12 ejercicios

2.4 – Transformaciones

Practica ejercicios del tema 2.4 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1
Sin calculadora

Sea \(f\) y \(g\) funciones tales que \(f(x)=4g(x-8)+3\), para \(x\in\mathbb{R}\).

La gráfica de \(f(x)\) se obtiene de la gráfica de \(g(x)\) después de las siguientes transformaciones:

  • una expansión vertical por un factor de \(h\);
  • seguida de una traslación horizontal de \(a\) unidades;
  • seguida de una traslación vertical de \(b\) unidades.
  1. Halle el valor de:
    1. \(h\);
    2. \(a\);
    3. \(b\).

La expresión \(g(x-8)\) indica una traslación horizontal de \(8\) unidades hacia la derecha.

\[x-8=0\quad\Rightarrow\quad x=8\]

El número \(4\) que multiplica a \(g\) produce una expansión vertical por un factor de \(4\).

\[h=4\]

El término \(+3\) al final desplaza toda la gráfica \(3\) unidades hacia arriba.

\[a=8,\qquad b=3\]

\(h=4,\quad a=8,\quad b=3\)

Pregunta 2
Sin calculadora

Sea \(f\) y \(g\) funciones tales que \(f(x)=-2g(x+4)-8\), para \(x\in\mathbb{R}\).

La gráfica de \(f(x)\) se obtiene de la gráfica de \(g(x)\) después de las siguientes transformaciones:

  • una expansión vertical por un factor de \(k\);
  • una traslación horizontal de \(m\) unidades;
  • una traslación vertical de \(n\) unidades.
  1. Halle el valor de:
    1. \(k\);
    2. \(m\);
    3. \(n\).

En \(g(x+4)\), el \(+4\) dentro del argumento desplaza la gráfica \(4\) unidades hacia la izquierda.

\[x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=-4\]

El factor \(-2\) fuera de \(g\) tiene dos efectos: el valor absoluto \(2\) da una expansión vertical y el signo negativo refleja la gráfica en el eje \(x\).

\[k=2\]

El término \(-8\) desplaza toda la gráfica \(8\) unidades hacia abajo.

\[m=4\text{ hacia la izquierda},\qquad n=8\text{ hacia abajo}\]

\(k=2,\quad m=4\text{ izquierda},\quad n=8\text{ abajo}\)

Pregunta 3
Sin calculadora

En la siguiente figura se muestra el gráfico de \(y=f(x)\), para \(0\le x\le3\).

  1. Escriba el valor de:
    1. \(f(1)\);
    2. \(f^{-1}(5)\).
  2. Encuentre \((f\circ f)(2)\).
  3. Haga un dibujo aproximado del gráfico de \(y=f(-x)\) en la misma cuadrícula.
Gráfico de y igual f de x para cero menor o igual que x menor o igual que tres

a) i) Del gráfico, cuando \(x=1\), el valor de la función es \(-3\).

\(f(1)=-3\)

a) ii) Para \(f^{-1}(5)\), buscamos el valor de \(x\) para el que \(f(x)=5\). En el gráfico esto ocurre en \(x=3\).

\(f^{-1}(5)=3\)

b) Primero calculamos el valor interior.

\[f(2)=0\]

Ahora aplicamos \(f\) otra vez.

\[(f\circ f)(2)=f(f(2))=f(0)=-4\]

\((f\circ f)(2)=-4\)

c) El gráfico de \(y=f(-x)\) es la reflexión del gráfico original respecto al eje \(y\).

Boceto de y igual f de menos x reflejado en el eje y
Pregunta 4
Sin calculadora

En la siguiente figura se muestra el gráfico de \(y=f(x)\), para \(-1\le x\le1\).

  1. Escriba el valor de:
    1. \(f(-1)\);
    2. \(f^{-1}(-1)\).
  2. Encuentre \((f\circ f)(1)\).
  3. Haga un dibujo aproximado del gráfico de \(y=f(-x)\) en la misma cuadrícula.
Gráfico de y igual f de x para menos uno menor o igual que x menor o igual que uno

a) i) Del gráfico, cuando \(x=-1\), el valor de la función es \(3\).

