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Matemáticas AI NM

Prueba 1 Mayo 2025 TZ3

Práctica de Prueba 1 con preguntas de examen y soluciones desarrolladas en español.

Prueba 11 hora 30 minutos
12preguntas

Estudio de caso

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM — Prueba 1 (15 de mayo de 2025). Calculadora con pantalla gráfica requerida. Conteste todas las preguntas y muestre el procedimiento. Salvo indicación en contra, dé resultados exactos o aproximados a tres cifras significativas. Se permite el cuadernillo de fórmulas de MAI NM.

Preguntas y soluciones

Pregunta 1
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Una estructura metálica situada sobre una superficie plana tiene forma de pirámide recta con base rectangular ABCD y vértice H (−0,5 ; 1,5 ; 5). El punto A tiene por coordenadas (−2 , 0 , 0) y el punto C tiene por coordenadas (1 , 3 , 0). El centro de la base (G) es el punto medio de AC. Las unidades son cm.

  1. Halle las coordenadas de G.
  2. Escriba la altura en vertical HG.
  3. Halle la distancia que hay entre C y H.
Diagrama de una pirámide triangular con medidas dadas.

a) El punto medio de AC es \(G=\left(\tfrac{-2+1}{2},\,\tfrac{0+3}{2},\,\tfrac{0+0}{2}\right)=(-0.5,\,1.5,\,0)\). (-0,5; 1,5; 0)

b) La altura vertical es la componente \(z\) de \(H\) menos la de \(G\): \(|5-0|=\,\)5 cm.

c) Distancia \(CH=\sqrt{(1-(-0.5))^2+(3-1.5)^2+(0-5)^2}=\sqrt{1.5^2+1.5^2+25}=\sqrt{29.5}\approx\,\)5,43 cm.

Pregunta 2
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El consumo mensual de energía (x, en kWh) de 150 hogares de Helvetia se muestra en la tabla (intervalos de 500 a 1700 kWh con anchos 200). Utilice los valores centrales para estimar:

  1. (i) la media; (ii) la desviación típica.

En Eureka, la desviación típica es 95 kWh.

(b) Interprete la desviación típica de Eureka comparándola con la de Helvetia.

a) Midpoints: 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600 con frecuencias 38, 45, 25, 18, 16, 8 (N=150).

Media \(\bar x=\dfrac{\sum f m}{N}=\dfrac{600\cdot38+800\cdot45+1000\cdot25+1200\cdot18+1400\cdot16+1600\cdot8}{150}=\dfrac{140600}{150}=\)937 kWh.

Desviación típica (poblacional, datos agrupados): \(\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum f m^2}{N}-\bar x^{\,2}}\). Aquí \(\sum f m^2=145\,240\,000\). Entonces \(\sigma=\sqrt{\dfrac{145240000}{150}-937.333^{2}}\approx\)299 kWh.

b) Como 95 < 299, el consumo mensual en Eureka está mucho menos disperso: hay menor variabilidad que en Helvetia.

Pregunta 3
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El nivel de agua (h, en m) tras t horas está dado por \(h(t)=\dfrac{20}{2t+5}\), \(t\ge 0\).

  1. Halle \(h(0{,}5)\).
  2. (i) Halle \(h^{-1}(2{,}5)\). (ii) Interprete este valor.
  3. Escriba el recorrido de \(h^{-1}\).

a) \(h(0.5)=\dfrac{20}{2(0.5)+5}=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}\approx\)3,33 m.

b) (i) Resolver \(\dfrac{20}{2t+5}=2.5\Rightarrow 2t+5=\dfrac{20}{2.5}=8\Rightarrow t=\)1,5 h.

(ii) Significa que el agua tarda 1,5 horas en alcanzar 2,5 m.

c) Como \(t\ge 0\), el recorrido de \(h^{-1}\) es \([0, \infty)\).

Pregunta 4
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Considere \(f(x)=x^3+2x^2-4x-2\). En la figura se muestra parte del gráfico de \(y=f(x)\).

  1. Escriba la coordenada x de: (i) el máximo local; (ii) el mínimo local.
  2. Escriba el intervalo en el que la función es decreciente.
  3. La tangente en (1, −3) es paralela a \(y=3x+5\). Escriba: (i) su pendiente; (ii) su ecuación.
Gráfica cúbica usada para leer raíces, intersecciones y comportamiento de la función.

a) \(f'(x)=3x^2+4x-4=0\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{6}=\{-2,\;\tfrac{2}{3}\}.\) Para una cúbica con coeficiente líder positivo: máximo local en \(x=-2\), mínimo local en \(x=\tfrac{2}{3}\). (i) −2; (ii) 2/3

b) Decrece donde \(f'(x)<0\): entre las raíces. −2 < x < 2/3

c) Pendiente paralela a \(3x+5\) es \(3\). Ecuación por punto-pendiente con (1,−3): \(y+3=3(x−1)\Rightarrow y=3x−6\). m=3; y=3x−6

Pregunta 5
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Una empresa de telefonía móvil presta servicio en una zona rural. Las torres están situadas en A(1,5), B(7,8) y C(4,12), y todas las distancias están en kilómetros. Se muestra el diagrama de Voronoi correspondiente.

