitalizada mensualmente.

(a) Calcula el valor del plan de ahorro de Pierre al final de los 10 años.

Al final de los 10 años, Pierre retira 100 000 EUR del plan para usarlo como depósito de una casa. Invierte el resto en otra cuenta durante 15 años a una tasa nominal anual del 4.5% capitalizada trimestralmente.

(b) Calcula la cantidad en la cuenta de Pierre al final de este tiempo.

(a) Renta ordinaria mensual. i_m = \(\tfrac{0.036}{12}=0.003\), n = \(12\times10=120\).

\[\text{FV}_{10\,a}\;=\;1500\,\frac{(1+0.003)^{120}-1}{0.003}\]

Con calculadora: \((1.003)^{120}\approx1.433\;\Rightarrow\;\text{FV}\approx\)216278.58 EUR.

(b) Resto tras retirar 100000: \(116278.58\,\text{EUR}\).

Capitalización trimestral: i_q = \(\tfrac{0.045}{4}=0.01125\), N = \(15\times4=60\).

\[\text{FV}_{15\,a}=116278.58\,(1+0.01125)^{60}\approx\]227515.92 EUR.

Pregunta 2

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El punto A tiene coordenadas (1, 2, 1) y el punto B tiene coordenadas (3, 5, 2).

(a) Halla \(AB\).

El triángulo ABC es rectángulo con ángulo recto en B. El punto C tiene coordenadas (2, 8, k).

(b) Halla el valor de k.

(a) El vector desde A hasta B es

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,5-2,2-1)=(2,3,1).\]

Por la fórmula de la distancia en tres dimensiones:

\[AB=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\approx3.74.\]

\(AB=\sqrt{14}\approx3.74\)

(b) Como el ángulo recto está en B, los vectores \(\overrightarrow{BA}\) y \(\overrightarrow{BC}\) son perpendiculares. Equivalentemente, \(AC^2=AB^2+BC^2\).

\[AC^2=1^2+6^2+(k-1)^2,\quad AB^2=14,\quad BC^2=(-1)^2+3^2+(k-2)^2.\]

\[1+36+(k-1)^2=14+1+9+(k-2)^2\Rightarrow38-2k=28-4k.\]

Sumando \(4k\) y restando 38:

\[2k=-10\Rightarrowk=-5.\]

(c) Con \(k=-5\), \(\overrightarrow{AB}=(2,3,1)\) y \(\overrightarrow{AC}=(1,6,-6)\). Usamos el producto escalar:

\[\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|AB\|\|AC\|}=\frac{2+18-6}{\sqrt{14}\sqrt{73}}=\frac{14}{\sqrt{14}\sqrt{73}}.\]

Aplicando \(\cos^{-1}\) con la calculadora:

\(\angle B\hat{A}C\approx64.0^\circ\)

Pregunta 3

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Dos jueces, Brett y Clarence, clasifican el nivel de habilidad de ocho perros pastores (A a H). La tabla muestra los rangos (1 = mejor):

Rango	1	2	3	4	5	6	7	8
Brett	A	C	D	B	E	F	G	H
Clarence	A	B	D	C	E	G	F	H

(a) Escribe el rango que Brett otorga al perro B.

(b) Calcula el coeficiente de correlación por rangos de Spearman para estos datos.

(a) En la fila de Brett, B aparece en el rango 4. 4

(b) Asignando rangos por perro (A–H):

Brett: A1, B4, C2, D3, E5, F6, G7, H8. Clarence: A1, B2, C4, D3, E5, F7, G6, H8.

Diferencias d por perro: A0, B2, C−2, D0, E0, F−1, G1, H0. \(\sum d^2=10\).

Con n=8: \[r_s=1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot10}{8(64-1)}=1-\frac{60}{504}=0.880952\approx\;0.881\]0.881

(c) El valor es cercano a 1, así que las clasificaciones de Brett y Clarence muestran una fuerte correlación positiva (son muy similares, aunque no idénticas).

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 4

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Considera el diagrama de Voronoi con sitios A(3,3), B(10,5), C(7,2), D(5,9), E(1,5) y F(6,5). El diagrama muestra las celdas y sus fronteras.

El vértice X es equidistante de B, C y F.

Escribe las coordenadas de X.
El valor exacto de \(BX\) es \(\sqrt{n}\). Escribe el valor de \(n\).

El vértice Y = (a, b) es equidistante de B, D y F.