\(f(-1)=3\)

a) ii) Para \(f^{-1}(-1)\), buscamos el valor de \(x\) para el que \(f(x)=-1\). En el gráfico esto ocurre en \(x=1\).

\(f^{-1}(-1)=1\)

b) Primero leemos el valor interior en el gráfico.

\[f(1)=-1\]

Después aplicamos \(f\) de nuevo.

\[(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(-1)=3\]

\((f\circ f)(1)=3\)

c) El gráfico de \(y=f(-x)\) se obtiene reflejando el gráfico original respecto al eje \(y\).

Boceto de y igual f de menos x reflejado en el eje y
Pregunta 5
Sin calculadora

Sea \(f(x)=x^4\) y \(g(x)=3(x+2)^4\), para \(x\in\mathbb{R}\).

La gráfica de \(g(x)\) se puede obtener de la gráfica de \(f(x)\) utilizando dos transformaciones.

  1. Dé una descripción geométrica completa de cada una de las transformaciones.

Comparamos \(g(x)=3(x+2)^4\) con \(f(x)=x^4\).

\[f(x+2)=(x+2)^4\]

El término \(x+2\) dentro de la función traslada la gráfica \(2\) unidades hacia la izquierda.

\[3f(x+2)=3(x+2)^4\]

El factor \(3\) fuera de la función multiplica todos los valores de \(y\), por lo que produce una expansión vertical por un factor de \(3\).

\(\text{Traslación }2\text{ unidades a la izquierda y expansión vertical por factor }3\)

Pregunta 6
Sin calculadora

Sea \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=-2(x-3)^3\), para \(x\in\mathbb{R}\).

La gráfica de \(g(x)\) se puede obtener de la gráfica de \(f(x)\) utilizando dos transformaciones.

  1. Dé una descripción geométrica completa de cada una de las transformaciones.

Comparamos \(g(x)=-2(x-3)^3\) con \(f(x)=x^3\).

\[f(x-3)=(x-3)^3\]

El término \(x-3\) dentro de la función desplaza la gráfica \(3\) unidades hacia la derecha.

\[-2f(x-3)=-2(x-3)^3\]

El factor \(-2\) fuera de la función produce una expansión vertical por un factor de \(2\) y una reflexión en el eje \(x\).

\(\text{Traslación }3\text{ unidades a la derecha, expansión vertical por }2\text{ y reflexión en el eje }x\)

Pregunta 7
Sin calculadora

Sea \(g(x)=2x^2-4x+c\), para \(x\in\mathbb{R}\), donde \(c\in\mathbb{Z}\).

  1. La ecuación \(g(x)=0\) tiene dos raíces iguales.
    1. Escriba el valor del discriminante de \(g(x)\).
    2. Demuestre que \(c=2\).
  2. Para la gráfica de \(g(x)\), encuentre:
    1. la ecuación del eje de simetría;
    2. las coordenadas del vértice.
  3. Escriba la solución de la ecuación \(g(x)=0\).
  4. La función \(g(x)\) se puede escribir en la forma \(g(x)=q(x-r)^2+s\). Encuentre los valores de \(q\), \(r\) y \(s\).
  5. La gráfica de una función \(f(x)\) se obtiene a partir de la gráfica de \(g(x)\) por una reflexión en el eje \(x\). Encuentre las coordenadas del vértice de la gráfica de \(f(x)\).

a) i) Si una cuadrática tiene dos raíces iguales, su discriminante es cero.

