Gabriel investiga la forma del ala de un aeromodelo. La región sombreada es el área entre el eje x y la curva \(y = 2\sqrt{x} – \tfrac{x}{5} + 1\), para \(0 \le x \le 100\), donde x e y están en cm.
(a) Complete la tabla.
| x (cm) | 0 | 25 | 50 | 75 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (cm) | 1 | a | b | c | 1 |
(b) Con la regla del trapecio con cuatro intervalos, estime el área sombreada.
(c) (i) Escriba la integral para hallar el área exacta. (ii) Use la calculadora para hallar el área exacta, redondeada a una cifra decimal.
(d) Calcule el porcentaje de error de la estimación del apartado (b).
(a) Sustituimos en \(y = 2\sqrt{x} – \tfrac{x}{5} + 1\).
- \(x=25:\; y = 2\sqrt{25} – 5 + 1 = 10 – 5 + 1 = 6\). 6
- \(x=50:\; y = 2\sqrt{50} – 10 + 1 = 2\cdot 5\sqrt{2} – 9 \approx 5.14\). 5,14
- \(x=75:\; y = 2\sqrt{75} – 15 + 1 = 10\sqrt{3} – 14 \approx 3.32\). 3,32
(b) Regla del trapecio con \(h=25\) y valores \(y_0=1, y_1=6, y_2\approx5{,}142, y_3\approx3{,}321, y_4=1\):
\[A\approx \frac{h}{2}\big(y_0+y_4+2(y_1+y_2+y_3)\big)=\frac{25}{2}\big(1+1+2(6+5{,}142+3{,}321)\big)\approx 387\;\text{cm}^2.\]
\(387\;\text{cm}^2\)
(c)(i) Área exacta:
\[\int_{0}^{100} \left(2\sqrt{x}-\frac{x}{5}+1\right)\,dx\]
(c)(ii) Integramos: \(\int 2\sqrt{x}\,dx=\tfrac{4}{3}x^{3/2}\), \(\int -\tfrac{x}{5}dx=-\tfrac{1}{10}x^2\), \(\int 1\,dx=x\).
\[A=\left[\tfrac{4}{3}x^{3/2}-\tfrac{1}{10}x^2+x\right]_0^{100}=\tfrac{4}{3}\cdot 1000 -1000 +100=\tfrac{1300}{3}\approx 433.3\;\text{cm}^2.\]
\(433,3\;\text{cm}^2\)
(d) Porcentaje de error:
\[\frac{|387-433{,}3|}{433{,}3}\times 100\approx 10.8\%.\]
\(10,8\%\)