Escribe el valor de \(a\).
Halla el valor exacto de \(b\).

Diagrama de Voronoi con los sitios A, B, C, D, E y F y los vértices X e Y.

(a)(i) X es la intersección de las mediatrices de BF y BC. BF es horizontal de (10,5) a (6,5), por lo que su mediatriz es vertical: \(x=8\). Para BC, el punto medio es \((8.5,3.5)\) y la pendiente de BC es 1, así que su mediatriz tiene pendiente \(-1\): \(y-3.5=-(x-8.5)\), es decir \(y=-x+12\). Al intersectar con \(x=8\), se obtiene \(y=4\). Por tanto, \(X=(8,4)\).

(a)(ii) \(BX=\sqrt{(10-8)^2+(5-4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\). Por tanto, \(n=5\).

(b)(i) Y también está en la mediatriz de BF, luego \(a=8\).

(b)(ii) Usamos la mediatriz de BD. El punto medio de BD es \((7.5,7)\). La pendiente de BD es \(-\tfrac{4}{5}\), por lo que la mediatriz tiene pendiente \(\tfrac{5}{4}\): \(y-7=\tfrac{5}{4}(x-7.5)\). Sustituyendo \(x=8\): \(y-7=\tfrac{5}{4}\cdot0.5=\tfrac{5}{8}\), así que \(y=7+\tfrac{5}{8}=\tfrac{61}{8}\). Por tanto, \(b=\tfrac{61}{8}\).

Pregunta 5

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Un radar controla si un coche supera el límite de 8.3 m s⁻¹. Se marcan exactamente 10 m. El coche recorre esa distancia en 1.2 s, medido al 0.1 s más cercano. Determina si es seguro que superó el límite. Justifica.

Al medir \(1.2\) s al \(0.1\) s más cercano, el tiempo real puede estar en el intervalo

\[1.15\le t\mathrel{\unicode{x003C}}1.25.\]

Calculamos la velocidad con \(v=10/t\). Como aumenta cuando el tiempo disminuye, la velocidad mínima compatible con la medición corresponde al mayor tiempo:

\[v_{\min}\approx\frac{10}{1.25}=8.0\text{ m s}^{-1}.\]

Este valor es inferior al límite de \(8.3\text{ m s}^{-1}\). También podemos hallar el tiempo que corresponde exactamente al límite:

\[t=\frac{10}{8.3}\approx1.2048\text{ s}.\]

El intervalo posible contiene tiempos mayores que \(1.2048\) s, para los cuales el coche no supera el límite. Aunque usando \(1.2\) s se obtendría \(8.33\text{ m s}^{-1}\), la incertidumbre de redondeo impide asegurarlo.

No es seguro que el coche haya superado el límite.

Pregunta 6

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Se midieron las temperaturas en 5 ubicaciones de un arrecife. La media muestral fue 20.1°C y la desviación estándar muestral, s, fue 3.2°C.

(a) Halla una estimación insesgada de la varianza poblacional.

(b) Suponiendo normalidad, halla un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

(a) Con n=5, la varianza insesgada es \(S^2=\dfrac{n}{n-1}s^2=\dfrac{5}{4}\cdot(3.2)^2=\dfrac{5}{4}\cdot10.24=\)12.8 °C^2.

(b) IC t al 95% con \(\nu=4\) gl: \(\bar{x}\pm t_{0.025,4}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}\). Con \(t_{0.025,4}\approx2.776\) y \(s/\sqrt{5}=1.431\):

Margen \(=2.776\times1.431\approx3.97\). IC: [16.13, 24.07] °C.

(c) 17 está dentro del IC, así que sí, es plausible.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 7

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(a) Halla la integral indefinida \(\int x e^{-x^2}\,dx\).

(b) En consecuencia, halla el área limitada por el eje x, la curva \(y=xe^{-x^2}\) y la recta \(x=k\). Da la respuesta en función de \(k\).

