18 ejercicios

1.1 – Sucesiones y series

Practica ejercicios del tema 1.1 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1

Sin calculadora

Dada la secuencia aritmética con $U_1=40$, $U_2=36$, $U_3=32$.

Encuentre la diferencia común, $d$.
Encuentre $U_8$.
Encuentre $S_8$.

En una secuencia aritmética, la diferencia común se obtiene restando dos términos consecutivos.

$d=U_2-U_1=36-40=-4$

Para hallar el octavo término usamos $U_n=U_1+(n-1)d$.

$U_8=40+(8-1)(-4)=40-28=12$

Para la suma de los primeros ocho términos usamos $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$.

$S_8=\frac{8}{2}(40+12)=4(52)=208$

Por tanto, $d=-4,\quad U_8=12,\quad S_8=208$

Pregunta 2

Sin calculadora

Considera la secuencia aritmética $2,4,6,8,\ldots$.

Encuentre la diferencia común, $d$.
Encuentre el décimo término, $u_{10}$.
Encuentre la suma de los primeros diez términos, $S_{10}$.

La diferencia común es el cambio entre dos términos consecutivos.

$d=4-2=2$

Como $u_1=2$, usamos la fórmula del término general.

$u_{10}=u_1+(10-1)d=2+9(2)=20$

Ahora usamos la fórmula de la suma aritmética con el primer y el décimo término.

$S_{10}=\frac{10}{2}(2+20)=5(22)=110$

Por tanto, $d=2,\quad u_{10}=20,\quad S_{10}=110$

Pregunta 3

Sin calculadora

Dada la secuencia aritmética con $U_1=18$, $U_2=12$, $U_3=6$.

Encuentre la diferencia común, $d$.
Encuentre $U_7$.
Encuentre $S_7$.

Primero calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos.

$d=U_2-U_1=12-18=-6$

El séptimo término se obtiene avanzando seis diferencias desde el primer término.

$U_7=18+(7-1)(-6)=18-36=-18$

Para la suma usamos el primer y el último término encontrado.

$S_7=\frac{7}{2}(18+(-18))=\frac{7}{2}(0)=0$

Por tanto, $d=-6,\quad U_7=-18,\quad S_7=0$

Pregunta 4

Sin calculadora

Dada la secuencia aritmética con $U_2=20$, $U_3=30$, $U_4=40$.

Encuentre la diferencia común, $d$.
Encuentre $U_9$.
Encuentre $S_9$.

La diferencia común se ve comparando dos términos consecutivos dados.

$d=U_3-U_2=30-20=10$

Antes de calcular la suma necesitamos el primer término. Como $U_2=U_1+d$:

$U_1=20-10=10$

Ahora calculamos el noveno término.

$U_9=10+(9-1)(10)=10+80=90$

Finalmente usamos la fórmula de la suma aritmética.

$S_9=\frac{9}{2}(10+90)=\frac{9}{2}(100)=450$

Por tanto, $d=10,\quad U_9=90,\quad S_9=450$

Pregunta 5

Sin calculadora

Una secuencia aritmética viene dada por $5,7,9,\ldots$.

Escribe el valor de la diferencia común, $d$.
Encuentre:
1. $U_{12}$
2. $S_{12}$
Dado que $U_n=267$, encuentre el valor de $n$.

La secuencia aumenta de dos en dos, por lo que la diferencia común es inmediata.

$d=7-5=2$

Para $U_{12}$ usamos el término general de una secuencia aritmética.

$U_{12}=5+(12-1)(2)=5+22=27$

Para $S_{12}$ usamos el primer y el duodécimo término.

$S_{12}=\frac{12}{2}(5+27)=6(32)=192$

Ahora igualamos el término general a $267$ para hallar $n$.

$267=5+(n-1)(2)$

$267=2n+3$

$264=2n$

Por tanto, $n=132$

Pregunta 6

Sin calculadora

Una secuencia aritmética viene dada por $4,8,12,\ldots$.

Escribe el valor de la diferencia común, $d$.
Encuentre:
1. $U_8$
2. $S_8$
Dado que $U_n=40$, encuentre el valor de $n$.