(a) Halle la ecuación de la mediatriz de [AB].

La empresa considera añadir dos torres nuevas en D(8,2) y E(14,10). Se proponen cuatro opciones para el nuevo diagrama de Voronoi.

(b) Identifique la opción correcta.

(c) Cada torre garantiza cobertura excelente dentro de un radio de 3 km. Pooja está en (6,4). Indique si tiene cobertura excelente y justifique su respuesta.

Diagrama de Voronoi inicial para las torres A, B y C.
Cuatro opciones limpias y recortadas de diagrama de Voronoi al añadir las torres D y E.

a) Punto medio de \([AB]\): \(M=(\tfrac{1+7}{2},\tfrac{5+8}{2})=(4,6.5)\). Pendiente de \(AB\): \(m_{AB}=\tfrac{8-5}{7-1}=\tfrac{1}{2}\). La mediatriz es perpendicular: \(m=-2\). Ecuación: \(y-6.5=-2(x-4)\Rightarrow\)y = -2x + 14,5.

b) La región de cada sitio se determina por las mediatrices respecto a sus vecinos; verificando las bisectrices con D y E, la configuración correcta es Opción 3.

c) Asumiendo que las torres nuevas ya forman parte de la red, la torre más cercana a Pooja es \(D(8,2)\). Entonces \(d=\sqrt{(6-8)^2+(4-2)^2}=\sqrt{8}=2.83\text{ km}\). Como \(2.83<3\), sí, tiene cobertura excelente (está dentro de 3 km de la torre D).

Pregunta 6
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En el triángulo con puntos N, P, V se tiene NP=20 m, PV=25 m y \(\angle VP\hat{\,}N=55{,}5^\circ\).

  1. Halle NV.
  2. Halle \(\angle PN\hat{\,}V\).
  3. Halle la distancia más corta entre P y la recta \([NV]\).
Triángulo NPV con lados y ángulos marcados.

a) Regla del coseno en \(\triangle NPV\): \(NV^2=20^2+25^2-2\cdot20\cdot25\cos 55.5^\circ\). Entonces \(NV\approx\)21,4 m.

b) Regla del seno: \(\dfrac{\sin\angle PNV}{PV}=\dfrac{\sin 55.5^\circ}{NV}\Rightarrow \angle PNV=\arcsin\Big(\dfrac{25\sin55.5^\circ}{NV}\Big)\approx\)74,2°.

c) La distancia más corta es la altura desde P a \([NV]\). Área por dos formas: \(A=\tfrac12\,NP\cdot PV\sin55.5^\circ=\tfrac12\,NV\cdot d\). Por tanto \(d=\dfrac{NP\cdot PV\sin55.5^\circ}{NV}\approx\)19,2 m.

Pregunta 7
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Nivel acústico: \(L=10\log_{10}\!\big(\tfrac{I}{I_0}\big)\), con \(I_0=10^{-12}\,\text{W m}^{-2}\).

  1. En una calle, \(I=10^{-5}\,\text{W m}^{-2}\). Calcule \(L\).
  2. Un motor a reacción tiene \(L=185\,\text{dB}\). Determine \(I\) en la forma \(a\times10^k\).

a) \(L=10\log_{10}\!\big(\tfrac{10^{-5}}{10^{-12}}\big)=10\log_{10}(10^{7})=10\cdot7=\)70 dB.

b) \(185=10\log_{10}(I/10^{-12})\Rightarrow \log_{10}(I/10^{-12})=18.5\Rightarrow I=10^{18.5}\cdot10^{-12}=10^{6.5}=\)\(3,16\times10^{6}\;\text{W m}^{-2}\).

Pregunta 8
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Se registran 250 respuestas de satisfacción (satisfecho, neutro, descontento) frente a tres tipos de interacción (presencial, chat automático en línea, formulario). Se realiza una prueba \(\chi^2\) de independencia al 5% (valor crítico 9,488). La hipótesis nula: el grado de satisfacción y el tipo de interacción son independientes.

  1. Indique la hipótesis alternativa.
  2. Halle los grados de libertad.
  3. Calcule \(\chi^2_{\text{calc}}\).
  4. (i) Indique si se rechaza \(H_0\) y justifique. (ii) Concluya en contexto.

a) Existe asociación entre satisfacción y tipo de interacción (no son independientes).

b) \((r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=\)4.

c) Con totales por fila/columna, \(E=\dfrac{(\text{total fila})(\text{total columna})}{250}\). Sumar \(\sum \dfrac{(O-E)^2}{E}\) en las 9 celdas (con GDC). Se obtiene \(\chi^2_{\text{calc}}\approx 3,32\)\(\chi^2_{\text{calc}}\approx 3,32\).

d) (i) Como \(3,32<9,488\), no se rechaza \(H_0\) al 5%.