\(\Delta=0\)

a) ii) Para \(g(x)=2x^2-4x+c\), usamos \(a=2\), \(b=-4\) y el discriminante \(b^2-4ac\).

\[(-4)^2-4(2)c=0\]

\[16-8c=0\]

\[c=2\]

b) i) El eje de simetría de \(ax^2+bx+c\) es \(x=-\frac{b}{2a}\).

\[x=-\frac{-4}{2(2)}=1\]

b) ii) Sustituimos \(x=1\) en \(g(x)=2x^2-4x+2\).

\[g(1)=2(1)^2-4(1)+2=0\]

\(\text{vértice }(1,0)\)

c) Como la raíz doble está en el vértice, la solución de \(g(x)=0\) es \(x=1\).

\(x=1\)

d) Escribimos la función en forma de vértice.

\[g(x)=2x^2-4x+2=2(x^2-2x+1)\]

\[g(x)=2(x-1)^2\]

\(q=2,\quad r=1,\quad s=0\)

e) Al reflejar respecto al eje \(x\), el valor de \(y\) cambia de signo. Como el vértice tiene \(y=0\), sus coordenadas no cambian.

\((1,0)\)

Pregunta 8
Sin calculadora

Sea \(f(x)=3x^2+18x+p\), para \(x\in\mathbb{R}\), donde \(p\in\mathbb{Z}\).

  1. La ecuación \(f(x)=0\) tiene dos raíces iguales.
    1. Escriba el valor del discriminante de \(f(x)\).
    2. Demuestre que \(p=27\).
  2. Para la gráfica de \(f(x)\), encuentre:
    1. la ecuación del eje de simetría;
    2. las coordenadas del vértice.
  3. Escriba la solución de la ecuación \(f(x)=0\).
  4. La función \(f(x)\) se puede escribir en la forma \(f(x)=m(x-n)^2+l\). Encuentre los valores de \(m\), \(n\) y \(l\).
  5. La gráfica de una función \(g(x)\) se obtiene a partir de la gráfica de \(f(x)\) por una reflexión en el eje \(x\). Encuentre las coordenadas del vértice de la gráfica de \(g(x)\).

a) i) Si \(f(x)=0\) tiene dos raíces iguales, el discriminante debe ser cero.

\(\Delta=0\)

a) ii) Para \(f(x)=3x^2+18x+p\), usamos \(a=3\), \(b=18\) y \(c=p\).

\[18^2-4(3)p=0\]

\[324-12p=0\]

\[p=27\]

b) i) El eje de simetría es \(x=-\frac{b}{2a}\).

\[x=-\frac{18}{2(3)}=-3\]

b) ii) Sustituimos \(x=-3\) en \(f(x)=3x^2+18x+27\).

\[f(-3)=3(-3)^2+18(-3)+27=27-54+27=0\]

\(\text{vértice }(-3,0)\)

c) La raíz doble se encuentra en el vértice.

\(x=-3\)

d) Factorizamos usando la forma de vértice.

\[f(x)=3x^2+18x+27=3(x^2+6x+9)\]

\[f(x)=3(x+3)^2\]

\[f(x)=3(x-(-3))^2+0\]

\(m=3,\quad n=-3,\quad l=0\)

e) Reflejar en el eje \(x\) cambia el signo de la coordenada \(y\). Como el vértice tiene \(y=0\), el vértice queda igual.

\((-3,0)\)

Pregunta 9
Con calculadora

Sea \(f(x)=2x^2-8x+6\), para \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Para la gráfica de \(f\), encuentre:
    1. la intersección con el eje \(y\);
    2. las intersecciones con el eje \(x\).
  2. La función \(f(x)\) se puede escribir en la forma \(f(x)=q(x-r)^2+s\). Encuentre los valores de \(q\), \(r\) y \(s\).
  3. Para la gráfica de \(f(x)\), escriba:
    1. las coordenadas del vértice;
    2. la ecuación del eje de simetría.
  4. La gráfica de una función \(g(x)\) se obtiene a partir de la gráfica de \(f(x)\) por una reflexión en el eje \(x\), seguida de una traslación de 4 unidades en la dirección del eje \(y\). Encuentre \(g(x)\), dando la respuesta en la forma \(g(x)=mx^2+nx+p\).

