1.5 – Números complejos

Enunciado: Para z = 6 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{6^2+2^2}=6.32\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{6}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=18.43^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=6.32,\ \arg(z)=18.43^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 6.32 y arg(z) = 18.43°.

Enunciado: Para z = 6 + 7i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{6^2+7^2}=9.22\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=49.40^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=9.22,\ \arg(z)=49.40^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 9.22 y arg(z) = 49.40°.

Enunciado: Para z = 6 + 5i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{6^2+5^2}=7.81\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{5}{6}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=39.81^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=7.81,\ \arg(z)=39.81^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 7.81 y arg(z) = 39.81°.

Enunciado: Para z = 3 + 5i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{3^2+5^2}=5.83\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=59.04^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=5.83,\ \arg(z)=59.04^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 5.83 y arg(z) = 59.04°.

Enunciado: Para z = 3 + 3i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{3^2+3^2}=4.24\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{3}{3}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=45.00^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=4.24,\ \arg(z)=45.00^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 4.24 y arg(z) = 45.00°.

Enunciado: Para z = 7 + 7i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{7^2+7^2}=9.90\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{7}{7}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=45.00^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=9.90,\ \arg(z)=45.00^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 9.90 y arg(z) = 45.00°.

Enunciado: Para z = 4 + 5i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{4^2+5^2}=6.40\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=51.34^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=6.40,\ \arg(z)=51.34^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 6.40 y arg(z) = 51.34°.

Enunciado: Para z = 7 + 6i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{7^2+6^2}=9.22\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{6}{7}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=40.60^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=9.22,\ \arg(z)=40.60^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 9.22 y arg(z) = 40.60°.

Enunciado: Para z = 4 + 3i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5.00\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=36.87^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=5.00,\ \arg(z)=36.87^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 5.00 y arg(z) = 36.87°.

Enunciado: Para z = 8 + 4i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{8^2+4^2}=8.94\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{4}{8}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=26.57^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=8.94,\ \arg(z)=26.57^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 8.94 y arg(z) = 26.57°.

Enunciado: Para z = 8 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{8^2+2^2}=8.25\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{8}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=14.04^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=8.25,\ \arg(z)=14.04^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 8.25 y arg(z) = 14.04°.

Enunciado: Para z = 5 + 5i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{5^2+5^2}=7.07\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{5}{5}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=45.00^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=7.07,\ \arg(z)=45.00^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 7.07 y arg(z) = 45.00°.

Enunciado: Para z = 8 + 3i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{8^2+3^2}=8.54\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{3}{8}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=20.56^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=8.54,\ \arg(z)=20.56^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 8.54 y arg(z) = 20.56°.

Enunciado: Para z = 5 + 4i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{5^2+4^2}=6.40\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=38.66^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=6.40,\ \arg(z)=38.66^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 6.40 y arg(z) = 38.66°.

Enunciado: Para z = 7 + 5i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{7^2+5^2}=8.60\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=35.54^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=8.60,\ \arg(z)=35.54^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 8.60 y arg(z) = 35.54°.

Enunciado: Para z = 5 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{5^2+2^2}=5.39\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=21.80^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=5.39,\ \arg(z)=21.80^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 5.39 y arg(z) = 21.80°.

Enunciado: Para z = 3 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{3^2+2^2}=3.61\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=33.69^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=3.61,\ \arg(z)=33.69^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 3.61 y arg(z) = 33.69°.

Enunciado: Para z = 4 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{4^2+2^2}=4.47\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=26.57^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=4.47,\ \arg(z)=26.57^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 4.47 y arg(z) = 26.57°.

Enunciado: Para z = 5 + 3i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{5^2+3^2}=5.83\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=30.96^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=5.83,\ \arg(z)=30.96^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 5.83 y arg(z) = 30.96°.

Enunciado: Para z = 7 + 2i, halla el módulo y el argumento en grados.

a)

El módulo se calcula con Pitágoras usando las partes real e imaginaria.

\[|z|=\sqrt{7^2+2^2}=7.28\]

El argumento se obtiene con la tangente inversa.

\[\arg(z)=\tan^{-1}\left(\frac{2}{7}\right)\]

Como ambas componentes son positivas, el ángulo queda en el primer cuadrante.

\[\arg(z)=15.95^\circ\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{|z|=7.28,\ \arg(z)=15.95^\circ}\)

Resumen final:

a) |z| = 7.28 y arg(z) = 15.95°.