La diferencia común es el aumento constante entre términos consecutivos.

$d=8-4=4$

Con el término general calculamos el octavo término.

$U_8=4+(8-1)(4)=4+28=32$

Para la suma usamos los primeros ocho términos, desde el primero hasta el octavo.

$S_8=\frac{8}{2}(4+32)=4(36)=144$

Para hallar $n$, igualamos el término general a $40$.

$40=4+(n-1)(4)$

$40=4n$

Por tanto, $n=10$

Pregunta 7

Sin calculadora

En una secuencia aritmética, $U_4=10$ y $U_{10}=40$.

Encuentre la diferencia común.
Encuentre el primer término.
Encuentre la suma de los primeros 15 términos de la secuencia.

Entre $U_4$ y $U_{10}$ hay seis saltos de la misma diferencia común.

$U_{10}-U_4=6d$

$40-10=6d$

$d=5$

Para encontrar el primer término, retrocedemos tres diferencias desde $U_4$.

$U_4=U_1+3d$

$10=U_1+3(5)$

$U_1=-5$

Ahora usamos la fórmula de la suma de los primeros quince términos.

$S_{15}=\frac{15}{2}\left(2(-5)+(15-1)(5)\right)$

$S_{15}=\frac{15}{2}(-10+70)=450$

Por tanto, $d=5,\quad U_1=-5,\quad S_{15}=450$

Pregunta 8

Sin calculadora

La suma de los primeros $n$ términos de una secuencia aritmética viene dada por $S_n=6n+n^2$. El $n$-ésimo término de la secuencia aritmética está dado por $U_n$.

Escribe el valor de:
1. $S_1$
2. $S_2$
Demuestra que $U_2=9$.

Sustituimos $n=1$ y $n=2$ en la fórmula dada para la suma.

$S_1=6(1)+1^2=7$

$S_2=6(2)+2^2=16$

El segundo término se obtiene restando la suma del primer término a la suma de los dos primeros términos.

$U_2=S_2-S_1=16-7=9$

Para encontrar la diferencia común, usamos que $U_1=S_1=7$.

$d=U_2-U_1=9-7=2$

Una forma directa de obtener el término general es restar dos sumas consecutivas.

$U_n=S_n-S_{n-1}$

$U_n=(6n+n^2)-\left(6(n-1)+(n-1)^2\right)=2n+5$

Con esto calculamos $U_{10}$ y resolvemos la desigualdad final.

$U_{10}=2(10)+5=25$

$2n+5\mathrel{\unicode{x003E}}1000$

$2n\mathrel{\unicode{x003E}}995$

$n\mathrel{\unicode{x003E}}497.5$

Por tanto, $n=498$

Pregunta 9

Sin calculadora

En una secuencia aritmética, $U_4=12$ y $U_{11}=-9$.

Encuentre la diferencia común.
Encuentre el primer término.
Encuentre la suma de los primeros 11 términos de la secuencia.

Desde $U_4$ hasta $U_{11}$ hay siete diferencias comunes.

$U_{11}-U_4=7d$

$-9-12=7d$

$d=-3$

Para el primer término, retrocedemos tres diferencias desde $U_4$.

$12=U_1+3(-3)$

$U_1=21$

Ya conocemos $U_1$ y $U_{11}$ así que usamos la fórmula de suma con primer y último término.

$S_{11}=\frac{11}{2}(21+(-9))$

$S_{11}=\frac{11}{2}(12)=66$

Por tanto, $d=-3,\quad U_1=21,\quad S_{11}=66$

Pregunta 10

Sin calculadora

En una secuencia aritmética, $U_3=15$ y $U_8=40$.

Encuentre la diferencia común.
Encuentre el primer término.
Encuentre la suma de los primeros 12 términos de la secuencia.

Entre $U_3$ y $U_8$ hay cinco diferencias comunes.

$U_8-U_3=5d$

$40-15=5d$

$d=5$

Ahora retrocedemos dos diferencias desde $U_3$ para encontrar $U_1$.

$15=U_1+2(5)$

$U_1=5$

Con el primer término y la diferencia común, calculamos la suma de los primeros doce términos.

