2.1 – Funciones compuestas e inversas

Enunciado: Sean f(x) = 8x + 2 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=8(2) + 2=18\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(18)^2=324\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 2}{8}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=324,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 2}{8}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 324 y f⁻¹(x) = (x – 2)/8.

Enunciado: Sean f(x) = 2x + 5 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(5) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(5)=2(5) + 5=15\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(5)=(15)^2=225\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 5}{2}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(5)=225,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 5}{2}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 225 y f⁻¹(x) = (x – 5)/2.

Enunciado: Sean f(x) = 3x – 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(3) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(3)=3(3) – 3=6\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(3)=(6)^2=36\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 3}{3}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(3)=36,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 3}{3}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 36 y f⁻¹(x) = (x + 3)/3.

Enunciado: Sean f(x) = 5x + 7 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=5(2) + 7=17\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(17)^2=289\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 7}{5}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=289,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 7}{5}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 289 y f⁻¹(x) = (x – 7)/5.

Enunciado: Sean f(x) = 4x – 2 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(4) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(4)=4(4) – 2=14\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(4)=(14)^2=196\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 2}{4}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(4)=196,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 2}{4}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 196 y f⁻¹(x) = (x + 2)/4.

Enunciado: Sean f(x) = 4x + 2 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=4(2) + 2=10\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(10)^2=100\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 2}{4}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=100,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 2}{4}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 100 y f⁻¹(x) = (x – 2)/4.

Enunciado: Sean f(x) = 7x y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(4) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(4)=7(4)=28\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(4)=(28)^2=784\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x}{7}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(4)=784,\ f^{-1}(x)=\frac{x}{7}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 784 y f⁻¹(x) = (x)/7.

Enunciado: Sean f(x) = 6x + 4 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(4) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(4)=6(4) + 4=28\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(4)=(28)^2=784\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 4}{6}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(4)=784,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 4}{6}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 784 y f⁻¹(x) = (x – 4)/6.

Enunciado: Sean f(x) = 3x + 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(5) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(5)=3(5) + 3=18\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(5)=(18)^2=324\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{3}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(5)=324,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{3}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 324 y f⁻¹(x) = (x – 3)/3.

Enunciado: Sean f(x) = 6x + 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(6) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(6)=6(6) + 3=39\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(6)=(39)^2=1521\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{6}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(6)=1521,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{6}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 1521 y f⁻¹(x) = (x – 3)/6.

Enunciado: Sean f(x) = 6x + 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=6(2) + 3=15\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(15)^2=225\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{6}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=225,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{6}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 225 y f⁻¹(x) = (x – 3)/6.

Enunciado: Sean f(x) = 4x + 5 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=4(2) + 5=13\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(13)^2=169\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 5}{4}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=169,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 5}{4}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 169 y f⁻¹(x) = (x – 5)/4.

Enunciado: Sean f(x) = 7x y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(6) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(6)=7(6)=42\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(6)=(42)^2=1764\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x}{7}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(6)=1764,\ f^{-1}(x)=\frac{x}{7}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 1764 y f⁻¹(x) = (x)/7.

Enunciado: Sean f(x) = 8x – 4 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(6) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(6)=8(6) – 4=44\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(6)=(44)^2=1936\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 4}{8}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(6)=1936,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 4}{8}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 1936 y f⁻¹(x) = (x + 4)/8.

Enunciado: Sean f(x) = 4x – 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=4(2) – 3=5\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(5)^2=25\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 3}{4}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=25,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 3}{4}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 25 y f⁻¹(x) = (x + 3)/4.

Enunciado: Sean f(x) = 8x + 3 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(5) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(5)=8(5) + 3=43\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(5)=(43)^2=1849\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{8}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(5)=1849,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 3}{8}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 1849 y f⁻¹(x) = (x – 3)/8.

Enunciado: Sean f(x) = 7x y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=7(2)=14\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(14)^2=196\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x}{7}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=196,\ f^{-1}(x)=\frac{x}{7}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 196 y f⁻¹(x) = (x)/7.

Enunciado: Sean f(x) = 2x – 5 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(4) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(4)=2(4) – 5=3\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(4)=(3)^2=9\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 5}{2}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(4)=9,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 5}{2}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 9 y f⁻¹(x) = (x + 5)/2.

Enunciado: Sean f(x) = 3x – 5 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(5) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(5)=3(5) – 5=10\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(5)=(10)^2=100\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x + 5}{3}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(5)=100,\ f^{-1}(x)=\frac{x + 5}{3}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 100 y f⁻¹(x) = (x + 5)/3.

Enunciado: Sean f(x) = 7x + 6 y g(x) = x². Calcula (g ∘ f)(2) y halla f⁻¹(x).

a)

Primero evaluamos la composición, que significa g(f(x)).

\[f(2)=7(2) + 6=20\]

Después escribimos y = f(x), intercambiamos x e y, y despejamos y.

\[(g\circ f)(2)=(20)^2=400\]

La inversa se escribe como f⁻¹(x).

\[f^{-1}(x)=\frac{x – 6}{7}\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{(g\circ f)(2)=400,\ f^{-1}(x)=\frac{x – 6}{7}}\)

Resumen final:

a) La composición vale 400 y f⁻¹(x) = (x – 6)/7.