14 ejercicios

2.8 – Funciones exponenciales y logarítmicas

Practica ejercicios del tema 2.8 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1

Con calculadora

La presión atmosférica \(P\), en kPa, disminuye exponencialmente con la altura \(h\) sobre el nivel del mar. La presión atmosférica se puede modelar mediante

\[P(h)=101.3e^{-\frac{h}{8500}}\]

donde \(h\) es la altura sobre el nivel del mar en metros.

Halle la presión atmosférica aproximada a nivel del mar, en kPa.
Calcule la presión atmosférica en la cima del Monte Everest, que tiene una altura de \(8848.86\text{ m}\) sobre el nivel del mar.
Calcule la altura donde la presión atmosférica es igual a \(12.3\text{ kPa}\).

a) A nivel del mar, la altura es \(h=0\).

\[P(0)=101.3e^0=101.3\]

\(101.3\text{ kPa}\)

b) Para el Monte Everest sustituimos \(h=8848.86\).

\[P(8848.86)=101.3e^{-\frac{8848.86}{8500}}\]

\(P\approx35.8\text{ kPa}\)

c) Ahora igualamos el modelo a \(12.3\) y despejamos \(h\).

\[12.3=101.3e^{-\frac{h}{8500}}\]

\[\frac{12.3}{101.3}=e^{-\frac{h}{8500}}\]

\[h=-8500\ln\left(\frac{12.3}{101.3}\right)\]

\(h\approx17922\text{ m}\)

Pregunta 2

Con calculadora

Una población de ranas disminuye exponencialmente. El número de ranas de la población, \(p\), después de \(t\) días, se modeliza mediante

\[p(t)=4000\cdot2^{-\frac{t}{4}}+50,\quad t\ge0.\]

Escriba el tamaño exacto de la población inicial.
Encuentre el tamaño de la población después de \(10\) días.
Calcule el tiempo para que el tamaño de la población disminuya a \(240\) ranas.
La población se estabilizará cuando alcance un número de \(n\) ranas. Escriba el valor de \(n\).

a) La población inicial se obtiene con \(t=0\).

\[p(0)=4000\cdot2^0+50=4050\]

\(4050\text{ ranas}\)

b) Sustituimos \(t=10\).

\[p(10)=4000\cdot2^{-\frac{10}{4}}+50\]

\(p(10)\approx757\text{ ranas}\)

c) Igualamos el modelo a \(240\) y despejamos \(t\).

\[240=4000\cdot2^{-\frac{t}{4}}+50\]

\[2^{-\frac{t}{4}}=\frac{190}{4000}\]

\[t=-4\log_2\left(\frac{190}{4000}\right)\]

\(t\approx17.6\text{ días}\)

d) Cuando \(t\) crece, el término exponencial tiende a cero. Por tanto, el modelo se estabiliza en \(50\).

\(n=50\)

Pregunta 3

Con calculadora

En un río hay una población de salmones que disminuye exponencialmente. El número de salmones de la población, \(P\), después de \(t\) días, se modeliza mediante

\[P(t)=5500\cdot3^{-t}+700,\quad t\ge0.\]

Escriba el tamaño exacto de la población inicial.
Los salmones tardan \(6\) días en subir un río. Encuentre el tamaño de la población que acaba llegando al origen del río.
Calcule el tiempo para que el tamaño de la población disminuya a \(900\) salmones.
La población se estabilizará cuando alcance un número de \(n\) salmones. Escriba el valor de \(n\).

a) La población inicial se obtiene con \(t=0\).

\[P(0)=5500\cdot3^0+700=6200\]

\(6200\text{ salmones}\)

b) Como tardan \(6\) días, sustituimos \(t=6\).

\[P(6)=5500\cdot3^{-6}+700\]

\(P(6)\approx708\text{ salmones}\)

c) Igualamos el modelo a \(900\).

\[900=5500\cdot3^{-t}+700\]

\[3^{-t}=\frac{200}{5500}\]

\[t=-\log_3\left(\frac{200}{5500}\right)\]

\(t\approx3.02\text{ días}\)

d) El término exponencial tiende a cero, por lo que la población se estabiliza en \(700\).

\(n=700\)

Pregunta 4

Con calculadora

Una población de \(100\) elefantes fue introducida en una reserva natural nueva. Un mes después, el número de elefantes era de \(103\). El número de elefantes, \(N\), se puede modelar mediante

\[N(t)=100p^t,\quad t\ge0.\]

Donde \(t\) es el tiempo, en meses, desde que los elefantes fueron introducidos en la reserva natural.