$S_{12}=\frac{12}{2}\left(2(5)+(12-1)(5)\right)$

$S_{12}=6(10+55)=390$

Por tanto, $d=5,\quad U_1=5,\quad S_{12}=390$

Pregunta 11

Con calculadora

Los primeros tres términos de una secuencia geométrica son $u_1=24$, $u_2=-12$, $u_3=6$.

Encuentre el valor de la razón común, $r$.
Encuentre $u_7$.
Encuentre $S_\infty$.

En una secuencia geométrica, la razón común se obtiene dividiendo términos consecutivos.

$r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-12}{24}=-\frac12$

Para encontrar $u_7$, usamos $u_n=u_1r^{n-1}$

$u_7=24\left(-\frac12\right)^6$

$u_7=24\cdot\frac{1}{64}=\frac{3}{8}$

Como $|r|\mathrel{\unicode{x003C}}1$, la suma infinita existe y usamos $S_\infty=\frac{u_1}{1-r}$.

$S_\infty=\frac{24}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{24}{\frac32}=16$

Por tanto, $r=-\frac12,\quad u_7=\frac38,\quad S_\infty=16$

Pregunta 12

Con calculadora

Los primeros términos de una secuencia geométrica son $u_1=81$ y $u_2=27$.

Encuentre el valor de la razón común, $r$.
Encuentre $u_5$.
Encuentre $S_\infty$.

La razón común se obtiene dividiendo el segundo término entre el primero.

$r=\frac{27}{81}=\frac13$

Para calcular $u_5$, aplicamos el término general geométrico.

$u_5=81\left(\frac13\right)^4$

$u_5=81\cdot\frac{1}{81}=1$

Como $|r|\mathrel{\unicode{x003C}}1$, podemos calcular la suma infinita.

$S_\infty=\frac{81}{1-\frac13}=\frac{81}{\frac23}=\frac{243}{2}=121.5$

Por tanto, $r=\frac13,\quad u_5=1,\quad S_\infty=121.5$

Pregunta 13

Con calculadora

El quinto término, $u_5$, de una secuencia geométrica es $48$. El sexto término, $u_6$, es $72$.

Encuentre la razón común de la secuencia.
Encuentre $u_1$, el primer término de la secuencia.
Calcula la suma de los primeros 10 términos de la secuencia.

La razón común se obtiene comparando el sexto término con el quinto.

$r=\frac{u_6}{u_5}=\frac{72}{48}=1.5$

Como $u_5=u_1r^4$, despejamos el primer término.

$48=u_1(1.5)^4$

$u_1=\frac{48}{1.5^4}\approx9.48148$

Como $r\mathrel{\unicode{x003E}}1$, usamos $S_n=\frac{u_1(r^n-1)}{r-1}$ para los primeros diez términos.

$S_{10}=\frac{9.48148(1.5^{10}-1)}{1.5-1}$

$S_{10}\approx1074.12$

Por tanto, $r=1.5,\quad u_1\approx9.48148,\quad S_{10}\approx1074.12$

Pregunta 14

Con calculadora

El cuarto término, $u_4$, de una secuencia geométrica es $81$. El quinto término, $u_5$, es $108$.

Encuentre la razón común de la secuencia.
Encuentre $u_1$, el primer término de la secuencia.
Calcula la suma de los primeros 8 términos de la secuencia.

Dividimos términos consecutivos para obtener la razón común.

$r=\frac{108}{81}=\frac43$

Usamos $u_4=u_1r^3$ para despejar el primer término.

$81=u_1\left(\frac43\right)^3$

$u_1=\frac{81}{\left(\frac43\right)^3}=\frac{2187}{64}\approx34.1719$

Para sumar los primeros ocho términos, usamos la fórmula de serie geométrica con $r\mathrel{\unicode{x003E}}1$.

$S_8=\frac{u_1(r^8-1)}{r-1}$

$S_8=\frac{\frac{2187}{64}\left(\left(\frac43\right)^8-1\right)}{\frac43-1}$

$S_8\approx921.48$

Por tanto, $r=\frac43,\quad u_1\approx34.1719,\quad S_8\approx921.48$

Pregunta 15

Con calculadora

Marta compró una obra de arte por $\$1200$. El valor de la obra de arte se aprecia un $15\%$ cada año.