(a) Sustitución: \(u=-x^2\Rightarrow du=-2x\,dx\Rightarrow x\,dx=-\tfrac{1}{2}\,du\).

\[\int x e^{-x^2}\,dx=\int e^{u}\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)du=-\tfrac{1}{2}e^{u}+C=-\tfrac{1}{2}e^{-x^2}+C\]

(b) El área desde 0 hasta \(k\) es \(\displaystyle \int_0^k xe^{-x^2}\,dx\) (la función es no negativa para \(x\ge0\)).

\[\int_0^k xe^{-x^2}\,dx=\Big[-\tfrac{1}{2}e^{-x^2}\Big]_0^k=-\tfrac{1}{2}e^{-k^2}+\tfrac{1}{2}=\;\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-k^2}\big)\]

Pregunta 8

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Un sistema guarda las conexiones entre 5 pueblos A, B, C, D y E en una matriz de adyacencia (filas y columnas en orden alfabético):

0	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	0	0	1	0
0	1	1	0	0
1	1	0	0	0

(a) Dibuja y etiqueta un grafo que represente la matriz.

(b) Determina el número de paseos de longitud 4 que empiezan y terminan en el mismo pueblo.

(a) En una matriz de adyacencia, cada entrada 1 indica una arista entre el vértice de la fila y el de la columna. Leyendo una sola mitad de la matriz para no repetir conexiones, obtenemos:

\[AB,\ AE,\ BD,\ BE,\ CD.\]

El grafo no dirigido tiene vértices A, B, C, D, E y aristas \(AB,AE,BD,BE,CD\).

(b) La entrada \((i,j)\) de \(A^4\) cuenta los paseos de longitud 4 desde el vértice \(i\) hasta el vértice \(j\). Por tanto, los paseos que empiezan y terminan en el mismo pueblo están en la diagonal de \(A^4\).

Con la función de matrices de la calculadora:

\[A^4=\begin{pmatrix}7&6&1&5&6\\6&12&4&2&6\\1&4&2&0&1\\5&2&0&6&5\\6&6&1&5&7\end{pmatrix}.\]

Sumamos la diagonal, que equivale a calcular la traza:

\[\operatorname{tr}(A^4)=7+12+2+6+7=34.\]

\(34\) paseos cerrados de longitud 4

Pregunta 9

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Una científica modela una capa de hielo como un rectángulo. El ancho \(x\) (km) aumenta a 10 km/año y el largo \(y\) (km) disminuye a 5 km/año. El tiempo \(t\) en años y el área \(A\) en km². Cuando \(t=0\): \(x=75\), \(y=40\).

(a) Halla \(\dfrac{dA}{dt}\) cuando \(t=0\).

(b) Indica, con justificación, si el área aumenta o disminuye cuando \(t=0\).

(a) \(A=xy\). Por regla del producto: \(\dfrac{dA}{dt}=x\dfrac{dy}{dt}+y\dfrac{dx}{dt}\).

En \(t=0\): \(x=75\), \(y=40\), \(dx/dt=10\), \(dy/dt=-5\).

\[\frac{dA}{dt}=75(-5)+40(10)=-375+400=\;25\;\text{km}^2\text{/año}\]\(25\;\text{km}^2\text{/año}\)

(b) Aumenta porque \(\dfrac{dA}{dt}\mathrel{\unicode{x003E}}0\) en \(t=0\).

(c) \(x(1)=75+10=85\), \(y(1)=40-5=35\). Áreas: \(A_0=75\cdot40=3000\), \(A_1=85\cdot35=2975\). Cambio: \(A_1-A_0=-25\;\text{km}^2\). Es decir, disminuye 25 km^2.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.

Pregunta 10

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Considera la función \(f(x)\) definida en los enteros de 0 a 4:

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	1	0	4	2

(a) Resuelve \(f(x)=4\).

(b) Resuelve \(f(x)=x\).

x	0	1	2	3	4
\(f^{-1}(x)\)

(a) En la fila \(f(x)\) el valor 4 aparece cuando \(x=3\). x=3

(b) Buscamos \(f(x)=x\). Se verifica solo en \(x=1\). x=1

(c) Inversa en el conjunto dado: para cada imagen, el preimagen correspondiente.

\(f(2)=0\Rightarrow f^{-1}(0)=2\). \(f(1)=1\Rightarrow f^{-1}(1)=1\). \(f(4)=2\Rightarrow f^{-1}(2)=4\). \(f(0)=3\Rightarrow f^{-1}(3)=0\). \(f(3)=4\Rightarrow f^{-1}(4)=3\).

Tabla final: (2, 1, 4, 0, 3) para \(x=0,1,2,3,4\), respectivamente.

Procedimiento general: identificamos los datos del apartado, sustituimos en la fórmula o modelo indicado y calculamos el resultado antes de redondear según el enunciado.