Encuentre el valor de \(p\).
Calcule el número de elefantes en la reserva después de \(8\) meses.
Un biólogo estima que la reserva puede soportar una población máxima de \(1800\) elefantes. Calcule el número de años que tardará la población en alcanzar este máximo.

a) Después de un mes, \(N(1)=103\).

\[103=100p\]

\(p=1.03\)

b) Para \(8\) meses, sustituimos \(t=8\).

\[N(8)=100(1.03)^8\]

\(N(8)\approx127\text{ elefantes}\)

c) Para alcanzar \(1800\) elefantes, resolvemos \(1800=100(1.03)^t\).

\[18=(1.03)^t\]

\[t=\frac{\ln(18)}{\ln(1.03)}\]

\[t\approx97.8\text{ meses}\]

\(\text{aproximadamente }8.15\text{ años}\)

Pregunta 5

Con calculadora

El número de usuarios en una nueva red social el 1 de febrero de 2023 era de \(540\,000\). Un año después, el 1 de febrero de 2024, era de \(590\,000\). El número de usuarios, \(n\), se puede modelar mediante

\[n(t)=540\,000a^t,\quad t\ge0.\]

Donde \(t\) es el número de años desde el 1 de febrero de 2023.

Encuentre el valor exacto de \(a\).
Halle el número de usuarios que esta red espera tener en el año 2028.
Halle el año en el que el número de usuarios de la red social alcanza un millón.

a) Al cabo de un año, \(t=1\) y hay \(590\,000\) usuarios.

\[590\,000=540\,000a\]

\(a=\frac{59}{54}\)

b) El año 2028 está \(5\) años después del 1 de febrero de 2023.

\[n(5)=540\,000\left(\frac{59}{54}\right)^5\]

\(n(5)\approx840\,785\text{ usuarios}\)

c) Igualamos el modelo a \(1\,000\,000\).

\[1\,000\,000=540\,000\left(\frac{59}{54}\right)^t\]

\[t=\frac{\ln(1\,000\,000/540\,000)}{\ln(59/54)}\]

\[t\approx6.96\]

\(\text{año }2030\)

Pregunta 6

Con calculadora

El número de palabras en inglés, \(n\), que recuerdan los estudiantes después de completar un curso de inglés disminuye exponencialmente con el tiempo. Estos datos se pueden modelar mediante

\[n(t)=m\cdot p^{-t}+650.\]

Donde \(m\) y \(p\) son constantes positivas, y \(t\) es el tiempo en años desde que un estudiante completó el curso.

Inmediatamente después de completar el curso, un estudiante recuerda \(5400\) palabras.

Encuentre el valor de \(m\).
Después de \(4\) años, un estudiante recuerda \(2200\) palabras. Encuentre el valor de \(p\).
El número de palabras que recuerda un estudiante nunca disminuye por debajo de cierto número \(n\). Escriba el valor de \(n\).

a) Inmediatamente después del curso, \(t=0\).

\[5400=m\cdot p^0+650\]

\(m=4750\)

b) Después de \(4\) años, se recuerdan \(2200\) palabras.

\[2200=4750p^{-4}+650\]

\[p^{-4}=\frac{1550}{4750}=\frac{31}{95}\]

\[p=\left(\frac{95}{31}\right)^{\frac14}\]

\(p\approx1.32\)

c) El término exponencial tiende a cero, así que el modelo se estabiliza en \(650\).

\(n=650\)

Pregunta 7

Sin calculadora

Escriba la expresión \(3\ln(3)-\ln(9)\) en la forma \(\ln(h)\), donde \(h\in\mathbb{Z}\).
A partir de lo anterior o de otra forma, resuelva \(3\ln(3)-\ln(9)=-\ln(3x)\).

a) Usamos las leyes de logaritmos.

\[3\ln(3)-\ln(9)=\ln(3^3)-\ln(9)\]

\[=\ln\left(\frac{27}{9}\right)\]

\(\ln(3)\)

Por tanto, \(h=3\).

b) Sustituimos el resultado anterior en la ecuación.

\[\ln(3)=-\ln(3x)\]

\[\ln(3)+\ln(3x)=0\]

\[\ln(9x)=0\]

\[9x=1\]

\(x=\frac19\)