Encuentre el valor de la obra de arte al final del primer año.
Encuentre el valor de la obra de arte después de 5 años.
Calcula el número de años que tomará para que la obra de arte valga el triple que su valor original.

Una apreciación del $15\%$ significa multiplicar por $1.15$ cada año.

$1200(1.15)=1380$

Para cinco años, aplicamos el factor de crecimiento cinco veces.

$V=1200(1.15)^5$

$V\approx2413.57$

Para que el valor sea triple, igualamos el modelo a tres veces el valor original.

$1200(1.15)^n=3600$

$(1.15)^n=3$

$n=\frac{\log 3}{\log 1.15}\approx7.86$

Como se pregunta por años completos, el valor supera el triple durante el octavo año.

Por tanto, $8\text{ años}$

Pregunta 16

Con calculadora

Jorge compró una bicicleta por $\$400$. El valor de la bicicleta se incrementa un $2\%$ cada 3 meses.

Encuentre el valor de la bicicleta al final del primer año.
Encuentre el valor de la bicicleta después de 5 años.
Calcula el número de años que tomará para que la bicicleta valga el doble de su valor original.

El aumento ocurre cada tres meses, así que hay $4$ periodos de crecimiento en un año.

$V=400(1.02)^4$

$V\approx432.97$

En cinco años hay $5\times4=20$ periodos de tres meses.

$V=400(1.02)^{20}$

$V\approx594.38$

Para que el valor se duplique, planteamos una ecuación exponencial. Si $t$ está en años, entonces hay $4t$ periodos.

$400(1.02)^{4t}=800$

$(1.02)^{4t}=2$

$4t=\frac{\log 2}{\log 1.02}$

$t=\frac{\log 2}{4\log 1.02}\approx8.75$

Por tanto, $9\text{ años completos}$

Pregunta 17

Con calculadora

Los primeros tres términos de una secuencia geométrica son $u_1=0.5$, $u_2=1$, $u_3=2$.

Encuentre el valor de la razón común.
Encuentre la suma de los primeros diez términos de la secuencia.
Encuentre el mayor valor de $n$ tal que $S_n\mathrel{\unicode{x003C}}500$.

La razón común se obtiene dividiendo términos consecutivos.

$r=\frac{1}{0.5}=2$

Para sumar los primeros diez términos usamos la fórmula geométrica con $r\mathrel{\unicode{x003E}}1$.

$S_{10}=\frac{0.5(2^{10}-1)}{2-1}$

$S_{10}=0.5(1024-1)=511.5$

Ahora buscamos el mayor $n$ para el cual la suma sea menor que $500$.

$S_n=\frac{0.5(2^n-1)}{2-1}\mathrel{\unicode{x003C}}500$

$0.5(2^n-1)\mathrel{\unicode{x003C}}500$

$2^n-1\mathrel{\unicode{x003C}}1000$

$2^n\mathrel{\unicode{x003C}}1001$

Como $2^9=512$ y $2^{10}=1024$, el mayor valor posible es $n=9$.

Por tanto, $n=9$

Pregunta 18

Con calculadora

Los primeros tres términos de una secuencia geométrica son $u_1=2$, $u_2=6$, $u_3=18$.

Encuentre el valor de la razón común, $r$.
Encuentre la suma de los primeros ocho términos de la secuencia.
Encuentre el mayor valor de $n$ tal que $S_n\mathrel{\unicode{x003C}}3000$.

Calculamos la razón común dividiendo el segundo término entre el primero.

$r=\frac{6}{2}=3$

Usamos la fórmula de suma geométrica para los primeros ocho términos.

$S_8=\frac{2(3^8-1)}{3-1}$

$S_8=3^8-1=6561-1=6560$

Para la desigualdad, escribimos la suma general y comparamos con $3000$.

$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$

$3^n-1\mathrel{\unicode{x003C}}3000$

$3^n\mathrel{\unicode{x003C}}3001$

Como $3^7=2187$ y $3^8=6561$, $n=8$ ya es demasiado grande.

Por tanto, $n=7$