(ii) No hay evidencia suficiente para afirmar que satisfacción y tipo de interacción estén asociados; los datos son compatibles con independencia.

Pregunta 9
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La razón de cambio de los beneficios (P, en MUR) al producir x kg es \(\dfrac{dP}{dx}=-10x+460\), \(x\ge 0\). Además, \(P(10)=3300\).

  1. Halle \(P(x)\).
  2. Pascale aumenta la producción de 25 kg a 50 kg. Halle el aumento de beneficios.

a) Integrando: \(P(x)=\int(-10x+460)\,dx=-5x^2+460x+C\). Usando \(P(10)=3300\): \(3300=-5(100)+460(10)+C\Rightarrow 3300=4100+C\Rightarrow C=-800\). Luego P(x)=-5x^2+460x-800.

b) \(\Delta P=P(50)-P(25)=[-5(2500)+460(50)-800]-[-5(625)+460(25)-800]\). Así, \(P(50)=9700\), \(P(25)=7575\), por lo que \(\Delta P=2125\) MUR.

Pregunta 10
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Tiempos (s) de las 16 mujeres más rápidas en 50 m libres. Diagrama de caja y bigotes parcial mostrado.

  1. Número de nadadoras con tiempo > 24,70 s.
  2. Halle el RIC.
  3. Las dos más rápidas: 23,96 y 24,12 s. Las dos más lentas: 25,12 y 25,40 s. (i) Muestre que solo uno es atípico (regla 1,5×RIC). (ii) Complete el diagrama.
Diagrama de caja y bigotes para el conjunto de datos.

a) El bigote/cuartil superior en 24,70 implica 4 valores por encima en una muestra de 16. 4

b) Con \(Q_1=24{,}28\) y \(Q_3=24{,}70\): \(\text{RIC}=24{,}70-24{,}28=\)0,42 s.

c) (i) Umbrales de atípicos: \(Q_3+1{,}5\,\text{RIC}=24{,}70+0{,}63=25{,}33\); \(Q_1-1{,}5\,\text{RIC}=24{,}28-0{,}63=23{,}65\). De los cuatro valores dados, solo 25,40 s excede 25,33 s.

(ii) En el diagrama: marcar el atípico en 25,40 s; bigote superior hasta 25,12 s; bigote inferior hasta 23,96 s; la caja entre 24,28 y 24,70 con la mediana según el gráfico.

Pregunta 11
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Préstamo de 50 000 € a tipo nominal anual 4,2% capitalizado mensualmente. Plazo 25 años, pagos mensuales al final de mes.

  1. Halle la cuota mensual (redondee a 2 decimales).
  2. Tras 8 años, Sofia liquida todo: (i) halle el pago único; (ii) cuánto ahorra por amortizar anticipadamente.

Datos: \(PV=50\,000\) €, \(i=\tfrac{0{,}042}{12}=0{,}0035\), \(n=25\cdot12=300\).

a) Cuota \(R=PV\,\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}=50000\,\dfrac{0{,}0035}{1-(1{,}0035)^{-300}}\approx\)269,47 €.

b) Tras 8 años: \(96\) pagos realizados, quedan \(204\) meses.

(i) Saldo vivo \(=R\,\dfrac{1-(1+i)^{-204}}{i}\approx 269{,}47\,\dfrac{1-(1{,}0035)^{-204}}{0{,}0035}\approx\)39 243,42 €.

(ii) Sin amortización anticipada, total abonado \(=300\,R=80\,841{,}00\) €. Con amortización: \(96\,R+39\,243{,}42\approx 65\,112{,}54\) €. Ahorro \(=80\,841{,}00-65\,112{,}54=\)15 728,46 €.

Pregunta 12
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Se seleccionan 6 países dividiendo por riqueza en 3 grupos iguales y eligiendo 2 al azar de cada grupo. Se registran \(x\) (modelo) y \(y\) (índice de felicidad sobre 10). Se aceptará el modelo si \(r>0{,}8\).

  1. Nombre del tipo de muestreo.
  2. (i) Halle \(r\). (ii) Indique si el modelo es válido.
  3. Halle la recta de regresión de \(y\) sobre \(x\).
  4. Prediga \(y\) cuando \(x=17{,}2\).

a) Se divide en estratos por riqueza y se toman muestras en cada uno: muestreo estratificado.

b) (i) Con GDC, \(r\approx\)0,854. (ii) Como \(r>0{,}8\), sí, es válido.

c) Recta de regresión \(y= a x + b\). Con GDC: \(y\approx 0{,}266\,x+2{,}40\). y = 0,266x + 2,40

d) Sustituir \(x=17{,}2\): \(y\approx 0{,}265851\cdot17{,}2+2{,}39573\approx\)6,97.