Pregunta 8

Sin calculadora

Escriba la expresión \(4\log(2)-\log(16)\) en la forma \(\log(d)\), donde \(d\in\mathbb{Z}\).
A partir de lo anterior o de otra forma, resuelva \(4\log(2)-\log(16)=-\log(2x)\).

a) Queremos escribir \(4\log(2)-\log(16)\) como un solo logaritmo. Primero usamos la propiedad \(a\log(b)=\log(b^a)\).

\[4\log(2)=\log(2^4)\]

\[=\log(16)\]

Sustituimos esto en la expresión.

\[4\log(2)-\log(16)=\log(16)-\log(16)\]

Usamos la propiedad \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\).

\[\log(16)-\log(16)=\log\left(\frac{16}{16}\right)\]

\[=\log(1)\]

\(d=1\)

b) Usamos el resultado anterior en la ecuación.

\[\log(1)=-\log(2x)\]

Como \(\log(1)=0\), tenemos:

\[0=-\log(2x)\]

\[\log(2x)=0\]

Esto significa que el argumento debe ser \(1\).

\[2x=1\]

\(x=\frac12\)

Pregunta 9

Con calculadora

Sea \(f(x)=e^x+3\) y \(g(x)=3x+h\), para \(x\in\mathbb{R}\), donde \(h\) es una constante.

Encuentre \((g\circ f)(x)\).
Dado que \(\lim_{x\to-\infty}(g\circ f)(x)=-9\), encuentre el valor de \(h\).

a) Para hallar \((g\circ f)(x)\), sustituimos \(f(x)\) dentro de \(g\).

\[(g\circ f)(x)=g(e^x+3)\]

\[=3(e^x+3)+h\]

\((g\circ f)(x)=3e^x+9+h\)

b) Cuando \(x\to-\infty\), se cumple que \(e^x\to0\).

\[\lim_{x\to-\infty}(g\circ f)(x)=9+h\]

\[9+h=-9\]

\(h=-18\)

Pregunta 10

Sin calculadora

Sea \(f(x)=\frac{\ln(x+4)}{2}\), para \(x\mathrel{\unicode{x003E}}-4\). La siguiente figura muestra una parte de la gráfica de \(y=f(x)\).

Encuentre las coordenadas de:
1. la intersección con el eje \(x\);
2. la intersección con el eje \(y\).
Encuentre la ecuación de la asíntota vertical de la gráfica de \(f(x)\).

Gráfica de y igual logaritmo natural de x más cuatro dividido entre dos

a) i) Para la intersección con el eje \(x\), hacemos \(f(x)=0\).

\[\frac{\ln(x+4)}{2}=0\]

\[\ln(x+4)=0\]

\[x+4=1\]

\((-3,0)\)

a) ii) Para la intersección con el eje \(y\), sustituimos \(x=0\).

\[f(0)=\frac{\ln(4)}{2}=\ln(2)\]

\((0,\ln2)\)

b) La asíntota vertical ocurre cuando el argumento del logaritmo se acerca a cero.

\[x+4=0\]

\(x=-4\)

Pregunta 11

Con calculadora

Sea \(f(x)=\frac{\ln(x+5)}{3}\), para \(x\mathrel{\unicode{x003E}}-5\). La siguiente figura muestra una parte de la gráfica de \(y=f(x)\).

Encuentre las coordenadas de:
1. la intersección con el eje \(x\);
2. la intersección con el eje \(y\).
Encuentre la ecuación de la asíntota vertical de la gráfica de \(f(x)\).

Gráfica de y igual logaritmo natural de x más cinco dividido entre tres

a) i) Para la intersección con el eje \(x\), hacemos \(f(x)=0\).

\[\frac{\ln(x+5)}{3}=0\]

\[\ln(x+5)=0\]

\[x+5=1\]

\((-4,0)\)

a) ii) Para la intersección con el eje \(y\), sustituimos \(x=0\).

\[f(0)=\frac{\ln(5)}{3}\]

\(\left(0,\frac{\ln5}{3}\right)\)

b) La asíntota vertical se obtiene cuando el argumento del logaritmo es cero.

\[x+5=0\]

\(x=-5\)

Pregunta 12

Con calculadora

La temperatura, \(T\), de una bebida caliente viene dada por

\[T(t)=a\cdot2^{-bt}+c,\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, \(b\mathrel{\unicode{x003E}}0\), \(T\) se mide en grados Celsius y \(t\) es el número de minutos desde que se sirvió la bebida.