a) i) La intersección con el eje \(y\) se obtiene sustituyendo \(x=0\).

\[f(0)=2(0)^2-8(0)+6=6\]

\((0,6)\)

a) ii) Para las intersecciones con el eje \(x\), resolvemos \(f(x)=0\).

\[2x^2-8x+6=0\]

\[x^2-4x+3=0\]

\[(x-1)(x-3)=0\]

\((1,0)\text{ y }(3,0)\)

b) Completamos el cuadrado para escribir la función en forma de vértice.

\[f(x)=2(x^2-4x)+6\]

\[f(x)=2\big((x-2)^2-4\big)+6\]

\[f(x)=2(x-2)^2-2\]

\(q=2,\quad r=2,\quad s=-2\)

c) De la forma \(2(x-2)^2-2\), el vértice y el eje de simetría se leen directamente.

\(\text{vértice }(2,-2),\quad x=2\)

d) Reflejar en el eje \(x\) cambia \(f(x)\) por \(-f(x)\). Después se traslada 4 unidades hacia arriba.

\[g(x)=-f(x)+4\]

\[g(x)=-(2x^2-8x+6)+4\]

\[g(x)=-2x^2+8x-2\]

\(g(x)=-2x^2+8x-2\)

Pregunta 10
Sin calculadora

Sea \(f(x)=2(x+1)^2-8\), para \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Demuestre que \(f(x)=2x^2+4x-6\).
  2. Para la gráfica de \(f(x)\):
    1. escriba las coordenadas del vértice;
    2. escriba la intersección con el eje \(y\);
    3. encuentre ambas intersecciones con el eje \(x\).
  3. Por lo tanto, haga un dibujo aproximado de la gráfica de \(f(x)\).
  4. Sea \(g(x)=x^2\), para \(x\in\mathbb{R}\). La gráfica de \(f(x)\) se puede obtener a partir de la gráfica de \(g(x)\) usando una expansión vertical por un factor \(a\), un desplazamiento horizontal de \(b\) unidades y un desplazamiento vertical de \(c\) unidades. Encuentre \(a\), \(b\) y \(c\).

a) Expandimos la expresión para obtener la forma general.

\[f(x)=2(x+1)^2-8\]

\[f(x)=2(x^2+2x+1)-8\]

\[f(x)=2x^2+4x+2-8\]

\(f(x)=2x^2+4x-6\)

b) i) En la forma \(2(x+1)^2-8\), el vértice se lee directamente.

\((-1,-8)\)

b) ii) La intersección con el eje \(y\) se obtiene con \(x=0\).

\[f(0)=2(0+1)^2-8=-6\]

\((0,-6)\)

b) iii) Para las intersecciones con el eje \(x\), resolvemos \(f(x)=0\).

\[2(x+1)^2-8=0\]

\[(x+1)^2=4\]

\[x+1=\pm2\]

\((-3,0)\text{ y }(1,0)\)

c) El boceto debe tener vértice \((-1,-8)\), cortar el eje \(x\) en \(-3\) y \(1\), y abrir hacia arriba.

d) Desde \(g(x)=x^2\), la expresión \(2(x+1)^2-8\) indica una expansión vertical por \(2\), un desplazamiento de \(1\) unidad hacia la izquierda y \(8\) unidades hacia abajo.

\(a=2,\quad b=1\text{ izquierda},\quad c=8\text{ abajo}\)

Boceto de la parábola f de x igual dos por x más uno al cuadrado menos ocho
Pregunta 11
Sin calculadora

Sea \(f(x)=(x+4)^2-25\), para \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Demuestre que \(f(x)=x^2+8x-9\).
  2. Para la gráfica de \(f(x)\):
    1. escriba las coordenadas del vértice;
    2. escriba la intersección con el eje \(y\);
    3. encuentre ambas intersecciones con el eje \(x\).
  3. Por lo tanto, haga un dibujo aproximado de la gráfica de \(f(x)\).
  4. Sea \(g(x)=6x^2\), para \(x\in\mathbb{R}\). La gráfica de \(f(x)\) se puede obtener a partir de la gráfica de \(g(x)\) usando una contracción vertical por un factor \(m\), un desplazamiento horizontal de \(n\) unidades y un desplazamiento vertical de \(p\) unidades. Encuentre \(m\), \(n\) y \(p\).

