10 ejercicios

3.5 – Funciones y gráficas trigonométricas

Practica ejercicios del tema 3.5 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1

Sin calculadora

Sea \(g(x)=a\sin(bx)\), para \(x\in\mathbb{R}\). El diagrama muestra parte de la gráfica de \(g\).

Encuentre la amplitud de \(g\).
Encuentre el valor de \(a\).
Escriba el periodo de \(g\).
Encuentre el valor de \(b\).

La gráfica tiene máximo \(2\) y mínimo \(-2\).

\[\text{amplitud}=\frac{2-(-2)}{2}=2\]

\(\text{amplitud}=2\)

Como la gráfica pasa por el origen y sube primero, el coeficiente \(a\) es positivo.

\(a=2\)

El periodo es la distancia horizontal entre dos máximos consecutivos. En la gráfica, los máximos están separados por \(\frac{\pi}{2}\).

\(T=\frac{\pi}{2}\)

Para \(\sin(bx)\), el periodo es \(\frac{2\pi}{b}\).

\[\frac{2\pi}{b}=\frac{\pi}{2}\]

\(b=4\)

Pregunta 2

Sin calculadora

Sea \(k(x)=a\cos(bx)+d\), para \(x\in\mathbb{R}\). El diagrama muestra parte de la gráfica de \(k\).

Escriba la amplitud de \(k\).
Encuentre el valor de \(a\).
Escriba el periodo de \(k\).
Encuentre el valor de \(b\).
Encuentre el valor de \(d\).

La gráfica tiene máximo \(2\) y mínimo \(-4\).

\[\text{amplitud}=\frac{2-(-4)}{2}=3\]

\(\text{amplitud}=3\)

La curva empieza en un máximo cuando \(x=0\), así que el coeficiente del coseno es positivo.

\(a=3\)

El periodo es la distancia entre máximos consecutivos; de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\).

\(T=\frac{\pi}{2}\)

Usamos \(T=\frac{2\pi}{b}\).

\[\frac{2\pi}{b}=\frac{\pi}{2}\]

\(b=4\)

La línea media está a mitad camino entre \(2\) y \(-4\).

\[d=\frac{2+(-4)}{2}=-1\]

\(d=-1\)

Pregunta 3

Sin calculadora

Sea \(f(x)=a\cos(bx)\), para \(x\in\mathbb{R}\). El diagrama muestra parte de la gráfica de \(f\).

Escriba la amplitud de \(f\).
Encuentre el valor de \(a\).
Escriba el periodo de \(f\).
Encuentre el valor de \(b\).

La gráfica tiene máximo \(3\) y mínimo \(-3\), por lo que la amplitud es \(3\).

\(\text{amplitud}=3\)

Como \(f(0)=-3\), la gráfica de coseno comienza en un mínimo. Por tanto, \(a\) es negativo.

\(a=-3\)

El periodo es la distancia entre máximos consecutivos, por ejemplo de \(\frac{\pi}{2}\) a \(\frac{3\pi}{2}\).

\(T=\pi\)

Para \(\cos(bx)\), \(T=\frac{2\pi}{b}\).

\[\frac{2\pi}{b}=\pi\]

\(b=2\)

Pregunta 4

Sin calculadora

Sea \(g(x)=2\sin(\pi x)+1\).

Escriba la amplitud de \(g\).
Encuentre el periodo de \(g\).
Dibuje la gráfica de \(g\) para \(0\leq x\leq5\) en la cuadrícula.

a) En \(g(x)=2\sin(\pi x)+1\), la amplitud es el valor absoluto del coeficiente delante del seno.

\(\text{amplitud}=2\)

b) El periodo de \(\sin(\pi x)\) es \(\frac{2\pi}{\pi}\).

\[T=\frac{2\pi}{\pi}=2\]

\(T=2\)

c) Para dibujar la gráfica, usamos puntos clave cada cuarto de periodo. La línea media es \(y=1\).

\[(0,1),\ \left(\frac12,3\right),\ (1,1),\ \left(\frac32,-1\right),\ (2,1)\]

Estos puntos se repiten cada \(2\) unidades hasta \(x=5\).

\(\text{Dibujar una onda sinusoidal pasando por esos puntos clave.}\)

Gráfica de la solución de g(x)=2sin(pi x)+1 · pregunta 4

Pregunta 5

Sin calculadora

El diagrama muestra la curva \(y=b\sin(a(x-d))+c\), donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son constantes positivas. La curva tiene un punto mínimo en \((1,2)\) y un punto máximo en \((2,5)\).

Escriba el valor de \(b\) y el valor de \(c\).
Encuentre el valor de \(a\).
Encuentre el valor positivo más pequeño posible de \(d\).

a) El máximo es \(5\) y el mínimo es \(2\).

\[b=\frac{5-2}{2}=\frac32\]

\[c=\frac{5+2}{2}=\frac72\]

\(b=\frac32,\quad c=\frac72\)

b) De un mínimo en \(x=1\) a un máximo en \(x=2\) hay medio periodo.

\[\frac{T}{2}=1\]

\[T=2\]

Como el periodo de \(\sin(a(x-d))\) es \(\frac{2\pi}{a}\),

\[\frac{2\pi}{a}=2\]

\(a=\pi\)

c) La función alcanza su mínimo cuando el argumento del seno vale \(-\frac{\pi}{2}\), módulo \(2\pi\).

\[\pi(1-d)=-\frac{\pi}{2}\]

\[1-d=-\frac12\]

\(d=\frac32\)

Pregunta 6

Sin calculadora

Sea \(f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+d\). La gráfica de \(f\) pasa por el punto \(\left(\frac{\pi}{6},4\right)\).