Se sabe que la temperatura inicial es \(90^\circ\) y que la temperatura en el tiempo \(t=\frac1b\) es \(55^\circ\).

Muestre que \(a=70\) y \(c=20\).
La temperatura alcanza \(25^\circ\) después de \(30\) minutos. Encuentre el valor de \(b\).
Encuentre el número de minutos que tienen que pasar para que la bebida alcance una temperatura de \(22^\circ\).

a) Usamos primero la temperatura inicial. Cuando \(t=0\), \(2^{-bt}=1\).

\[90=a+c\]

La fuente original decía \(60^\circ\), pero eso contradice el resultado pedido. La versión corregida usa \(55^\circ\) en \(t=\frac1b\).

\[55=a\cdot2^{-1}+c\]

\[55=\frac{a}{2}+c\]

Restamos las ecuaciones para hallar \(a\).

\[90-55=a-\frac{a}{2}\]

\[35=\frac{a}{2}\]

\[a=70\]

\[c=90-70=20\]

\(a=70,\quad c=20\)

b) Usamos que la bebida alcanza \(25^\circ\) cuando \(t=30\).

\[25=70\cdot2^{-30b}+20\]

\[2^{-30b}=\frac{1}{14}\]

\[b=\frac{\log_2(14)}{30}\]

\(b\approx0.1269\)

c) Ahora resolvemos \(T(t)=22\).

\[22=70\cdot2^{-bt}+20\]

\[2^{-bt}=\frac{1}{35}\]

\[t=\frac{\log_2(35)}{b}\]

\(t\approx40.4\text{ minutos}\)

Pregunta 13

Con calculadora

La población de una especie de aves en peligro de extinción, \(P\), se puede modelar mediante

\[P_t=P_0e^{bt},\]

donde \(P_0\) es la población inicial y \(t\) se mide en años.

Después de un año, se estima que \(\frac{P_0}{P_1}=1.075\).
1. Encuentre el valor de \(b\).
2. Interprete el significado del valor de \(b\).
Encuentre el número mínimo de años para los cuales \(\frac{P_t}{P_0}\mathrel{\unicode{x003C}}0.55\), dando la solución como número entero.

a) i) Como \(P_1=P_0e^b\), usamos la relación dada.

\[\frac{P_0}{P_1}=\frac{P_0}{P_0e^b}=e^{-b}\]

\[e^{-b}=1.075\]

\[b=-\ln(1.075)\]

\(b\approx-0.0723\)

a) ii) El valor negativo de \(b\) indica que la población disminuye. La tasa continua anual es aproximadamente \(7.23\%\) de decrecimiento.

b) Queremos que \(\frac{P_t}{P_0}\mathrel{\unicode{x003C}}0.55\).

\[\frac{P_t}{P_0}=e^{bt}\]

\[e^{bt}\mathrel{\unicode{x003C}}0.55\]

\[bt\mathrel{\unicode{x003C}}\ln(0.55)\]

Como \(b\mathrel{\unicode{x003C}}0\), al dividir por \(b\) cambia el sentido de la desigualdad.

\[t\mathrel{\unicode{x003E}}\frac{\ln(0.55)}{b}\]

\[t\mathrel{\unicode{x003E}}8.27\]

\(9\text{ años}\)

Pregunta 14

Sin calculadora

Escriba el dominio y el rango de la función logarítmica \(y=\log_k(x)\), para \(k\mathrel{\unicode{x003E}}1\).
Dado que \(3\log_{x^2}(y)=27\log_y(x^2)\), encuentre todas las posibles expresiones de \(y\) como una función de \(x\).

a) Para \(y=\log_k(x)\) con \(k\mathrel{\unicode{x003E}}1\), el argumento del logaritmo debe ser positivo.

\(\text{dominio: }x\mathrel{\unicode{x003E}}0,\qquad \text{rango: }\mathbb{R}\)

b) Sea \(A=\log_{x^2}(y)\). Entonces, por la propiedad recíproca de cambio de base,

\[\log_y(x^2)=\frac{1}{A}\]

Sustituimos en la ecuación dada.

\[3A=27\cdot\frac{1}{A}\]

\[3A^2=27\]

\[A^2=9\]

\[A=\pm3\]

Si \(A=3\), entonces \(\log_{x^2}(y)=3\).

\[y=(x^2)^3=x^6\]

Si \(A=-3\), entonces

\[y=(x^2)^{-3}=x^{-6}\]

\(y=x^6\quad\text{o}\quad y=x^{-6}\)