a) Expandimos la expresión. El documento fuente tiene una errata en esta línea; el término independiente correcto es \(-9\).

\[f(x)=(x+4)^2-25\]

\[f(x)=x^2+8x+16-25\]

\(f(x)=x^2+8x-9\)

b) i) En la forma \((x+4)^2-25\), el vértice se lee directamente.

\((-4,-25)\)

b) ii) La intersección con el eje \(y\) se obtiene sustituyendo \(x=0\).

\[f(0)=(0+4)^2-25=16-25=-9\]

\((0,-9)\)

b) iii) Para las intersecciones con el eje \(x\), resolvemos \(f(x)=0\).

\[(x+4)^2-25=0\]

\[(x+4)^2=25\]

\[x+4=\pm5\]

\((-9,0)\text{ y }(1,0)\)

c) El boceto debe tener vértice \((-4,-25)\), cortar el eje \(x\) en \(-9\) y \(1\), y abrir hacia arriba.

d) Como \(g(x)=6x^2\), necesitamos una contracción vertical por un factor \(\frac16\) para obtener \(x^2\). Después trasladamos \(4\) unidades a la izquierda y \(25\) hacia abajo.

\[f(x)=\frac{1}{6}g(x+4)-25\]

\(m=\frac16,\quad n=4\text{ izquierda},\quad p=25\text{ abajo}\)

Boceto de la parábola f de x igual x más cuatro al cuadrado menos veinticinco
Pregunta 12
Sin calculadora

Sea \(f(x)=3x^2+12x+9\), para \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Escriba el valor de \(f(0)\).
  2. Resuelva la ecuación \(f(x)=0\).
  3. La función \(f(x)\) se puede escribir en la forma \(f(x)=p(x-q)^2+r\). Encuentre los valores de \(p\), \(q\) y \(r\).
  4. Para la gráfica de \(f(x)\), halle:
    1. las coordenadas del vértice;
    2. la ecuación del eje de simetría.
  5. La gráfica de una función \(g(x)\) se obtiene de la gráfica de \(f(x)\) por una reflexión respecto al eje \(x\), seguida de una traslación de 1 unidad a la derecha y 3 unidades hacia arriba. Encuentre \(g(x)\), dando la respuesta en la forma \(g(x)=ax^2+bx+c\).

a) Sustituimos \(x=0\) en la función.

\[f(0)=3(0)^2+12(0)+9=9\]

\(f(0)=9\)

b) Resolvemos \(f(x)=0\).

\[3x^2+12x+9=0\]

\[x^2+4x+3=0\]

\[(x+1)(x+3)=0\]

\(x=-1\text{ o }x=-3\)

c) Escribimos la función en forma de vértice completando el cuadrado.

\[f(x)=3(x^2+4x+3)\]

\[f(x)=3\big((x+2)^2-1\big)\]

\[f(x)=3(x+2)^2-3\]

\[f(x)=3(x-(-2))^2-3\]

\(p=3,\quad q=-2,\quad r=-3\)

d) El vértice y el eje de simetría salen directamente de la forma \(3(x+2)^2-3\).

\(\text{vértice }(-2,-3),\quad x=-2\)

e) Primero reflejamos en el eje \(x\), por lo que usamos \(-f(x)\). Después trasladar 1 unidad a la derecha significa sustituir \(x\) por \(x-1\). Finalmente sumamos \(3\).

\[g(x)=-f(x-1)+3\]

\[f(x-1)=3(x-1)^2+12(x-1)+9\]

\[f(x-1)=3x^2+6x\]

\[g(x)=-(3x^2+6x)+3\]

\(g(x)=-3x^2-6x+3\)