Encuentre el valor de \(d\).
Encuentre el valor máximo de \(f\).

a) Sustituimos el punto \(\left(\frac{\pi}{6},4\right)\) en la función.

\[4=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+d\]

\[4=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+d\]

\[4=0+d\]

\(d=4\)

b) El valor máximo de \(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) es \(1\).

\[f_{\max}=1+4\]

\(f_{\max}=5\)

Pregunta 7

Con calculadora

La altura, \(h\) metros, de un asiento en una rueda panorámica después de \(t\) minutos viene dada por \(h(t)=-31.5\cos(0.3t)+34\), para \(t\geq0\).

Encuentre la altura inicial del asiento.
Una vez que el asiento está a más de \(40\text{ m}\) sobre el suelo, se pueden tomar fotografías sin obstáculos. Dado que los pasajeros completan solo una rotación, calcule durante cuánto tiempo pueden tomar fotografías sin obstáculos.

a) La altura inicial corresponde a \(t=0\).

\[h(0)=-31.5\cos(0)+34\]

\[h(0)=-31.5+34\]

\(h(0)=2.5\text{ m}\)

b) Buscamos cuándo \(h(t)\mathrel{\unicode{x003E}}40\).

\[-31.5\cos(0.3t)+34\mathrel{\unicode{x003E}}40\]

\[\cos(0.3t)\mathrel{\unicode{x003C}}-\frac{6}{31.5}\]

Una rotación completa tiene periodo \(\frac{2\pi}{0.3}\). En una rotación, resolvemos los dos puntos de corte.

\[0.3t=\cos^{-1}\left(-\frac{6}{31.5}\right)\quad\text{y}\quad 0.3t=2\pi-\cos^{-1}\left(-\frac{6}{31.5}\right)\]

La duración por encima de \(40\text{ m}\) es la diferencia entre esos dos tiempos.

\(\Delta t\approx9.19\text{ minutos}\)

Pregunta 8

Con calculadora

Sea \(f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\).

Encuentre los valores de \(x\) donde \(f\) tiene una tasa de cambio positiva, para \(0\leq x\leq8\).
La función se puede escribir como \(f(x)=a\cos\left(\frac{\pi}{4}(x-d)\right)\), donde \(0\leq d\leq6\). Encuentre \(a\) y \(d\).
Resuelva \(f(x)=\sqrt{2}\), para \(0\leq x\leq12\).

a) Para saber dónde \(f\) tiene tasa de cambio positiva, derivamos.

\[f'(x)=\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi x}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right)\]

La derivada es positiva cuando \(\cos(u)-\sin(u)\mathrel{\unicode{x003E}}0\), con \(u=\frac{\pi x}{4}\).

\(0\leq x\mathrel{\unicode{x003C}}1\quad\text{y}\quad5\mathrel{\unicode{x003C}}x\leq8\)

b) Usamos la identidad \(\sin u+\cos u=\sqrt2\cos\left(u-\frac{\pi}{4}\right)\).

\[f(x)=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\]

\[f(x)=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right)\]

\(a=\sqrt2,\quad d=1\)

c) Resolver \(f(x)=\sqrt2\) significa que el coseno en la forma transformada vale \(1\).

\[\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right)=\sqrt2\]

\[\cos\left(\frac{\pi}{4}(x-1)\right)=1\]

\(x=1,\ 9\)

Pregunta 9

Sin calculadora

Una función está definida por \(f(x)=b\cos(ax)+d\), donde \(a\mathrel{\unicode{x003E}}0\). Parte de la gráfica de \(y=f(x)\) se muestra en el diagrama.

Encuentre el valor de \(b\).
Encuentre el valor de \(a\).
Encuentre el valor de \(d\).
Resuelva \(f(x)=4\), para \(0\leq x\leq2\pi\).

a) La gráfica tiene máximo \(4\) y mínimo \(-2\). Como empieza en un mínimo, el coeficiente \(b\) es negativo.

\[|b|=\frac{4-(-2)}{2}=3\]

\(b=-3\)

b) El periodo observado es \(\pi\).

\[\frac{2\pi}{a}=\pi\]

\(a=2\)

c) La línea media está a mitad camino entre \(4\) y \(-2\).

\[d=\frac{4+(-2)}{2}=1\]

\(d=1\)

d) Entonces \(f(x)=-3\cos(2x)+1\). Resolvemos \(f(x)=4\).

\[-3\cos(2x)+1=4\]

\[\cos(2x)=-1\]

\[2x=\pi,\ 3\pi\]

\(x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\)

Pregunta 10

Sin calculadora

Sea \(f(x)=\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)\), para \(0\leq x\leq2\pi\). El diagrama muestra parte de la gráfica de \(f\). La curva cruza el eje \(x\) en los puntos \(O\) y \(B\).

Encuentre las coordenadas exactas de \(O\) y \(B\).

Para los cortes con el eje \(x\), igualamos \(f(x)\) a cero.

\[\sin(x)-\sqrt3\cos(x)=0\]

\[\sin(x)=\sqrt3\cos(x)\]

Cuando \(\cos(x)\neq0\), dividimos entre \(\cos(x)\). Los puntos con \(\cos(x)=0\) no satisfacen la ecuación.

\[\tan(x)=\sqrt3\]

En \(0\leq x\leq2\pi\), la tangente vale \(\sqrt3\) en los cuadrantes I y III.

\[x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\]

\(O=\left(\frac{\pi}{3},0\right),\quad B=\left(\frac{4\pi}{3},0\right)\)